辽宁省实验中学2020-2021学年高二期末考试数学试卷(PDF版)
2022-2023学年辽宁省实验中学名校联盟高二下学期6月份联合考试数学试题
辽宁省名校联盟2023年高二6月份联合考试数学命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心 本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若命题：，，则命题的否定为（ ）p 0x ∀<3202320x x -+<p A.， B.， 0x ∀≥3202320x x -+<0x ∀≥3202320x x -+≥C.，D.，0x ∃≥3202320x x -+<0x ∃<3202320x x -+≥2.设集合，，，若，，则{}22,2,4A a a a =++-{}0,4B ={}1,3C =-B A ⊆{}3A C = a =（ ）A.B.C.1D.21-2-3.已知，且，，则“”是“”的（ ） a b ∈R a 0b≠2211a b >>A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数若，则（ ）()20,1,1,12,5,2,x f x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪-+≥⎩()()1f f a =a =A.4B.3C.2D.15.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）x ()200ax bx c a ++>≠()3,1-20cx bx a ++<A.B. C.D.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭6.若函数的定义域为，则的定义域为（ ）()21f x -[]3,1-y =A.B.C. D.{}131,2⎛⎤ ⎥⎝⎦35,22⎛⎤⎥⎝⎦51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7.设函数，函数在定义域内是单调函数，且对于任意()()2210f x x x x=-+>()g x ()0,+∞()0,x ∈+∞，都有，则在区间上的值域为（ ） ()()()1g g x f x +=()g x []1,2A. B. C.D. 191,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,4[]1,4192,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设R ()f x 1x =()2,0，若，则（ ）()()()1g x x f x =-()2344g =()20231i g i ==∑A.2020 B.2022 C.2024 D.2026二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年辽宁省协作校高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省协作校高二（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{y||y|＞1，y∈N}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，2}D．{2}2．（5分）设函数f（x）＝，则f[f（3）]＝（）A．B．3C．D．3．（5分）设m∈R，命题“存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0有实根”的否定是（）A．任意m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根B．任意m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根C．存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根D．存在m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根4．（5分）设正数x，y满足：x＞y，x+2y＝3，则+的最小值为（）A．B．C．4D．25．（5分）已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a≥0或a＜﹣12B．﹣12＜a≤0C．﹣12＜a＜0D．a＞0或a＜﹣12 6．（5分）若函数f（x）＝log a（8x﹣ax2）在区间（，a2）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（1，]D．（1，2]7．（5分）已知函数f（x）＝x n+（n为正整数），有下列四种说法：①函数f（x）始终为奇函数；②当n为偶数时，函数f（x）的最小值为8；③当n为奇数时，函数f（x）的极大值为﹣8；④当n＝1时，函数y＝f（x）的图像关于直线y＝2x对称．其中所有正确说法的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．（5分）“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a D．a≥010．（5分）已知函数+1，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是奇函数B．关于x的不等式f（2x﹣1）+f（2x）＞2的解集为C．函数f（x）在R上是增函数D．函数f（x）的图象的对称中心是（0，1）11．（5分）定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，则使得f（x）＜4在（﹣∞，m]上恒成立的m可以是（）A．B．C．D．12．（5分）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f（x）＝x x（x＞0），我们可以作变形：，所以f（x）可看作是由函数f（t）＝e t'和g（x）＝xlnx复合而成的，即f（x）＝x x（x＞0）为初等函数．根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（）A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K2＝≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为．14．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（4+x），若f（﹣1）＝2，则f（2021）＝．15．（5分）已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣a＝0有四个不同的实数根，则a的取值范围是．16．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：年份20122013201420152016201720184.55.0 5.56.0 6.57.07.5投资金额x（万元）6.07.07.48.18.99.611.1年利润增长y（万元）（Ⅰ）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数）（Ⅱ）现从2012年﹣2018年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长﹣投资金额，求这两年都是λ≥2（万元）的概率？