线性系统应用实例
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是升的θ角速的度变减化弱，，又这将就通是过为a什23的么作用曲，线使s会小A 出车现速小度波不动断的上
原因。
5分影）环响由节，于， 但在因 对s此sAA吊与却钩影s 的A响之这不间种大存无，在阻这一尼就个摆是能动为起虽什平然么波会sA作对曲用线s的A中产积几生
乎不出现小波动的原因。
由上述分析知，行车系统(开环)本身是不稳定的， 因此需采用全状态(负)反馈，并通过调节器参数的合理 设计使闭环（调节）系统获得一个良好的动态运行特 性。
（18a,b,c,d,e）
控制量与输出量：
u u A ( V )y 1 , s A ( m )y 2 , ( r) ad（19a,b,c）
则由式(15)~(17)和式(18)、(19a)可得：
x1 x 2
x 2
mBg mA
x3
1 mA
x5
x 3 x 4
x 4
(m A m B )g m Al
a23=39.2(m/s2),a25=10-3(1/kg),a43=4.9(1/m2),a45=10-4(1/(kg*m)),
a55=1(1/s),b5=0.1(kV/(V*s))
利用上述参数，在初始条件x(0)=0(相当于小车静止地位于s-z
平面的坐标原点)，且在直流电动机电压由0V阶跃地变化至10V
解析求解式(10)、(11)是困难的，也没有必要，可以从工程角
度（或通过非线性方程线性化）进行化简。
从调节（控制）技术角度讲，常可采用某种调节（控制）手 段，如全状态反馈闭环调节（控制），使θ 角的变化（相对于稳
态值的偏差量）控制在一个很小的范围内，例如 ，3在此前提
下，就可s 以进i 行 如n ,c 下近似o 处1 , 理 s ，2 s 即令i : 0 n
将(2)、(3)两边分别乘以cosθ和(-sinθ)后再相加得：
m B s B c o m B z B s s i m n B g sin( 7 )
式(6)、(7)中不再含参数p，进一步由(4)、(5)又可分别得：
s B s A l( 2 si n co ) sm A s A m B s B F A ( 8 )
x 5
-1 TA
x5
KA TA
u
驱动装置 u
KA/(TAs+1)
1/mA
小车 吊钩系统
+
y1 1/s2
+
mBg/mA
1/(mAl)
1/[s2(mAmxB3 )g] mAl
y2
图8.6.2 桥式吊车系统简化后的结构图
假定系统参数如下：KA=0.1(kN/V)、TA=1(s), mA=1000(kg), mB=4000(kg), l=10(m),则有：
8.6 桥式吊车工作过程自动调节 在状态空间分析中的设计与计算
调节：初始状态x0 驱动到平衡状态xe=0。
跟踪：使系统输出y(t)跟踪已知的或未知的参考 信号y0(t)。
跟踪问题可以看成为调节问题的一种推广。
参考书
1 现代调节技术---基础理论与分析方法， 龚乐年，东南大学出版社，2003
2 现代控制理论题解分析与指导，龚乐年， 东南大学出版社，2005
8.6.2 小车驱动装置的数学描述
该驱动装置可用如下所示放大倍数为KA(kN/s),时间
常数为TA(s)的一阶惯性环节，即一阶线性定常微分方程
加以描述：
T A F A F A K A u A
（14）
式中uA(伏)为驱动用直流电动机的控制电压。
8.6.3 行车系统的状态空间方程 至此我们得到了描述整个行车系统的三个线性定常
x3
1 m Al
x5
x 5
-1 TA
x5
KA TA
u
以及由式(18)、(19b,c)可得：
y1x1,y2x3
可写成如下标准形式：
（20a） （20b） （20c） （20d）
（20e）
（21a,b）
x A b x,y u Cx
（22a,b）
式中
0 1 0 0 0
0 0
a 23
0
a 25
小车
下图为大型工厂中使用的桥式吊车(又称行车，天车)示意图，
后续分析全部在由s轴与z轴构成的平面中进行(y=0)。
图中，点A表示运行在桥架上的吊车,其中sA为小车在s轴上的
