图像退化 图像复原

4记录和整理实验报告。图像降质的数学模型

图像复原处理的关键问题在于建立退化模型。输入图像f(x, y)经过某个退化系统后输出的是一幅退化的图像。为了讨论方便， 把噪声引起的退化即噪声对图像的影响一般作为加性噪声 考虑， 这也与许多实际应用情况一致，如图像数字化时的量化 噪声、 随机噪声等就可以作为加性噪声，即使不是加性噪声而 是乘性噪声， 也可以用对数方式将其转化为相加形式。

原始图像f(x, y) 经过一个退化算子或退化系统H(x, y) 的作

用， 再和噪声n(x,y)进行叠加，形成退化后的图像g(x, y)。图2-1表示退化过程的输入和输出的关系，其中H(x, y)概括了退化系统的物理过程，就是所要寻找的退化数学模型。

图2-1 图像的退化模型

数字图像的图像恢复问题可看作是： 根据退化图像g(x , y)和退化算子H(x , y)的形式，沿着反向过程去求解原始图像f(x , y)， 或者说是逆向地寻找原始

图像的最佳近似估计。图像退化的过程可以用数学表达式写成如下的形式：

g(x, y)=H ［f(x, y)］+n(x, y) (2-1)

在这里，n(x, y)是一种统计性质的信息。在实际应用中， 往往假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常数，并且与图像不相关。

在图像复原处理中， 尽管非线性、 时变和空间变化的系统模型更具有普遍性和准确性，更与复杂的退化环境相接近，但它给实际处理工作带来了巨大的困难， 常常找不到解或者很难用计算机来处理。因此，在图像复原处理中， 往往用线性系统和空间不变系统模型来加以近似。这种近似的优点使得线性系统中的许多理论可直接用于解决图像复原问题，同时又不失可用性。

f (x , y )

g (x , y )

2.2匀速直线运动模糊的退化模型

在所有的运动模糊中，由匀速直线运动造成图象模糊的复原问题更具有一般性和普遍意义。因为变速的、非直线运动在某些条件下可以被分解为分段匀速直线运动。本节只讨论由水平匀速直线运动而产生的运动模糊。

假设图象()y x f ,有一个平面运动，令()t x 0

和()t y 0分别为在x 和y 方向上运动的变化分量，T 表示运动的时间。记录介质的总曝光量是在快门打开后到关闭这段时间的积分。则模糊后的图象为：

[]dt t y y t x x f y x g T ⎰--=000)(,)(),( （2-2）

式中g(x,y)为模糊后的图象。以上就是由于目标与摄像机相对运动造成的图象模糊的连续函数模型。

如果模糊图象是由景物在x 方向上作匀速直线运动造成的，则模糊后图象任意点的值为：

()[]dt y t x x f g T y x ⎰-=00,,)( （2-3）

式中()t x 0是景物在x 方向上的运动分量，若图象总的位移量为a ，总的时

间为T ，则运动的速率为()t x 0=at/T 。则上式变为：

dt y T at x f y x g T ⎰-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡0,),( （2-4） 以上讨论的是连续图象，对于离散图象来说，对上式进行离散化得：

t y T at x f y x g L i ∆∑-=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛10,),( （2-5） 其中L 为照片上景物移动的像素个数的整数近似值。是每个像素对模糊产生影响的时间因子。由此可知，运动模糊图象的像素值是原图象相应像素值与其时间的乘积的累加。

从物理现象上看，运动模糊图象实际上就是同一景物图象经过一系列的距离延迟后再叠加，最终形成的图象。如果要由一幅清晰图象模拟出水平匀速运动模糊图象，可按下式进行：

∑=-=10

),(1),(L i y x f L y x g （2-6） 这样可以理解此运动模糊与时间无关，而只与运动模糊的距离有关，在这种条件下，使实验得到简化。因为对一幅实际的运动模糊图象，由于摄像机不同，很难知道其曝光时间和景物运动速度。

我们也可用卷积的方法模拟出水平方向匀速运动模糊。其过程可表示为：

),(),(),(y x h y x f y x g *= (2-7)

其中

⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=其它0101),(L x L y x h (2-8)

h(x,y)称为模糊算子或点扩散函数，“*”表示卷积，),(y x f 表示原始(清晰)图象，),(y x g 表示观察到的退化图象。

如果考虑噪声的影响，运动模糊图象的退化模型可以描述为一个退化函数和一个加性噪声项),(y x n ，处理一幅输入图象),(y x f 产生一幅退化图象),(y x g 。

),(),(),(),(y x n y x h y x f y x g +*= (2-9)

由于空间域的卷积等同于频率域的乘积，所以式(2-9)的频率域描述为：

),(),(),(),(v u N v u F v u H v u G += (2-10)

式(2-9)中的大写字母项是式(2-10)中相应项的傅里叶变换。

2.3点扩散函数的确定

不同的点扩散函数（PSF ）会产生不同的模糊图象。明确的知道退化函数是很有用的，有关它的知识越精确，则复原结果就越好。首先讨论几个典型的点扩散函数。

2.3.1典型的点扩散函数

运动模糊的点扩散函数：假设图象是通过一个具有机械快门的摄像机获得的。摄像机和拍摄物体在快门打开期间T 的相对运动引起物体在图象中的平滑。

假设V 是沿x 轴方向的衡常速度，时间T 内PSF 的傅里叶变换H(u,v)由下式给出：

Vu

vtu ππ)sin(v)H(u,= (2-11) 离焦模糊的点扩散函数：由于焦距不当导致的图象模糊可以用如下函数表示：

ar J

v u ),(1v)H(u,= (2-12) 其中J 1是一阶Bessel 函数，v u 222r +=，a 是位移。该模型不具有空间不

变性。

大气扰动的点扩散函数：大气的扰动造成的图象模糊在遥感和天文中是需要复原的。它是由大气的不均匀性使穿过的光线偏离引起的，以下给出了数学模型，其表达式为：

()e v u c v u )(,H 2265+-= (2-13)

其中c 是一个依赖扰动类型的变量，通常通过实验来确定。幂

5/6有时用1代替。

当我们得到一幅退化图象的时候，首先要判断其退化类型然后通过已知的先验知识进行恢复。以下的讨论主要针对运动模糊PSF 进行。

2.3.2运动模糊点扩散函数的离散化

对于运动模糊而言，根据相机与目标的相对运动速度，相机的焦距以及相机相对目标的距离等就可以计算出PSF 。例如通过计算得到一幅模糊图片的模糊方向是x=6,y=4，连续的PSF 为见图2.2(a)。