参考公式：＝＝，＝﹣．参数数据：＝359.6，＝259．18．（12分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）如图所示，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在公路GH上），现向公路和中转站分别修两条简易公路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为l0万元/千米，公路造价为30万元/千米，问x取何值时，建中转站和道路总造价M最低．20．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且当n∈N*时，S n是2n+1与2m的等差中项（m为实数）．（1）求m的值及数列{a n}的通项公式，（2）令b n＝1+log2a n（n∈N*）是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（log2x）2﹣2log2x+a2．（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（2）设m＞1，若对任意x∈[2，+∞），不等式f（m（2x﹣2﹣x））＜f（4x+4﹣x﹣1）恒成立，求m的取值范围．22．（12分）设函数f（x）＝x﹣﹣tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数t的取值范围；（2）当x∈（0，1）时，证明x2+x﹣﹣1＜e x lnx．2020-2021学年辽宁省协作校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{y||y|＞1，y∈N}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，2}D．{2}【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y||y|＞1，y∈N}＝{y|y＜﹣1或y＞1，y∈N}，∴A∩B＝{2}．故选：D．2．（5分）设函数f（x）＝，则f[f（3）]＝（）A．B．3C．D．【解答】解：函数f（x）＝，则f（3）＝，∴f[f（3）]＝f（）＝+1＝，故选：D．3．（5分）设m∈R，命题“存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0有实根”的否定是（）A．任意m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根B．任意m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根C．存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根D．存在m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根【解答】】解：命题是特称命题，则命题的否定是：任意m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根．故选：A．4．（5分）设正数x，y满足：x＞y，x+2y＝3，则+的最小值为（）A．B．C．4D．2【解答】解：正数x，y满足：x＞y，x+2y＝3，即有2x+4y＝6，则+＝[（x﹣y）+（x+5y）]（+）＝（10++）≥（10+2）＝×16＝．当且仅当3（x﹣y）＝x+5y，即有x＝2，y＝，取得最小值．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a≥0或a＜﹣12B．﹣12＜a≤0C．﹣12＜a＜0D．a＞0或a＜﹣12【解答】解：∵f（x）的定义域是R，∴a＝0时，﹣3＜0恒成立；a≠0时，△＝a2+12a＜0，解得﹣12＜a＜0，满足ax2+ax﹣3＜0恒成立，∴实数a的取值范围为﹣12＜a≤0．故选：B．6．（5分）若函数f（x）＝log a（8x﹣ax2）在区间（，a2）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（1，]D．（1，2]【解答】解：令t＝g（x）＝8x﹣ax2，∵a＞0且a≠1，可知函数g（x）＝8x﹣ax2的图象是开口向下得抛物线，由＜a2，解得a＞．若a＞1，外函数y＝log a t为增函数，要使复合函数f（x）＝log a（8x﹣ax2）在区间（，a2）上为减函数，则，解得a∈∅；若，外函数y＝log a t为减函数，要使复合函数f（x）＝log a（8x﹣ax2）在区间（，a2）上为减函数，则，解得，综上，a的取值范围是（，1）．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝x n+（n为正整数），有下列四种说法：①函数f（x）始终为奇函数；②当n为偶数时，函数f（x）的最小值为8；③当n为奇数时，函数f（x）的极大值为﹣8；④当n＝1时，函数y＝f（x）的图像关于直线y＝2x对称．其中所有正确说法的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：函数f（x）＝x n+（n为正整数），有下列四种说法：对于①，当n为奇数时，函数f（x）始终为奇函数，故①错误；对于②，当n为偶数时，设x n＝t，所以f（t）＝t+为对勾函数，当且仅当t＝4时，函数f（t）的最小值为8，故②正确；对于③，当n为奇数时，设x n＝t（t＜0），所以f（t）＝＝﹣8，函数f（x）的极大值为﹣8，故③正确；④当n＝1时，函数y＝f（x）的图像关于原点对称，故④错误．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．【解答】解：函数f（x）＝x sin x+cos x+x2的导数为：f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x+2x＝x（2+cos x），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）＝x sin x+cos（﹣x）+（﹣x）2＝f（x），则为偶函数，即有f（x）＝f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f（|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．（5分）“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a D．a≥0【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0的解集为R，∴函数f（x）＝x2﹣2ax+a的图象始终在x轴上方，即△＜0，∴（﹣2a）2﹣4a＜0，解得：0＜a＜1，又{a|0＜a＜1}⫋{a|0≤a≤1}，{a|0＜a＜1}⫋{a|a≥0}，∴“0≤a≤1”和“a≥0”是“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0的解集为R”的必要不充分条件．故选：BD．10．（5分）已知函数+1，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是奇函数B．关于x的不等式f（2x﹣1）+f（2x）＞2的解集为C．函数f（x）在R上是增函数D．