坐标(sA≠0,zA=0)，mA为小车质量，FA为作用在小车上由驱动马
达产生的水平驱动
sA
小车
力，p为由吊钩与负
O
y轴
A sB FA s轴
因此，如何借助于调节手段来避免或减弱θ角的这种不 希望的摆动，或者至少将其限制在允许的范围内，这就是自 动控制应解决的问题。
为简化分析又不失一般性，下面将吊车工作过程自动调节 (控制)的设计任务仅限于： 1） 对用来驱动并与系统瞬时状态有关的小车之马达这样加以 控制，使小车在s轴上（y=0）能从一个起始位置变化至另一个事 先规定的位置，并最后在那里停下来（这个过程中负载的重量与 绳索长度均保持不变，即系统参数可视为常数）。 2）要求工作过程有个较好的动态特性。
8.6.1 小车-吊钩(机械)系统动力学方程
在不计小车与桥架(轨道)之间摩擦力的情况下，小车在水
平(s轴)方向上有如下作用力平衡方程：
m A s A F A p sin
( 1 )
对于吊钩，则在水平与垂直(z轴)方向上可分别得到如下 作用力平衡方程：
m B s B p sin m B z B m B g p cos
图8.6.3 桥式吊车开环系统响应曲线
8.6.5 行车系统对应的(开环)特征值 由式(23a)可知此调节对象对应的开环特征方程为：
2(2
a43)(a55)
02(2
(mA mB)g)( 1 )
mAl
TA
0
百度文库（26）
1，2 0，3，4 j a43 j (mAmAmlB)g,5 a551/TA
（27a,b,c）
动力学方程(12)、(13)、(14)，联立(12)、(13)可得：
sA
mBg mA
1 mA
FA
(mA mB)g mAl
1 mAl
FA
(1)4 式 F AT -1 AFAK TA AuA
（15） （16） （17）
如下选择状态变量：
x1sA(m )x ,2sA(m /s)x ,3(ra)d
x4(ra/sd )x ,5F A(kN )
吊车的上述动作在利用闭环调节（控制）装置实现过程控制 自动化时，常常会遇到这样一些问题：
1）由于小车在s轴方向上的启动与制动，会使吊钩出现不希望 的摆动（通过θ角的变化与大小来反映）；由于系统阻尼通常 很小又将使这种摆动的衰减变得十分缓慢，从而增加负载上吊 与下卸时的困难与时间。
2）吊车的传送能力，即工作效率在很大程度上是同上吊与下 卸速度有关的，并且吊车工作过程的自动化又将同此速度构 成一个有机的整体。
s时A(，m)经仿真计算可得如下响应曲线。s6A(m/)s
100
80
4
60
40
2
20
0
0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
θ(rad)
0
FA(kN)
2.84
1.0
-0.01
0.8
0.6
-0.02
0.4
0.2
0 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
小车 吊钩 驱动装置
（24a）
b5=KA/TA
（24b）
C
c11
0
0 0
0 c23
0 0
0 0
（25a）
c11 c23 1
（25b）
显然，这是一个单输入、多输出量系统， 另外，在A、b中，小车、吊钩和驱动装置对应 的由各有关参数构成的子系统可由虚线加以区 分。
8.6.4 行车系统对应的方框图
1，2 0，3，4 j2.21(1/,s5)1(1/s)
（28a,b,c）
8.6.6 调节对象(行车系统)自身动态特性分析
51/TA描述的是驱动装置的特性，由于该装置是串
联接入的一阶惯性环节，所以其对应的特征值将为负实数并可 单独给予分析。
x1与x21,之2 间0，描也述就的是是在小sA车与之s动A之力间学相特当性于，存因在为两在个系相统互结串构联图的中
mA
载(后面简称吊钩)产 生并作用在小车上的
绳索拉力。
墙 体
zB
z轴
mAg θ p 桥架(轨道) l
-p
吊钩
B (含负载)
lsinmBg
墙 点B表示吊钩， 体 sB,zB分别为吊钩在s
轴和z轴上的坐标， mB为吊钩质量。
