圆在滚动中的数学

硬币滚动中的数学
教学目标:让学生了解硬币在滚动过程中形成的规律
重点、难点：规律的探讨过程
教学准备：硬币两个，圆形纸片一个
教学过程：1.将一枚硬币在直线上滚动
2.将一枚硬币在另一枚硬币边缘滚动一圈
得出规律:转过的圈数=圆心经过的路径/圆周长
练:将一枚半径为R的硬币在一段总长度为2πr的下列轨道上滚动:
1. 一条直线段
2. 由两条直线段组成,其夹角为120度
3. 一个三角形
4. 正方形,多边形
5. 半径为2 r的圆,2个半径为r的相切圆,多个半径为r的相切圆(半径在同一直线上),特殊图形
6.
在探讨中，用圆O来代替硬币，硬币半径为r
一、硬币在一个半径为r的圆形轨道中滚动时，硬币圆心的轨迹如图1。
圆心所经过的路程的半径为：r+r=2r，则圆心所经
过的路程为4πr。
由此可见当硬币在一个半径与硬币相等的圆形轨道
上滚动时，设硬币圆心所经过的距离即为S时，则
S=4πr
但是当硬币在一个由两个半径为r的圆形连贯而成
的图形的轨道上滚时，硬币圆心所经过的距离为会有什
么变化呢？
图1
二、硬币在一个由两个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，硬币圆心的轨迹如图2。


圆心O所经过的距离为：
∵AO1=AO2=O1O2=O1B=O2B=2r
∴
∴
∴ =2×2πr ·
∴ =2 ·2πr － 2 · 2πr · =πr
图2
由此可见，当硬币在一个由两个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，设硬币圆心的运动距离为S时，即S=πr
三、硬币在一个由n(n≧1)个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时的探究。









图3
从实验二可以发现，硬币圆心运动的距离是两个半径为2r、圆心分别为O1、O2的圆的周长减去这两个圆相交后产生的两个劣弧的长。
现有一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道（图3），设n个圆分别为O1、O2、O3......On
则半径为2r、圆心分别为O1、O2、O3......On的圆的总周长为2nπr
∵
∴须减去的劣弧总长为2(n-1)· =2(n-1) ·2πr · =πr(n-1)
所以设硬币在沿着一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道滚动时，硬币圆心运动的距离为S，即S＝πr()




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