函数f（x）的图象的对称中心是（0，1）【解答】解：因为＞|x|，所以+x＞0恒成立，所以f（x）的定义域为R，f（x）+f（﹣x）＝2019x+ln（+x）﹣2019﹣x+1+2019﹣x+ln（﹣x）﹣2019x+1＝2，故f（x）不是奇函数，故A错误；因为y＝2019x为增函数，y＝﹣2019﹣x+1为增函数，g（x）＝ln（+x），g（﹣x）＝ln（﹣x）＝ln＝﹣ln（+x）＝﹣g（x），所以g（x）为奇函数，且g（x）在（0，+∞）为增函数，所以g（x）在R上为增函数，所以f（x）在R上是增函数，故C正确；不等式f（2x﹣1）+f（2x）＞2等价于f（2x﹣1）＞2﹣f（2x）＝f（﹣2x），因为f（x）在R上为增函数，所以2x﹣1＞﹣2x，解得x＞，即不等式f（2x﹣1）+f（2x）＞2的解集为，故B正确；由f（x）+f（﹣x）＝2，可得函数f（x）的图象的对称中心是（0，1），故D正确．故选：BCD．11．（5分）定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，则使得f（x）＜4在（﹣∞，m]上恒成立的m可以是（）A．B．C．D．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），所以f（x）＝2f（x﹣1）＝4f（x﹣2）＝...，或f（x）＝f（x+1）＝f（x+2）＝...，可得f（x）的图象特点是每向右平移1个单位，函数值变为原来的2倍，每向左平移1个单位，函数值变为原来的倍，作出f（x）的图象如右：当x∈[1，2），则x﹣1∈[0，1），f（x）＝2f（x﹣1）＝2（1﹣|2x﹣3|）＝2﹣|4x﹣6|∈[0，2]，x∈[1，2），当x∈[2，3），则x﹣2∈[0，1），f（x）＝4f（x﹣2）＝4（1﹣|2x﹣5|）＝4﹣|8x﹣20|∈[0，4]，x∈[2，3），......，可得f（x）在（﹣∞，]的最大值为f（）＝4，所以要使f（x）＜4在（﹣∞，m]上恒成立，只需m＜，故选：AB．12．（5分）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f（x）＝x x（x＞0），我们可以作变形：，所以f（x）可看作是由函数f（t）＝e t'和g（x）＝xlnx复合而成的，即f（x）＝x x（x＞0）为初等函数．根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（）A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值【解答】解：根据材料知，，故，令h′（x）＝0，解得x＝e，∴h（x）有极大值且为，无极小值．故选：AD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K2＝≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%．【解答】解：根据题意，K2＝≈4.844，又由5.024＞4.844＞3.841，而P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025，故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%，故答案为：5%14．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（4+x），若f（﹣1）＝2，则f（2021）＝﹣2．【解答】解：∵f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（4+x），∴f（x+6）＝f（2﹣（x+2））＝f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x+12）＝﹣f（x+6）＝f（x），∴f（2021）＝f（12×168+5）＝f（5）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故答案为：﹣2．15．（5分）已知函数f（x）＝，方程f（x）﹣a＝0有四个不同的实数根，则a的取值范围是0＜a＜或a＝．【解答】解：当x∈（0，1）时，f（x）＝|log3x|单调递减，当x∈（1，+∞）时，f（x）＝|log3x|单调递增，f（x）极小值＝f（1）＝0，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）先递减后单调递增，当x∈（﹣1，0）时，f（x）单调递减，所以f（x）极大值＝f（﹣1）＝，f（0）＝，若方程f（x）﹣a＝0有四个不同的实数根，则f（x）＝a有四个不同的实数根，即y＝f（x）与y＝a有四个交点，所以实数a的取值范围为：0＜a＜或a＝．故答案为：0＜a＜或a＝．16．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意，令f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣alnx，f′（x）＝x+1﹣a﹣，令f′（x）＝0，可得（x﹣a）（x+1）＝0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（a）＝+a﹣a2﹣alna，所以+a﹣a2﹣alna＞2a﹣a2，令g（a）＝a2﹣a﹣alna＞0，（a＞0），所以g（a）＝a﹣lna﹣1＞0，则g′（a）＝1﹣，令g′（a）＝0，得a＝1，所以当a∈（0，1）时，g（a）单调递减，当a∈（1，+∞）时，g（a）单调递增，所以当a＝1时，g（a）min＝0，由函数y＝a﹣1和函数y＝lna可得y＝a﹣1的图象在y＝lna的上方，所以a＞0且a≠1，故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：年份20122013201420152016201720184.55.0 5.56.0 6.57.07.5投资金额x（万元）年利润增长y（万6.07.07.48.18.99.611.1元）（Ⅰ）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数）（Ⅱ）现从2012年﹣2018年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长﹣投资金额，求这两年都是λ≥2（万元）的概率？参考公式：＝＝，＝﹣．参数数据：＝359.6，＝259．【解答】解：（Ⅰ）由题意，计算＝6，＝8.3，7＝348.6，又＝359.6，＝259，所以＝＝＝≈1.571，所以＝﹣＝8.3﹣1.571×6＝﹣1.126≈﹣1.13，那么回归直线方程为：＝1.57x﹣1.13；将x＝8代入方程得＝1.57×8﹣1.13＝11.43，即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元；（Ⅱ）由题意可知，年份2012201320142015201620172018λ 1.52 1.9 2.1 2.4 2.6 3.6这两年都是λ≥2（万元）的概率为P＝＝．18．（12分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）①当B为空集时，m+1＜2m﹣1，m＞2成立，②当B不是空集时，∵B⊆A，，解得﹣1≤m≤2，综上①②，m的取值范围为[﹣1，+∞）；（2）∃x∈A，使得x∈B，∴B为非空集合且A∩B≠∅，∴m+1≥2m﹣1，m≤2，∵A∩B＝∅时，2m﹣1≥4或m+1＜﹣3，解得，∴m＜﹣4，∴A∩B≠∅，﹣4≤m≤2，∴m的取值范围为：[﹣4，2]．