控制工程基础 第二章 控制系统传递函数推导举例(第六讲)
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即若K1、K2 分别为齿轮1 和2的扭转刚度系数，则齿轮1 一侧的等效刚度KI为：
结论：
当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量和阻尼 系数都要除以传动比的平方，负载转矩除以传动比。因 此，减速传动时，相当于电动机带的负载变小了，也可 以说电动机带负载的力矩增大了。
反之，当折合到从动轴上时，主动轴上的转动惯量和 阻尼系数都要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。
的部分分式展开。
>> num=[1 11 39 52 26]; >> den=[1 10 35 50 24]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r= 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000 p= -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000
集中参数齿轮副模型：
齿轮1： 齿轮2：
：输入转矩 T J1、J2 ：齿轮（包括轴）的转动惯量 D1、D2：啮合齿轮、支承粘性阻尼系数
—— 等效折算到输入端的转动惯量
—— 等效折算到输入端的粘性阻尼系数
显然，利用
，齿轮2 一侧的转矩、
转速和角位移同样可等效折算到齿轮1一侧。
考虑扭转弹性变形效应时，齿轮2一侧的扭转刚度系数 等效到齿轮1一侧时，刚度系数也应乘 。
七、控制系统传递函数推导举例
机械系统
电机驱动进给装置
电动机
等效转动惯量
电机驱动进给装置等效系统
按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的 等效转动惯量为：
L — 丝杠螺距，即丝杠每转一周
工作台移动的直线距离。
齿轮传动装置
转矩 角位移
角速度 齿数
齿轮副
齿轮分度圆半径
假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、 啮合间隙与变形，则：
MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，
[r, p, k] = residue(num, den)
其中，r, p分别为展开后的留数及极点构成的列向量 k为余项多项式行向量。
若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：
若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：
应用举例
例：求
z=[1 2]; p=[-1 -2 -3]; k=4; sys=zpk(z,p,k)
4 (s-1) (s-2) (s+1) (s+2) (s+3)
而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化， z=[1; 2]; 语句为： p=[-1; -2; -3]; [z,p,k] = tf2zp(num,den) k=4; [num,den] = zp2tf(z,p,k) [num,den] = zp2tf(z,p,k)
控制系统数学模型
要分析系统，首先需要能够描述这个系统。例如用 传递函数的形式描述系统
在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数 按降序排列。 如要输入多项式：x4-12x3+25x+126
>> p=[1 -12 0 25 126]
p=
1 -12 0 25 126
在MATLAB中，用num和den分别表示F(s)的分子和分母 多项式，即：num = [b0 b1 … bm] den = [a0 a1 … an] 然后利用下面的语句就可以表示这个系统 sys=tf(num,den) 其中tf()代表传递函数的形式描述系统 还可以用零极点形式来描述，语句为：
Biblioteka Baidu车悬挂系统
汽车悬挂系统（垂直方向）
简化的悬挂系统（垂直方向）
八、系统数学模型的MATLAB实现 Matlab简介： • 1980年前后，美国moler博士构思并开发；
• 最初的matlab版本是用fortran语言编写，现在的版本 用c语言改写；
• 1992年推出了具有重要意义的matlab 4.0版本；并于 1993年推出了其windows平台下的微机版，目前7.0版, 甚至10.0版是比较新的版本。
例：已知两个系统
，
分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数，并求负 反馈连接时系统的零、极点增益模型。 num1=[1]; den1=[1,0]; num2=[1]; den2=[1,2]; [numc,denc]=series(num1,den1,num2,den2); [numb,denb]=parallel(num1,den1,num2,den2); [numf,denf]=feedback(num1,den1,num2,den2,-1); [z,p,k]=tf2zp(numf,denf)
串连：sys=series(sys1,sys2) 并联：sys=parallel(sys1,sys2) 反馈：sys=feedback(sys1,sys2,-1) 如果是单位反馈系统，则可使用cloop()函数， sys=cloop(sys1,-1)
用MATLAB展开部分分式 设： 用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm] den = [a0 a1 … an]
k= 1
展开式为：
函数residue 也可用于将部分分式合并，其句法为： [num, den] = residue(r, p, k)
例： >> r = [1 2 3 4]'; p = [-1 -2 -3 -4]'; k = 0;
>> [num, den] = residue(r, p, k) num = 10 70 150 96 den = 1 10 35 50 24
当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数conv ()等实现。
例如 den1=[1,2,2] den2=[2,3,3,2] den=conv(den1,den2)
