辽宁省实验中学2020-2021学年高二期末考试数学试卷(PDF版)

已知 1 mx7 a0 a1x a2x2 a7 x7 中，且 a3 35 .
（1）求 m 的值；
（2）求|a1||a3 | | a5 | | a7 | 的值.
18.（12 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，CC1 底面 ABC ，BC AC ，AC BC CC1 3 ，
高二年级数学科试卷参考答案 共 7 页 第 2 页
19.解（1）当直线 l
与直线 l0
:
y
2x 平行时，不能构成 AOB
，此时 kBP
3 2a
2，
解得：
a
1 2
，所以
a
1 2
，又因为点
B a,
0
在
x
轴正半轴上，且直线 l
与定直线
l0
再
第一象限内交于点 A ，所以 a 1 . ······4 分 2
0 0
，即
33xx11
2z1 3 y1
0 3z1
0
，
令 x1 2 ，则 y1 1， z1 3 ， n (2 ， 1， 3) ，
cos m, n m n 2 1 9 4 154 ．
| m | | n | 14 11
77
由题可知，二面角 A FB1 A1 为锐二面角，
故二面角 A FB1 A1 的余弦值为 4 154 ．··················12 分 77
12．设椭圆 x2 y2 1的右焦点为 F，直线 y m(0 m 3) 与椭圆交于 A，B 两点， 93
则下述结论正确的是（ ）
A．AF+BF 为定值
B．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]
C．当 m 2 时，△ABF 为直角三角形 D．当 m=1 时，△ABF 的面积为 6
高二年级数学科试卷第 2 页共 4 页
AE
1 3
AA1
， C1F
1 3
CC1 .
高二年级数学科试卷第 3 页共 4 页
（1）求直线 AC1 与面 A1FB1 所成角的正弦值； （2）求二面角 A FB1 A1 的余弦值.
19.（12 分） 已知直线 l 过点 P(2，3)且与定直线 l0：y=2x 在第一象限内交于点 A，与 x 轴正半轴交于
即 a1 a3 a5 a7 26 .
所以|a1||a3 | | a5 | | a7 | =64
···········10 分
18．解：（1） CC1 底面 ABC ，CC1 C1A1 ， CC1 C1B1 ，
BC AC ，C1B1 C1A1 ，
于是以 C1 为原点， C1A1 ， C1B1 ，和 C1C 所在直线分别为 x 、 y 和 z 轴建立如图所示的
（）
A． 2
B． 5
C． 5
D． 6
4．如图所示，设 E 、F 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 CD 上两点，且 AB 2 、 EF 1，其中正确的命题为（ ）
A．异面直线 B1D1 与 EF 所成的角为 45 B．异面直线 B1D1 与 EF 所成的角为 30 C．直线 B1D1 与平面 B1EF 所成的角为 45 D．直线 B1D1 与平面 B1EF 所成的角为 60
50
5．在 2 3 3 的展开式中有理项的项数是（ ）
A． 9
B． 8
C． 7
D． 6
6．已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2，3) 、 B(2，1) 、 C(6，1) ，以原点为
圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ）
A． x2 y2 1 或 x2 y2 16 5
B． x2 y2 1 或 x2 y2 37
个焦点在 C2 的准线上.
（1）求曲线 C1 的方程；
（2）设曲线 C1 的左焦点为 F1 ，右焦点为 F2 ，若过点 F1 的直线 l 与曲线 C1 的 y 轴左侧部
分（包含 C1 与 y 轴的交点）交于 A ， B 两点，直线 AF2 与曲线 C2 交于 C ， D 两点，直
线 BF2 与曲线 C2 交于 E ， F 两点，试求 CD EF 的取值范围.
C． x2 y2 16 或 x2 y2 4 5
D． x2 y2 4 或 x2 y2 37
7.已知抛物线 y2 4x 上的点 P 到 x 2 的距离为 d1 ，到直线 3x 4y 9 0 的距离为
d2 ，则 d1 d2 的最小值是（ ）
17
A.
5
11
B.
5
5
C.3
D.
5
高二年级数学科试卷第 1 页共 4 页
9．过点 P(2，3) ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． x y 5 0 B． 2x y 4 0 C． 3x 2y 0 D． 4x 2y 5 0
10. 正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，下列结论正确的有（ ） A． AD 与 BC 所成的角为 30 B． AC 与 BD 所成的角为 90
2020—2021 学年度上学期高二年级期末考试数学科试卷
一、选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一 项符合题目要求的）
1．O、A、B、C 为空间四点，且向量 OA 、 OB 、 OC 不能构成空间的一个基底，则下
列说法正确的是（ ）
A． OA 、 OB 、 OC 共线
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 F 是抛物线 C：y2 8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若
M 为 FN 的中点，则|FN|=
.