19．（12分）如图所示，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在公路GH上），现向公路和中转站分别修两条简易公路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为l0万元/千米，公路造价为30万元/千米，问x取何值时，建中转站和道路总造价M最低．【解答】解：（1）∵AB＝y，AB＝AC+1，∴AC＝y﹣1．在直角三角形BCF中，∵CF＝x，∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，BC＝2x．由于2x+y﹣1＞y，得．在△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°，∴（y﹣1）2＝y2+4x2﹣2xy∴∵y＞0，，∴x＞1∴y关于x的函数解析式是；（2）M＝30（2y﹣1）+40x＝10令x﹣1＝t，则M＝10（）≥490当且仅当t＝，x＝，时，总造价M最低．20．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且当n∈N*时，S n是2n+1与2m的等差中项（m为实数）．（1）求m的值及数列{a n}的通项公式，（2）令b n＝1+log2a n（n∈N*）是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵n∈N*时，S n是2n+1与2m的等差中项，∴，n∈N*，即，n∈N*，∴，n∈N*，∴，n∈N*，∴，n≥2，∵{a n}是等比数列，∴在n＝1时必成立，∴a n的通项公式为，又，a1＝S1＝2+m，∴2+m＝1，即m＝﹣1；（2）由（1）知，∴b n＝1+log2a n＝n，设，＝，∴{∁n}为递增数列，时∁n＞，则＞，∴k＜10，∴k max＝9．21．（12分）已知函数f（x）＝（log2x）2﹣2log2x+a2．（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（2）设m＞1，若对任意x∈[2，+∞），不等式f（m（2x﹣2﹣x））＜f（4x+4﹣x﹣1）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）可令t＝log2x，则y＝t2﹣2t+a2，由x＞0，可得t∈R，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，等价为t∈R，y＝t2﹣2t+a2＞0恒成立，则△＝4﹣4a2＜0，解得a＞1或a＜﹣1；（2）令t＝log2x，因为x≥2，则t≥1，因为y＝t2﹣2t+a2的对称轴为t＝1，所以y＝t2﹣2t+a2在[1，+∞）递增，即f（x）在[2，+∞）递增，因为x≥2，所以2x﹣2﹣x≥＞2，4x+4﹣x﹣1＞2，因为m＞1，所以m（2x﹣2﹣x）＞2，因为f（m（2x﹣2﹣x））＜f（4x+4﹣x﹣1），所以m（2x﹣2﹣x）＜4x+4﹣x﹣1，即m＜，因为4x+4﹣x﹣1＝（2x﹣2﹣x）2+1，所以m＜2x﹣2﹣x+，因为2x﹣2﹣x≥，所以2x﹣2﹣x+≥+＝，故m＜，因为m＞1，所以m的取值范围是（1，）．22．（12分）设函数f（x）＝x﹣﹣tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数t的取值范围；（2）当x∈（0，1）时，证明x2+x﹣﹣1＜e x lnx．【解答】解：（1）不等式f（x）＜0即，记，依题意，函数F（x）＞0在（0，1）上恒成立，，由x∈（0，1）可知，，①当0＜t≤2时，F′（x）＜0，此时函数F（x）在（0，1）上单调递减，故F（x）＞F（1）＝0满足条件；②当t＞2时，存在x0∈（0，1）使得F′（x0）＝0，由的性质知，x∈（0，x0）时，F′（x）＜0；x∈（x0，1）时，F′（x）＞0，则函数F（x）在（0，x0）上单减，在（x0，1）上单增，因为F（1）＝0，所以F（x0）＜0，则F（x）＞0不恒成立，即t＞2不满足条件．综上，实数t的取值范围为（0，2]；（2）证明：由常见不等式可知，当x∈（0，1）时，，∴要证，只需证，即证，又x∈（0，1），故只需证e x＜（x+1）2，即证e x﹣（x+1）2＜0，令h（x）＝e x﹣（x+1）2，x∈（0，1），则h′（x）＝e x﹣2x﹣2，h''（x）＝e x﹣2，易知当x∈（0，ln2）时，h''（x）＜0，h′（x）单减；当x∈（ln2，1）时，h''（x）＞0，h′（x）单增，∴h′（x）min＝h′（ln2）＝﹣2ln2，又h′（0）＝﹣1，h′（1）＝e﹣4＜0，∴h′（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为减函数，∴h（x）＜h（0）＝0，即e x﹣（x+1）2＜0，即得证．。
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。
辽宁省实验中学大连八中大连二十四中鞍山一中东北育才学校五校协作体2020_2021学年高二生物上学期
2020—2021学年度上学期期末考试高二年级生物科试卷命题学校：鞍山一中命题人：张晴晴校对人：李辉客观卷Ⅰ一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1.在机体完成各项生命活动过程中，神经系统通过复杂而精巧的调节，使得机体能够保持高度的协调一致与稳定。
关于神经系统的组成和功能,下列说法中错误的是()A.神经系统对于内脏活动的调节，存在分级调节B.自主神经系统是脑神经的一部分，包括交感神经与副交感神经C.大脑皮层运动代表区范围的大小与躯体中相应部位的大小无关D.语言、学习和记忆是脑的高级功能，其中人脑特有的高级功能是语言2.内环境是细胞直接生活的液体环境，体内细胞通过内环境与外界环境进行物质交换。
下图为人体细胞与内环境进行物质交换示意图，序号代表相关结构或成分，下列叙述错误的是()A.若图中①细胞为肝脏细胞，则A端血糖浓度低于B端B.激素和神经递质属于③中的成分，并可参与细胞外液渗透压的调节C.④中的细胞在②中也能找到，它们可以协助机体抵御疾病D.生活在平原地区的人，进入高原后⑤的数量可能会增加3.胰岛素是由胰腺中的胰岛B细胞分泌的激素，在人体的血糖平衡调节中发挥着重要作用。
除了调节血糖外，胰岛素还可以影响脑神经元的生理功能，其调节机制如图所示。
据图分析，下列叙述正确的是()A.InR受损后，对炎症因子的抑制作用减弱，从而提高神经元摄取葡萄糖的速率B.胰岛素激活InR后可以通过抑制炎症因子的释放进而抑制神经细胞的变性、坏死C.InR激活后可以促进神经元树突末梢释放神经递质并作用于突触后膜上的受体，改善突触后神经元的形态与功能D.某些糖尿病人胰岛功能正常，但体内胰岛素对InR的激活能力下降，与正常人相比，此类病人体内胰岛素含量偏低4.Kisspeptin，简称Kp，是Kp神经元产生的一类多肽类激素，它通过调节生物体内雌激素含量来调控生殖活动。
通常情况下，下图中的过程①参与鹌鹑体内雌激素含量的调节；排卵前期，启动过程②进行调节，字母A代表参与调节的器官。
辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题-解析版
辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（ ） A ．16-B ．23C ．1D ．2936【答案】B 【分析】根据分布列的性质，求得13a =，得到()16E X =-，再由21Y X =+，即可求得随机变量Y 的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-， 又由21Y X =+，所以随机变量Y 的期望为()()12212()163E Y E X =+=⨯-+= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A ．3p B ．()31p p -C ．3341C p pD ．334C p【答案】C 【分析】本题可通过n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为p ，从中任意取出4件， 所以恰好含有3件次品的概率为3341C p p ， 故选：C.3．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋅⋅⋅+被9除的余数为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】C 【分析】由题意可得，此题求得是(91)1n--被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论【详解】解：因为n 是正奇数，则1122177771n n n n nn n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++-(71)1(91)1n n =+-=--1122199991n n n n nn n n n C C C C ---=-++⋅⋅⋅+--，所以它被9除的余数为12nn C --=-，即它被9除的余数为7，故选：C4．设随机变量()25,X N σ~，若()100.4P X a >-=，则()P X a >=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A 【详解】因为随机变量()25,X N σ~，所以(5)(5)P X P X >=<,因为(10)0.4P X a >-=，所以()0.6P X a >=,故选A.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．BCD ．【答案】C 【分析】首先求出向量OA OB λ+的坐标，及向量OA OB λ+的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为()1,?00A ，，()0,1,1B -， 所以()1,?00(0OA OB ，λλ+=+，1-，1)(1=，λ-，)λ， 1OA OB λ+=+2OB =()2OA OB OB λλ+⋅=，所以cos 112022==-，所以0λ<， 且4λ= 解得λ=，故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B，其概率为14361 ()5CP ABC==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2 (|)1()5215P ABP B AP A===.故选：D.【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF的周长p 与面积S 满足p = ）A B C ．2D ．3【答案】C 【分析】由双曲线的定义知122AF AF a -=，结合四边形的周长知122pAF AF +=，得到1AF ，2AF 的长度，从而得到矩形21AF BF 的面积，再利用p =助勾股定理2221212AF AF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.【详解】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF +=联立解得14p AF a =+，24pAF a =-， 又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即2e =. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（ ） A ．展开式中所有项的系数和为82 B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448- 【答案】BCD 【分析】由二项展开式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A ，令1x =，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；对于B ，展开式中奇数项的二项式系数和为821282=，B 正确；对于C ，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C 正确；对于D ，展开式中含3x 的项为()()35538C 21448x x -=-，D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题. 10．下列命题中，正确的命题是( )A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大【答案】BCD 【分析】选项A ：利用二项分布期望、方差公式计算判断； 选项B ：由互斥事件概率的加法公式计算判断； 选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，10k ≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断. 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，选项A 错误； 对于选项B ：A A +为必然事件，所以()B B A A BA B A =+=+，而BA 与B A 互斥，()()()()()()0.710.340.37P B P BA P BA P BA P B P BA ∴=+⇒=-=-=，选项B正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ， 当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP X k C -==⋅0.8⋅，所以当1k时，()()()10101110(1)104110.80.210.80.2kk kk k k P X k k C P X k C k-----=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P X k k P X k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤， 因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，又()()01P X P X =<=， 即8k时，概率()8P X =最大，故选项D 正确．故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式()(1)(,)k k n kn P X k C p p k N k n -==⋅-∈≤，可用作商法确定其中的最大值或最小值．11．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C 【答案】AB 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==曲线C 渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于2ACC ．