den1 = 1 2 2 den2 = 2 3 3 2 den = 2 7 13 14 10
4
计算闭环传递函数
系统的基本连接方式有三种：串连、并联和反馈
结论：
当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量和阻尼 系数都要除以传动比的平方，负载转矩除以传动比。因 此，减速传动时，相当于电动机带的负载变小了，也可 以说电动机带负载的力矩增大了。
反之，当折合到从动轴上时，主动轴上的转动惯量和 阻尼系数都要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。
的部分分式展开。
>> num=[1 11 39 52 26]; >> den=[1 10 35 50 24]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r= 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000 p= -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000
集中参数齿轮副模型：
齿轮1： 齿轮2：
：输入转矩 T J1、J2 ：齿轮（包括轴）的转动惯量 D1、D2：啮合齿轮、支承粘性阻尼系数
—— 等效折算到输入端的转动惯量
—— 等效折算到输入端的粘性阻尼系数
显然，利用
，齿轮2 一侧的转矩、
转速和角位移同样可等效折算到齿轮1一侧。
考虑扭转弹性变形效应时，齿轮2一侧的扭转刚度系数 等效到齿轮1一侧时，刚度系数也应乘 。
七、控制系统传递函数推导举例
机械系统
电机驱动进给装置
电动机
等效转动惯量
电机驱动进给装置等效系统
按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的 等效转动惯量为：
L — 丝杠螺距，即丝杠每转一周
工作台移动的直线距离。
齿轮传动装置
转矩 角位移
角速度 齿数
齿轮副
齿轮分度圆半径
假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、 啮合间隙与变形，则：
MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，
[r, p, k] = residue(num, den)
其中，r, p分别为展开后的留数及极点构成的列向量 k为余项多项式行向量。
若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：
若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：
应用举例
例：求
z=[1 2]; p=[-1 -2 -3]; k=4; sys=zpk(z,p,k)
4 (s-1) (s-2) (s+1) (s+2) (s+3)
而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化， z=[1; 2]; 语句为： p=[-1; -2; -3]; [z,p,k] = tf2zp(num,den) k=4; [num,den] = zp2tf(z,p,k) [num,den] = zp2tf(z,p,k)
控制系统数学模型
要分析系统，首先需要能够描述这个系统。例如用 传递函数的形式描述系统
在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数 按降序排列。 如要输入多项式：x4-12x3+25x+126
>> p=[1 -12 0 25 126]
p=
1 -12 0 25 126
在MATLAB中，用num和den分别表示F(s)的分子和分母 多项式，即：num = [b0 b1 … bm] den = [a0 a1 … an] 然后利用下面的语句就可以表示这个系统 sys=tf(num,den) 其中tf()代表传递函数的形式描述系统 还可以用零极点形式来描述，语句为：
Biblioteka Baidu车悬挂系统
汽车悬挂系统（垂直方向）
简化的悬挂系统（垂直方向）
八、系统数学模型的MATLAB实现 Matlab简介： • 1980年前后，美国moler博士构思并开发；
• 最初的matlab版本是用fortran语言编写，现在的版本 用c语言改写；
• 1992年推出了具有重要意义的matlab 4.0版本；并于 1993年推出了其windows平台下的微机版，目前7.0版, 甚至10.0版是比较新的版本。
例：已知两个系统
，
分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数，并求负 反馈连接时系统的零、极点增益模型。 num1=[1]; den1=[1,0]; num2=[1]; den2=[1,2]; [numc,denc]=series(num1,den1,num2,den2); [numb,denb]=parallel(num1,den1,num2,den2); [numf,denf]=feedback(num1,den1,num2,den2,-1); [z,p,k]=tf2zp(numf,denf)
串连：sys=series(sys1,sys2) 并联：sys=parallel(sys1,sys2) 反馈：sys=feedback(sys1,sys2,-1) 如果是单位反馈系统，则可使用cloop()函数， sys=cloop(sys1,-1)
用MATLAB展开部分分式 设： 用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm] den = [a0 a1 … an]
k= 1
展开式为：
函数residue 也可用于将部分分式合并，其句法为： [num, den] = residue(r, p, k)
例： >> r = [1 2 3 4]'; p = [-1 -2 -3 -4]'; k = 0;
>> [num, den] = residue(r, p, k) num = 10 70 150 96 den = 1 10 35 50 24
当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数conv ()等实现。
例如 den1=[1,2,2] den2=[2,3,3,2] den=conv(den1,den2)
den1 = 1 2 2 den2 = 2 3 3 2 den = 2 7 13 14 10
4
计算闭环传递函数
系统的基本连接方式有三种：串连、并联和反馈