l,θ分别为绳索 长度、绳索同垂直 方向之间的夹角 （摆角）。
一般情况下，吊车的工作任务在于：首先将负载从地面上吊 至一个预先规定的位置(改变zB)，然后再送至某个对象的上方(改 变sA) ，最后将负载在一个确定的位置上卸下(再次改变zB)
主要内容
8.6.1 小车-吊钩(机械)系统动力学方程 8.6.2 小车驱动装置的数学描述 8.6.3 行车系统的状态空间方程 8.6.4 行车系统对应的方框图
8.6.5 行车系统对应的(开环)特征值
8.6.6 调节对象(行车系统)自身动态特性分析
8.6.7 行车系统可控性分析 8.6.8 利用极点配置法设计全状态反馈调节器 8.6.9 实际系统全状态观测器设计 8.6.10 行车系统设计调节器以及全状态观测器后闭环调节特性 分析
A 0 0 0 1 0
0
0
- a43
0
-
a 45
吊钩
0 0 0 0 - a55 驱动装置
（23a）
其中 a 2 3 m m B A g ,a 2 5 m 1 A ,a 4 3 ( m A m A m lB ) g ,a 4 5 m 1 A l,a 5 5 T 1 A （23b）
b 0000 b 5
驱动装置
小车 吊钩系统
u b5
+ _
1/s x5
a25
+
1/s x2 1/s x1=y1
+
x x x x
1342a对 a反 钩2453小馈对与：xxm车作小m24吊a(B4mA与用车5g钩：A吊，的x自驱m3 钩反身aA动ml2的作3a的mB装：15)5作用A负g置吊x用x5 3， am451图A l__x85.6_.1Ka桥41d3/s阻式x尼4吊系1数车/s x系a3 2统3 结构x3图=y2
2） 3,4j a43，导致在不计空气阻力和绳索悬吊点
铰链处摩擦力矩的情况下（Kd=0）吊钩摆角θ的无阻尼 震荡。
3的）运θ动角（的即这加种速无度阻尼）s振A产荡生又反将作通用过，a2且3=mmBBg越/m大A，对这小种车
反作用也越强，行车的工作实践也可以充分证明这一 点。
4） 在t>0以及小车被加速后，由于吊钩出现一个平均 值为-0.02rad(负号表示摆动方向与小车前行方向相反)， 周期为T=2.84s的无阻尼振荡(摆动)，这种摆动，也就
积分环节，且无反馈支路存在。
3,4j
a43j
(mAmB)g mAl
这一对共轭虚数特征值描述
的是吊钩的无阻尼(Kd=0)振荡(摆动)之动力学特性，因为在系统
结构图中下方闭环负反馈子系统对应的传递函数为
1/s2 1a43/s2
s2
1 a43
对系统响应曲线的分析（此时尚未采用闭环反馈调节） 1）在FA作用下，由于 1,2 0,将导致 sA和sA,也就是小车 位置与速度两条曲线随时间的变化而不断增加。
( 2 ) ( 3 )
与上述3个力平衡方程相对应，在假定绳索长度l不变条件下，
还可得如下两个运动学方程：
sB sA lsin zB lcos
( 4 ) ( 5 )
为消去式(1)~(3)中的中间变量:绳索拉力p,可将式(1)、(2)两
边相加得：
m A s A m B s B F A
( 6 )
m B ( s A l c o -ls 2s i)n c os
m B (l2c o l s s i)n s i n m B g s in
s A c l o g s s i 0 n
(1
至此，小车-吊钩（机械）系统可用式(10)、(11)两个二阶非线
性微分方程进行描述，显然这是一个四阶动力学系统。
由此，式(10)、(11)可分别写为：
( m A m B ) s A m B l F A
s A l g 0
( 1 ) 2
(1
上述近似处理，亦可理解为此系统在稳态工作点附近进行线 性化处理，由此得到的式(12)、(13)即为与此相对应的二阶线性 微分（偏差量)方程,其中sA可理解为相对于稳态工作点的位置偏 差量，而θ则为相对于垂直方向的摆角偏差量。FA亦应理解为偏 差量。
z B l( 2 co s si)nm B s B c o m B z B s s i m n B g si ( 9 ) n
最后，把式(8)、(9)代入式(6)、(7)后可分别得：