异面直线AD 与1BCD ．若点E 到平面11ACC A EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =．因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，122a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,，因为2111cos ,6||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题13．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________． 【答案】150【分析】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解． 【详解】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2.这种分组方法一共有231455252C N C C =+⨯=，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有336A =种不同的分法.所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有33256150M N A =⨯=⨯=种． 【点睛】本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题． 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01-三角”在“01-三角”中，从第1行起，设第()n n N +∈次出现全行为1时，1的个数为n a ，则3a 等于_______．【答案】8 【分析】分析第6、7行各数，将所有的奇数全部转化为1，确定第三次出现全为1的情形所出现的行数，进而可求得3a 的值. 【详解】第1行和第3行全是1，已经出现2次，依题意，第6行原来的数是()606,rC r r N ≤≤∈，166C =为偶数，不合题意；第7行原来的数是()707rC r ≤≤，即1、7、21、35、35、21、7、1，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情形，所以，38a =. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：求解有关杨辉三角型数阵的推理，一般要观察行之间数据的特点，进而利用归纳推理求解.15．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配的方法总数为a ，则二项式53x a⎛ ⎝的展开式中含x 项的系数为__________．(用数字作答)【答案】52- 【分析】根据排列、组合的定义，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：2123126a C C A =⋅⋅=，所以553=2x x a⎛⎛ ⎝⎝，二项式52x ⎛ ⎝的通项公式为：455531551()(()(1)22r r r r r r rr x T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅，令45133r r -=⇒=，所以x 项的系数为3533515()(1)22C -⋅⋅-=-， 故答案为：52-16．已知M ，N 为抛物线28y x =上两点，O 为坐标原点，且90MON ∠=︒，则MN的最小值为______. 【答案】16 【分析】先设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，利用判别式大于0来确定,M N 的存在性，设()11,M x y ，()22,N x y ，将90MON ∠=︒转化为向量相乘为0，利用根与系数的关系建立关系式，即可求出.【详解】设直线:MN x ty m =+，代入28y x =， 得2880y ty m --=，264320t m ∴∆=+>，即220t m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，128y y m ∴=-，90MON ∠=︒，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，221212064y y y y ∴+=，280m m ∴-=，故8m =，12MN y y ∴=-==16≥，当且仅当20t =时等号成立，∴MN 的最小值为16.故答案为：16. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐，所以对计算能力要求较高.四、解答题17．（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%,4%,2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 【答案】（1）0.75；（2）0.0345． 【分析】（1）利用条件概率的计算公式算出即可；（2）设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，任何利用()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++算出即可. 【详解】()1设A 表示“某天的空气质量为优良”，设B 表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得()()()()()0.8,0.6,0.75P BA P A P BA P B A P A ====所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.75()2设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，123,,A A A 两两互斥，且123A A A =Ω，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++因为()()()1230.25,0.35,0.4P A P A P A ===()()()1230.05,0.04,0.02P B A P B A P B A ===故()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.050.350.040.40.02=⨯+⨯+⨯0.0345=所以从这批产品中任取一件是次品的概率是0.034518．（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,1P 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点()3,2P -，求圆的方程．【答案】（1）0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）()()22148x y -++=． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合斜率存在情况，进行分类讨论，求得直线方程. （2）两种方法，方法一：设圆的标准方程，分别满足题干中条件，求得参数即可；方法二：由过圆心及切点的直线与切线垂直，从而求得圆心坐标，两点间距离求得半径，从而求得圆的方程. 