2021年广东省新高考数学总复习：立体几何中的动态问题

2021年广东省新高考数学总复习：立体几何中的动态问题

[解题策略]

立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转．就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离．立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现．在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜．

1．去掉枝蔓见本质——大道至简

在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键．

例1 如图1，直线l ⊥平面α，垂足为O .正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.点A 是直线l 上的动点，点B 1在平面α内，则点O 到线段CD 1中点P 的距离的最大值为________．

图1

答案 2＋2

解析 从图形分化出4个点O ，A ，B 1，P ，其中△AOB 1为直角三角形，固定AOB 1，点P 的轨迹是在与AB 1垂直的平面上且以AB 1的中点Q 为圆心的圆，

从而OP ≤OQ ＋QP ＝12

AB 1＋2＝2＋2， 当且仅当OQ ⊥AB 1，且点O ，Q ，P 共线时取到等号，此时直线AB 1与平面α成45°角．

2．极端位置巧分析——穷妙极巧

在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊

之要害，往往能直取答案．

例2 在正四面体A －BCD 中，E 为棱BC 的中点，F 为直线BD 上的动点，则平面AEF 与平面ACD 所成二面角的正弦值的取值范围是________．

答案 ⎝⎛⎦

⎤23，1 解析 本例可用极端位置法来加以分析．

先寻找垂直：记O 为△ACD 的中心，G 为OC 的中点，则BO ⊥面ACD ，EG ⊥面ACD .如图2，过点A ，E ，G 的平面交直线BD 于点F .此时，平面AEF 与平面ACD 所面二面角的正弦值为1.

由图形变化的连续性知，当点F 在直线BD 的无穷远处时，看成EF 和BD 平行，此时平面AEF 与平面ACD 所成二面角最小(如图3)，其正弦值为23

.

图2 图3

综上可知，平面AEF 与平面ACD 所成二面角的正弦值的取值范围为⎝⎛

⎦⎤23，1. 3．用法向量定平面——定海神针

在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或面面角转化为线线角．

例3 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知二面角A 1－BD －A 的大小为π6

，若空间有一条直线l 与直线CC 1所成的角为π4

，则直线l 与平面A 1BD 所成角的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π12，5π12

解析 如图4，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接A 1E ，则∠A 1EA ＝π6

.过点A 作AH ⊥A 1E 于点