第一章习题解答集合

第一章习题解答

1、证明：()()()A B C A B A C =U I U I U

证明：一方面 另一方面

(), , , , ()()

()()()x A B C x A x B C x A x B x C x A B x A C x A B A C A B C A B A C ?∈∈∈∈∈∈∈∈∈?U I I U U U I U U I U I U 或或且且从而

()()() ()()()

A B A C x A B A C x A x B x A x C x A x B C x A B C A B A C A B C ?∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈?U I U U U I U I U I U U I 且x 或且或或从而

()()()A B A C A B C =U I U U I 故 2、证明：

（1）()()A B A A B A B B -=-=-I U 证明：一方面：

,() (); (), , ()()().x A B x A x B x A B x A A B A B A A B x A A B x A x A B x A x B x A B B A A B A B B ?∈-?∈????∈--?-∈-?∈??∈??∈-?-?-I I I I I U I U 对于 另一方面：

()()()(); (),()()x A B B x A B x B x A x B x A x A B x A A B A B B A A B x A A B x A x A B x A x B x A B A A B A B

?∈-?∈??∈??∈??∈-?-?-?∈-?∈??∈??∈-?-?-U U I I U I I I I 且且且又对于且

从而有 ()()A B A A B A B B -=-=-I U 。

另证：先证： ()A B A A B -=-I

右边

()()() ()()A A B A A B A A B A A A B A B =-====-=I I I I U I U I 左边右边

痧?痧

再证： ()A B A B B -=-U

()()() ()()() A B A B B

A B B A B B A B B B A B A B φ-=-=-====-=U U U I I U I U U 右边左边

e痧

（2）()()()A B C A B A C -=-I I I

证明： ()()()()

)()

A B A C A B AC A B A C ABA ABC ABC A B C -=====-I I I I I U U I

（3）()()A B C A B C --=-U 证明：

()()()

A B C A B C ABC A B C A B C

-===-=--U U

（4）()()()A B C A B A C --=-U I 证明：

()()()

()()()

A B C A B C ABC A B C A B C AB AC A B A C --=-=====-U U U U I

（5）()()()()A B C D A C B D --=-I I U

证明：()()()()()A B C D ABCD ACBD AC B D A C B D --====-I U I U （6）()A A B A B --=I

证明：()()()()()A A B A AB AAB A A B AA AB AB --=-====U U

3、证明：

（1）：()()()A B C A C B C -=--U U

证明：()()()()()()A B C A B C AC BC A C B C -===--U U U U （2）：()()()A B C A B A C -=--U I

证明：()()()()()()A B C A B C ABC AABC AB AC A B A C -=====--U U I 4、证明： 1

1

()()s i s i i i X X ∞

∞

===U I 痧

证明：

1

1

11

(),,,1,2,3,,1,2,3,()s i i i

i i i i s i

i i x X x S x X x S i i x X i i x S X x S X x X ∞∞

==∞∞

==∈?∈??∈?=???=∈-?∈-?∈L L U U I I ee 1

1

()()s i s i i i X X ∞∞

==??U I 痧

上述每一步都可逆有1

1

()()s i s i i i X X ∞∞

==??U I 痧，从而得1

1

()()s i s i i i X X ∞∞

===U I 痧

5、证明：

(1) ()();(2) ()().

A B A B A B A B ααα

ααα

Λ∈Λ

∈Λ

Λ∈Λ∈Λ

-=

--=

-U U I I

证明：(1) ()();A B A B ααα

Λ∈Λ∈Λ

-=

-U U (

) ()()()A B A B A B A B ααα

αΛ

Λ

Λ

Λ∈Λ

∈Λ

∈Λ

∈Λ

-===-U U U U ， 所以 ()();A B A B ααα

Λ∈Λ∈Λ

-=

-U U

（2） ()().A B A B αα

α

Λ∈Λ

∈Λ

-=

-I I

()().() ().A B A B A B A B ααα

αααΛΛ∈Λ

∈Λ

∈Λ

∈Λ

-===-I I I I 所以 ()().A B A B ααα

Λ∈Λ

∈Λ

-=

-I I 。

6、设{}n A 是一列集合，作1

111

, (), 1n n n k k B A B A A n -===->U ，证明{}n B 是一列互不相交的集，

而且1

1

, 1n

k k k k A B ===≤∞U U 。

证明：设m n ≠，m n <，1111

1

1

1)

1

11

1

1

1211211[()][()]()()

()()

m n m n m n m k n k m k n k k k k k m n m k n k k k m m n m m n B B A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A φ----====--==-+-=--====I I I I L L L U U U U I I