14.如图所示，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点.用 AB, AD,OA1 表示 OC1 ，
空间直角坐标系，
则 C1(0 ，0， 0) ， A1(3 ，0， 0) ， A(3 ，0， 3) ， B1(0 ，3， 0) ， F(0 ，0，1) ，
C1A (3 ，0， 3) ， A1F (3 ，0，1) ， A1B1 (3 ，3， 0) ，
设平面
A1FB1
的法向量为
m
(
x
，
y
，
z
)
，则
8．已知
A, B,C
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
上的三个点，
AB
经过原点 O ，
AC
经
过右焦点 F ，若 BF AC 且 2 AF CF ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． 5 3
B． 17 3
C． 17 2
D． 9 4
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 3 分）
C． BC 与面 ACD 所成角的正弦值为 3 3
D．平面 ABC 与平面 BCD 的夹角的正切值是 2
11．在 2x 18 的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．展开式中所有项的系数和为 28
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为 128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项 D．展开式中含 x3 项的系数为 448
（2）过 F 作互相垂直的直线 l与m 交轨迹 C（ y 0 ）于 P、Q 两点及 S、T 两点，A，B
分别是弦 PQ、ST 的中点，当|AB|=1 时，求直线 l与m 的方程。
22.（12 分）
已知曲线 C1 :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的短轴长为 2
3 ，曲线 C2 : y2 4
3x ， C1 的一
（2）当直线 l 的斜率不存在时，此时 a 2 即 B 2, 0 , A2,4 ，此时 S 1 2 4 4 ,
2
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k x 2 3，由于直线的斜率存在，所以
a 1 ，且 a 2 ， 2
又
kBP
3 2a
，k
2
或
k
0，
由
y y
k
2x
16．已知双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0) ，点 P a2 b2
பைடு நூலகம்
x0 , y0
是直线 bx ay 2a 0 上任意一
点，若圆 x x0 2 y y0 2 1 与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取
值范围为
.
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（10 分）
NG / /CD, NG 1 CD 2
又 AB//CD ，且 CD 2 ， AB 1，即 AB//CD，AB 1 CD ， 2
NG/ /AB ，NGBA 为平行四边形，
（1）求证： AN // 平面 PBC ；
（2）在直线 PD 上是否存在一点 M ，使得直线 CM 与平面 PBC 所成角的余弦值为
5 26 ，若存在，求出 DM 的值；若不存在，说明理由．
26
DP
21．（12 分）
已知动点 M 到定点 F (0, 1) 的距离比到 x 轴距离大 1 ,
4
4
（1）求动点 M 的轨迹方程 C；
所以 m3 1，得 m 1…………………5 分
（2） 1 x7 a0 a1x a2x2 a7 x7 令 x 1得： a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 117 0 .① 令 x 1 得： a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 117 27 .② 由①—②得： 2a1 a3 a5 a7 27 ，
m·A1F m·A1B1
0 0
，即
3x 3x
z 3
0 y0
，
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令 x 1，则 y 1， z 3 ， m (1，1， 3) ，
设直线 AC1 与面 A1FB1 所成的角为 ，则
sin
|
cos
m, C1 A
||
|
m m|
C1 A | C1A |
1)
3 [(a 2
1) 2
1 4(a
] 1)
3 2
3, 且 S
4
2
2
2
综上当且仅当 a 1时 S 最小，此时解得： k 3，
则直线 l 的方程为 y 3 x 2 3 3x 3 即 y 3x 3 ·········12 分
20． 1 证明：法 1：取 PC 的中点 G ，连接 NG, BG ， N 为 PD 的中点，
|
3 9 2 22 ． 113 2 11
故直线 AC1 与面 A1FB1 所成角的正弦值为 2 22 ．·················6 分 11
（2）由（1）可知， AF (3 ，0， 2) ， AB1 (3 ，3， 3) ，
设平面
AFB1
的法向量为
n
( x1
，
y1
，
z1 )
，则
n·AF n·AB1
高二年级数学科试卷第 4 页共 4 页
高二年级数学科试卷参考答案及评分标准
一．选择题 1~4.DDCA 5~8A BAB
二.多选题 9.AC 10.BD 11． BCD 12.AD
三．填空题：13. 6
四、解答题
14. AB AD OA1
15．16 . 16． 1, 2 ，
17．解（1）因为 ai C7i mi ， i 0,1, 2,3 , 7 ，依题意得： C73m3 35 ，
点 B，记 AOB 的面积为 S( O 为坐标原点)，点 B(a，0).
（1）求实数 a 的取值范围； （2）求当 S 取得最小值时，直线 l 的方程.
20．（12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AB//CD ，且 CD 2 ， AB 1， BC 2 2 ， PA 1， AB BC ， N 为 PD 的中点．
则 OC1 ＝________.
15．某地区高考改革，实行“ 3 1 2 ”模式，即“ 3 ”指语文、数学、外语三门必考科
目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“ 2 ”指在化学、生物、政治、地理以
及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同
选科组合有
.（用数字作答）
x
2
3
，得
x
3 2k 2k
,
y
6 4k 2k
，即
A
3 2k 2k
,
6 4k 2k
，
则 S 1 a 6 4k
a
6 12 2a
3a2
(a 1 且 a 2)
2
2 k 2 2 3 2 2a 1 2
2a
S
3(a2 1) 4
2(a 1)
3 4
3 (a 2
1) 2
3 8(a
B． OA 、 OB 共线
C． OB 、 OC 共线
D．O、A、B、C 四点共面
2．3 位老师和 4 名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A． A77
B． A44 A33
C． A44 A33
D． A44 A53
3． ABC 的顶点分别为 A(1，1，2) 、 B(5， 6，2) 、C(1，3，1) ，则 AC 边上的高 BD 的长为