( m A m B ) s A m B l c m o B l 2 s s i F A n ( 1 )
原因。
5分影）环响由节，于， 但在因 对s此sAA吊与却钩影s 的A响之这不间种大存无，在阻这一尼就个摆是能动为起虽什平然么波会sA作对曲用线s的A中产积几生
乎不出现小波动的原因。
由上述分析知，行车系统(开环)本身是不稳定的， 因此需采用全状态(负)反馈，并通过调节器参数的合理 设计使闭环（调节）系统获得一个良好的动态运行特 性。
（18a,b,c,d,e）
控制量与输出量：
u u A ( V )y 1 , s A ( m )y 2 , ( r) ad（19a,b,c）
则由式(15)~(17)和式(18)、(19a)可得：
x1 x 2
x 2
mBg mA
x3
1 mA
x5
x 3 x 4
x 4
(m A m B )g m Al
a23=39.2(m/s2),a25=10-3(1/kg),a43=4.9(1/m2),a45=10-4(1/(kg*m)),
a55=1(1/s),b5=0.1(kV/(V*s))
利用上述参数，在初始条件x(0)=0(相当于小车静止地位于s-z
平面的坐标原点)，且在直流电动机电压由0V阶跃地变化至10V
解析求解式(10)、(11)是困难的，也没有必要，可以从工程角
度（或通过非线性方程线性化）进行化简。
从调节（控制）技术角度讲，常可采用某种调节（控制）手 段，如全状态反馈闭环调节（控制），使θ 角的变化（相对于稳
态值的偏差量）控制在一个很小的范围内，例如 ，3在此前提
下，就可s 以进i 行 如n ,c 下近似o 处1 , 理 s ，2 s 即令i : 0 n
将(2)、(3)两边分别乘以cosθ和(-sinθ)后再相加得：
m B s B c o m B z B s s i m n B g sin( 7 )
式(6)、(7)中不再含参数p，进一步由(4)、(5)又可分别得：
s B s A l( 2 si n co ) sm A s A m B s B F A ( 8 )
x 5
-1 TA
x5
KA TA
u
驱动装置 u
KA/(TAs+1)
1/mA
小车 吊钩系统
+
y1 1/s2
+
mBg/mA
1/(mAl)
1/[s2(mAmxB3 )g] mAl
y2
图8.6.2 桥式吊车系统简化后的结构图
假定系统参数如下：KA=0.1(kN/V)、TA=1(s), mA=1000(kg), mB=4000(kg), l=10(m),则有：
8.6 桥式吊车工作过程自动调节 在状态空间分析中的设计与计算
调节：初始状态x0 驱动到平衡状态xe=0。
跟踪：使系统输出y(t)跟踪已知的或未知的参考 信号y0(t)。
跟踪问题可以看成为调节问题的一种推广。
参考书
1 现代调节技术---基础理论与分析方法， 龚乐年，东南大学出版社，2003
2 现代控制理论题解分析与指导，龚乐年， 东南大学出版社，2005
8.6.2 小车驱动装置的数学描述
该驱动装置可用如下所示放大倍数为KA(kN/s),时间
常数为TA(s)的一阶惯性环节，即一阶线性定常微分方程
加以描述：
T A F A F A K A u A
（14）
式中uA(伏)为驱动用直流电动机的控制电压。
8.6.3 行车系统的状态空间方程 至此我们得到了描述整个行车系统的三个线性定常
x3
1 m Al
x5
x 5
-1 TA
x5
KA TA
u
以及由式(18)、(19b,c)可得：
y1x1,y2x3
可写成如下标准形式：
（20a） （20b） （20c） （20d）
（20e）
（21a,b）
x A b x,y u Cx
（22a,b）
式中
0 1 0 0 0
0 0
a 23
0
a 25
小车
下图为大型工厂中使用的桥式吊车(又称行车，天车)示意图，
后续分析全部在由s轴与z轴构成的平面中进行(y=0)。
图中，点A表示运行在桥架上的吊车,其中sA为小车在s轴上的
坐标(sA≠0,zA=0)，mA为小车质量，FA为作用在小车上由驱动马
达产生的水平驱动