111111

1

(),,,n n k k k n

k k j k j k j k k k j

j

j k x B x A A k x A A x A x A x A ---====∈?∈-??∈-?∈??∈U U U U U U

1

1

, 1n

n

k k k k B A ==??≤∞U U 。反之

111

1

1

1

1

1

min ,,,()n k k n k k k k j k j k j k j j k j x A k x A x A x A x A A x A A ---=====∈??∈?∈??∈-?∈-U U U U U

1

1

1

, 1n<;n n n k k k k k k x B A B ===?∈??≤∞U U U 从而1

1

, 1n<;n n

k k k k A B ===≤∞U U

7、设2121

(0,), (0,), 1,2,n n A A n n n

-===L ，求出集列{}n A 的上限集和下限集。

解： lim (0,)n n A →∞

=+∞， lim (0,0)n n A φ→∞

==

8、证明：1lim n m n n m n

A A ∞∞

→∞

===UI

证明： 令lim n n A A →∞

=，1n m n m

B A ∞∞

===UI ，证明：A B =

1lim ,n n n n n n m

m n m x A x A m n m x A x A x A x B A B

→∞∞

∞∞

===?∈?∈??≥∈?∈?∈?∈??I UI 由下限集的定义,存在对有

1,,lim n n n n n m n m

n k

x B A k x A n k x A x A A B A ∞

∞

∞

→∞

===∈???∈??≥∈?∈=??UI I

所以 1lim n m n n m n

A A ∞∞

→∞

===

UI

。

9、作出一个(-1,1)和(,)-∞+∞的11-对应，并写出这一对应的解析表达式。

解：函数tan()2y x π=在(-1,1)上严格啬增加且值域为(,)-∞+∞，人而tan()2

y x π

=实现了

(-1,1)到(,)-∞+∞的11-对应。

10、证明：将球面上去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。

证明：将球放在平面上，球面与平面相切，切点O 处球面上的点与平面上的点对应，对于平面上其它任意点Q ，设球的极点为N ，连接QN 与平面交于R ，令Q R →，则该对应实现了除极点外球面上的所有点与平面上的所有点的11-对应。证毕。

11、证明：由直线上某些互不面相交的开区间作为集A 的无素，则A 至多为可数集。 证明：设,I J A ∈，有I J φ=I ，由有理数的稠密性知，在每一I 中至少含有一个有理数，故从A 中每一个开区间中取定一个有理数r 组成集合S ，因为A 中开区间互不相交，所以S 中

的有理数彼此不同，令A 中的开区间I 与I 中取定的有理数对应，显然这种对应是一一的，由开S 是有理数集Ｑ的子集，而Q 为可列集，所以S 为至多可列集，即A 也为至多可列集。

12、证明：所有系数为有理数的多项式组成一可列集。

证明：对于给定的n ，一个有理系数的n 次多项式对应1n +维有序有理数组

012{,,|0,,0}n n i a a a a a a Q i n ≠∈≤≤L ，该数组全体S 是1n +个可数集的卡氏积，从而可数。而

对于给定的n 有理系数的n 次多项式全体n A 与S 对等。而所有系数为有理数的多项式全体

1i i A A ∞

==U ，根据可数集的运算性质：可数个可数集之并仍然可数知A 可数。

13、设A 是平面上以有理点为中心、以有理数为半径的圆的全体，则A 是可数集。 证明：A 中的任一元素与三维有序有理数组(,,)x y r 对应，以以有理点为中心、有理数为半径的圆的全体A 与集{(,,)|,,}x y r x y r Q ∈对等。而集{(,,)|,,}x y r x y r Q ∈可数，所以A 可数。

14、增函数的不连续点至多有不可数个。

证：由增函数的不连续点为第一类，且有跃度的不连续点，故()f x 在0x 的左右极限存在，且当0x 为()f x 的不连续点时有

0(0)sup{()}x x f x f x <-=，0

0(0)inf{()}x x f x f x >+=，且：00(0)(0)f x f x -≠+由于()f x 为增函数，

所以00(0)(0)f x f x -<+，于是()f x 的每一个不连续点对应y 轴上的一个开区间 ，下证若x x '''<为增函数()f x 的两个不连续点，则有(0)(0)f x f x '''+≤- 事实上任取一点1x ，使1x x x '''≤≤，于是：

1(0)inf{()}()sup {()}(0)x x x x x f x f x f x f x f x '

>'''

<<'''+=≤≤=-

从而x '对应于y 轴上的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应于y 轴上的开区间

((0),(0))f x f x ''''-+是互不相交的，由于直线上互不相交的开区间所成之集为至多可列，所以

递增函数的不连续点也为至多可列集。

15、试找出使(0,1)和[0,1]之间11-对应的方法。

证明：将(0,1)中的全部有理数排列为12,,n r r r L L ，而[0,1]中全体有理数可排列为

120,1,,,n r r r L L ，作其间的对应f 如下1220

1() n n

x r x r f x r x r x

x -=??=?