【详解】（1）①当所求直线经过坐标原点且斜率不存在时，方程为0x =，符合题意 ②当所求直线经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为y kx =，由点到直线的距离公式可得2=解得34k =-故所求直线的方程为34y x =-当直线不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设所求直线为y x b =-+ 即0x y b +-=2=解得3b =±故所求直线的方程为3y x =-+±综上可知，所求直线的方程0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）法一：设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=则有()()222432b a a b r r ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=解得1,4,a b r ==-=所求圆的方程为()()22148x y -++=法二：过切点()3,2P -且与10x y +-=垂直的直线23y x +=-由423y x y x =-⎧⎨+=-⎩，得14x y =⎧⎨=-⎩所以圆心为()1,4-所以半径r ==所以所求圆的方程为()()22148x y -++= 【点睛】关键点点睛：（1）对斜率的存在情况分类讨论求解；（2）利用圆与切线的关系求得圆中参数.19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别写出分布列，再求期望值均为2；（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=．2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=，2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.20．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的中点.二面角P AC E--.（1）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值； （2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）3；（2）3. 【分析】（1）建立空间坐标系，根据二面角大小计算PC ，得出平面EAC 的法向量m ，计算PA 与m 的夹角得出线面角的正弦值；（2）计算CD 与平面ACE 的夹角正弦值，再计算D 到平面ACE 的距离. 【详解】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，//CD AB ，12CD AB AF ==，AB AD ⊥，AD CD =， ∴四边形ADCF 是正方形，CF AB ∴⊥，CF CD ∴⊥，以C 为原点，以CD ，CF ，CP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系C xyz -， 设PC h =，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，11,,222h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,0,P h ，∴()1,1,0CA =，11,,222h CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()1,1,AP h =--，设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m CA m CE ⎧=⎨=⎩，即0110222x y hx y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面PAC 的一个法向量为(),,n a b c =，则·0·0n CA n AP ⎧=⎨=⎩，即00a b a b hc +=⎧⎨--+=⎩，则0b ac =-⎧⎨=⎩，令1a =，则()1,1,0n =-，·cos ,2m n m n m n∴<>==⨯，二面角P AC E --的余弦值为3，∴3=，解得2h =，∴()1,1,2AP =--，()1,1,1m =-，·cos 36,AP m AP m AP m∴<>=== ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3；（2）由（1）可得()1,0,0CD =，则·1cos 1,CD m CD m CD m<>===⨯ 设直线CD 与平面EAC 所成角为α，则sin α=， D ∴到平面EAC 的距离为·sin CD α=.【点睛】本题主要考查求线面角的正弦值，考查求点到面的距离，利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby =±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由0∆>，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k=+，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：e b ab c==28a =，又222a b c =+， 联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=， 解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠）， 联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=， 依题意()()2222644344480k t k t ∆=-+->，即2216120k t -+>（*）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k ++=+⋅+-+++==+， 22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47k t ∴=-且t 满足（*）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭， 故直线AP 的斜率2222331344716412874834AP t t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++， 当0k <时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭当且仅当78k k -=-，即4k =-时取等号，此时056AP k -≤<；当0k >时，78k k +≥=78k k =，即4k =时取等号，此时0AP k <≤；综上，直线AP 的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.。
辽宁省辽阳市2020-2021学年高二(下)期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 ，则
A． 的虚部为 B． 在复平面内对应的点位于第一象限
C． D． 在复平面内对应的点位于第四象限
2．从7个人中选3个人参加演讲比赛，则不同的选法种数为（）
四、解答题
17．设复数 .