sA
小车
力，p为由吊钩与负
O
y轴
A sB FA s轴
因此，如何借助于调节手段来避免或减弱θ角的这种不 希望的摆动，或者至少将其限制在允许的范围内，这就是自 动控制应解决的问题。
为简化分析又不失一般性，下面将吊车工作过程自动调节 (控制)的设计任务仅限于： 1） 对用来驱动并与系统瞬时状态有关的小车之马达这样加以 控制，使小车在s轴上（y=0）能从一个起始位置变化至另一个事 先规定的位置，并最后在那里停下来（这个过程中负载的重量与 绳索长度均保持不变，即系统参数可视为常数）。 2）要求工作过程有个较好的动态特性。
8.6.1 小车-吊钩(机械)系统动力学方程
在不计小车与桥架(轨道)之间摩擦力的情况下，小车在水
平(s轴)方向上有如下作用力平衡方程：
m A s A F A p sin
( 1 )
对于吊钩，则在水平与垂直(z轴)方向上可分别得到如下 作用力平衡方程：
m B s B p sin m B z B m B g p cos
图8.6.3 桥式吊车开环系统响应曲线
8.6.5 行车系统对应的(开环)特征值 由式(23a)可知此调节对象对应的开环特征方程为：
2(2
a43)(a55)
02(2
(mA mB)g)( 1 )
mAl
TA
0
百度文库（26）
1，2 0，3，4 j a43 j (mAmAmlB)g,5 a551/TA
（27a,b,c）
动力学方程(12)、(13)、(14)，联立(12)、(13)可得：
sA
mBg mA
1 mA
FA
(mA mB)g mAl
1 mAl
FA
(1)4 式 F AT -1 AFAK TA AuA
（15） （16） （17）
如下选择状态变量：
x1sA(m )x ,2sA(m /s)x ,3(ra)d
x4(ra/sd )x ,5F A(kN )
吊车的上述动作在利用闭环调节（控制）装置实现过程控制 自动化时，常常会遇到这样一些问题：
1）由于小车在s轴方向上的启动与制动，会使吊钩出现不希望 的摆动（通过θ角的变化与大小来反映）；由于系统阻尼通常 很小又将使这种摆动的衰减变得十分缓慢，从而增加负载上吊 与下卸时的困难与时间。
2）吊车的传送能力，即工作效率在很大程度上是同上吊与下 卸速度有关的，并且吊车工作过程的自动化又将同此速度构 成一个有机的整体。
s时A(，m)经仿真计算可得如下响应曲线。s6A(m/)s
100
80
4
60
40
2
20
0
0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
θ(rad)
0
FA(kN)
2.84
1.0
-0.01
0.8
0.6
-0.02
0.4
0.2
0 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
小车 吊钩 驱动装置
（24a）
b5=KA/TA
（24b）
C
c11
0
0 0
0 c23
0 0
0 0
（25a）
c11 c23 1
（25b）
显然，这是一个单输入、多输出量系统， 另外，在A、b中，小车、吊钩和驱动装置对应 的由各有关参数构成的子系统可由虚线加以区 分。
8.6.4 行车系统对应的方框图
1，2 0，3，4 j2.21(1/,s5)1(1/s)
（28a,b,c）
8.6.6 调节对象(行车系统)自身动态特性分析
51/TA描述的是驱动装置的特性，由于该装置是串
联接入的一阶惯性环节，所以其对应的特征值将为负实数并可 单独给予分析。
x1与x21,之2 间0，描也述就的是是在小sA车与之s动A之力间学相特当性于，存因在为两在个系相统互结串构联图的中
mA
载(后面简称吊钩)产 生并作用在小车上的
绳索拉力。
墙 体
zB
z轴
mAg θ p 桥架(轨道) l
-p
吊钩
B (含负载)
lsinmBg
墙 点B表示吊钩， 体 sB,zB分别为吊钩在s
轴和z轴上的坐标， mB为吊钩质量。
l,θ分别为绳索 长度、绳索同垂直 方向之间的夹角 （摆角）。