=?=???为无理数，()f x 是(0,1)和[0,1]之间11

-对应

16、设A 是一可数集，则A 的所有有限子集作成的集合亦必可数。

设A 为可数集，其元素为12,,n a a a L L ，以n A 表示由A 中n 个元素组成的子集的全体，F 为A 中所有限子集全体，则0n n F A ∞

==U ，其中0{}A φ=为单元素集，另设12{(,,)|}n i B k k k k N =∈L ，

则B 中的任意元素由n 个独立的记号确定，且每个记独立的跑遍一个可数集N ，故B 可数。现对n A 的每个元素12{,,}k k kn a a a L 令其对应B 中的元素12(,,)n k k k L ，则n A 与B 的一个子集对等，由于B 为可数集所以n A 为至多可数，但n A 为无限集所以n A 为可数集，从而0n n F A ∞

==U 为

可数个可数集的并集，所以F 是可数集。

17、证明：[0,1]上的全体无理数所成的集合其基数为c 。

证明：反证法。如果无理数全体是可数的，那么它和有理数全体的并集将是可数集。但是它们的并是区间[0,1]，而区间[0,1]不可数矛盾。

18、若集A 中每个元素由互相独立的可数个指标所决定，即123{}x x x A a =L ，而每个i x 取自一个基数为c 的集，则A 的基数也是c 。

证明：因为i x 取自一个基数为c 的集，记之为i X ，从而存在i X 到实数集R 的一一对应i ?，

1,2,3i =L ，现在令A 中的元123x x x a L 与实数数列112233((),(),())x x x ???L 对应，那么这个对应是A 到E ∞上的一一对应，由E c ∞=得A c =。

19若1n n A A ∞

==U 的基数为c ，证明：存在0n ，使0n A 的基数也是c 。

证明：若不然,(1,2,3)n A c n <=L ，由于A c =，存在A 到E ∞上的11-对应?，即对任意的a A ∈，存在实数列123{,,,}X x x x E ∞=∈L 与之对应，记(),1,2,3,n n A B n ?==L ，则有

1

1

()()n n n n A A B E ??∞∞

∞=====U U

记1{(0,0,0),}n n n y x x R =∈L L ，1,2,3n -L

设n P 为E ∞中点到n y 的投影映射，即对12{,,}n X x x x E ∞=∈L L ，()(0,0,,0)n n n p x x y =∈L L

1,2,3,n =L 。

又记()n n n p B u =，显然有，且n n n u B A c ≤=<，而n y c =，所以n U 是n Y 的真子集，存在实数*

n x 使*(0,0,,0)n n x U ?L L ，从而对任何()i x i n ≠有*

111(,,,)(1,2,3,)n n n n x x x x B n -+?=L L L 。因此

**

*

1

21

(,,,)n n n x x x B E ∞

∞=?=L L U ，这与φ是是A 到期E ∞上的11-映射矛盾。

注：此题的证明易犯这样的错误 因为1

n

n A A

∞

==

U ，且A c =，则至少存在一个0n A ，使0n A c =，若不然，对一切n n A c <，则

n A 的势最多只有可数集的势a ，故1

n n A A ∞

==U 为至多可数集，即A a c ≤<矛盾。

20、证明二进位无限小数全体与区间(0,1]对等。

证明：任意(0,1]x ∈，先将(0,1]分成两部分1(0,]2，1

(,1]2

（规定分点属于左边一个区间）则x

必属于且只属于其中一部分，取出这一部分区间，若取出的是左边区间，取10t =，否则取11t =，第二步再将取出的含x 的这个部分区间等分为两个部分区间（仍规定分点属于左边一个区间），同上法得2t ；这个过程可一直进行下去，从而得到1212,,,0.,,k k t t t t t t L L L L 为x 的二进位小数表示，令12:0.,,k x t t t ?→L L ，则对(0,1]x ?∈，()x ?必是二进位无限小数（因为规定了分点属于左边区间），并且对于任何二进位无限小数

12

2222

n n t t t ++++L L ，120.,,n t t t L L 也必是(0,1]中某x 的象，所以()x ?是(0,1]到二进无限小数全体的11-映射，已知区间(0,1]的基数为

c ，故二进无限小数的全体的基数为c 。

定义：（g 进位小数）设g 是任意取定的一个大于1的自然数，{}k t 是一列大于等于0而小于g 的整数，称级数

12

2k k t t t g g g

++++L L 为g 进位小数，记为120.,,n t t t L L 。 对于教材上第20题，序列12(,,)n a a a L L 与二进位小数120.n a a a L L 对应即可。