一般情况下，吊车的工作任务在于：首先将负载从地面上吊 至一个预先规定的位置(改变zB)，然后再送至某个对象的上方(改 变sA) ，最后将负载在一个确定的位置上卸下(再次改变zB)
主要内容
8.6.1 小车-吊钩(机械)系统动力学方程 8.6.2 小车驱动装置的数学描述 8.6.3 行车系统的状态空间方程 8.6.4 行车系统对应的方框图
8.6.5 行车系统对应的(开环)特征值
8.6.6 调节对象(行车系统)自身动态特性分析
8.6.7 行车系统可控性分析 8.6.8 利用极点配置法设计全状态反馈调节器 8.6.9 实际系统全状态观测器设计 8.6.10 行车系统设计调节器以及全状态观测器后闭环调节特性 分析
A 0 0 0 1 0
0
0
- a43
0
-
a 45
吊钩
0 0 0 0 - a55 驱动装置
（23a）
其中 a 2 3 m m B A g ,a 2 5 m 1 A ,a 4 3 ( m A m A m lB ) g ,a 4 5 m 1 A l,a 5 5 T 1 A （23b）
b 0000 b 5
驱动装置
小车 吊钩系统
u b5
+ _
1/s x5
a25
+
1/s x2 1/s x1=y1
+
x x x x
1342a对 a反 钩2453小馈对与：xxm车作小m24吊a(B4mA与用车5g钩：A吊，的x自驱m3 钩反身aA动ml2的作3a的mB装：15)5作用A负g置吊x用x5 3， am451图A l__x85.6_.1Ka桥41d3/s阻式x尼4吊系1数车/s x系a3 2统3 结构x3图=y2
2） 3,4j a43，导致在不计空气阻力和绳索悬吊点
铰链处摩擦力矩的情况下（Kd=0）吊钩摆角θ的无阻尼 震荡。
3的）运θ动角（的即这加种速无度阻尼）s振A产荡生又反将作通用过，a2且3=mmBBg越/m大A，对这小种车
反作用也越强，行车的工作实践也可以充分证明这一 点。
4） 在t>0以及小车被加速后，由于吊钩出现一个平均 值为-0.02rad(负号表示摆动方向与小车前行方向相反)， 周期为T=2.84s的无阻尼振荡(摆动)，这种摆动，也就
积分环节，且无反馈支路存在。
3,4j
a43j
(mAmB)g mAl
这一对共轭虚数特征值描述
的是吊钩的无阻尼(Kd=0)振荡(摆动)之动力学特性，因为在系统
结构图中下方闭环负反馈子系统对应的传递函数为
1/s2 1a43/s2
s2
1 a43
对系统响应曲线的分析（此时尚未采用闭环反馈调节） 1）在FA作用下，由于 1,2 0,将导致 sA和sA,也就是小车 位置与速度两条曲线随时间的变化而不断增加。
( 2 ) ( 3 )
与上述3个力平衡方程相对应，在假定绳索长度l不变条件下，
还可得如下两个运动学方程：
sB sA lsin zB lcos
( 4 ) ( 5 )
为消去式(1)~(3)中的中间变量:绳索拉力p,可将式(1)、(2)两
边相加得：
m A s A m B s B F A
( 6 )
m B ( s A l c o -ls 2s i)n c os
m B (l2c o l s s i)n s i n m B g s in
s A c l o g s s i 0 n
(1
至此，小车-吊钩（机械）系统可用式(10)、(11)两个二阶非线
性微分方程进行描述，显然这是一个四阶动力学系统。
由此，式(10)、(11)可分别写为：
( m A m B ) s A m B l F A
s A l g 0
( 1 ) 2
(1
上述近似处理，亦可理解为此系统在稳态工作点附近进行线 性化处理，由此得到的式(12)、(13)即为与此相对应的二阶线性 微分（偏差量)方程,其中sA可理解为相对于稳态工作点的位置偏 差量，而θ则为相对于垂直方向的摆角偏差量。FA亦应理解为偏 差量。
z B l( 2 co s si)nm B s B c o m B z B s s i m n B g si ( 9 ) n
最后，把式(8)、(9)代入式(6)、(7)后可分别得：
( m A m B ) s A m B l c m o B l 2 s s i F A n ( 1 )