（1）求z的共轭复数 ；
（2）设 ， ，求 的值.
18．某地一所妇产科医院为了解婴儿性别与出生时间（白天或晚上）之间的联系，从该医院最近出生的200名婴儿获知如下数据：这200名婴儿中男婴的比例为55%，晚上出生的男婴比白天出生的男婴多75%，晚上出生的女婴人数与白天出生的男婴人数恰好相等.
故选:B.
【点睛】
本题考查了复数的运算，实部和虚部的定义，考查了充分必要条件的判断，考查数学运算能力和逻辑推理能力，属于基础题.
6．D
【分析】
根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.
7．C
【分析】
（1）根据题意，完成下列2×2列联表；
出生时间
婴儿性别
白天
晚上
合计
男
女
总计
200
（2）根据列联表，判断能否有99%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关，说明你的理由.
附： （n＝a+b+c+d），参考数据： ≈0.0368.
P（K2≥k）
0.050
0.010
2020-2021学年辽宁省鞍山市高二下学期期末考试数学试卷(解析版)
辽宁省鞍山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2] B．[3，5] C．[2，3] D．[3，5）『答案』A『解析』因为集合A＝{x|x＞3}，所以∁R A＝{x|x≤3}，又B＝{x|≤0}＝{x|x≤2或x＞5}，故（∁R A）∩B＝（﹣∞，2]．故选：A．2．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2『答案』B『解析』∵a＜b＜0，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；∵f（x）＝|x|在（﹣∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）＝x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（）A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0『答案』A『解析』设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，则P（B）＝0.5，P（A|B）＝1，P（A|）＝0.25，P（A）＝P（AB）+P（A）＝＝1×0.5+0.25×0.5＝0.625．故选：A．4．在（x﹣）5的二项展开式中，x2的系数是（）A．8 B．﹣8 C．10 D．﹣10『答案』D『解析』∵（x﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x5﹣3r，令5﹣3r＝2，求得r＝1，可得展开式中x2的系数是﹣10，故选：D．5．疫情期间以网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间（小时）进行统计，服从正态分布N（9，12），则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（）（四舍五入保留整数）参考数据：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．A．15 B．16 C．31 D．32『答案』B『解析』，故所求人数为100×0.1587≈16．故选：B．6．下列说法错误的是（）A．“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”B．“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”C．“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件D．“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件『答案』C『解析』对于A，“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”的逆否命题是“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”，正确；对于B，“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≠0”的否定是∃x0∈R，x02﹣2x0﹣3＝0”，正确；对于C，“x2﹣2x﹣3＞0”等价于“x＜﹣1或x＞3”，∴“x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，错误；对于D，“x＜﹣1或x＞3”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充要条件，正确．故选：C．7．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1＞0，S10＝S20，则不成立是（）A．d＜0 B．a16＜0C．S n的最大值是S15D．当且仅当S n＜0时，n＝32『答案』D『解析』设等差数列{a n}的公差为d，由S10＝S20，得10a1+45d＝20a1+190d，即2a1+29d ＝0，又a1＞0，所以d＜0，故选项A正确；由2a1+29d＝0，得a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，所以a15＞0；a16＜0，即{a n}是递减数列，且n≤15时，a n＞0；当n≥16时，a n＜0，所以选项C正确．因为S31＝（a1+a31）＝31a16＜0，所以选项D错误．故选：D．8．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a＝f（2），b＝f（3），c＝（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a『答案』A『解析』构造函数g（x）＝，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＝，即函数g（x）单调递增，则a＝f（2）＝＝g（2），b＝f（3）＝＝g（3），c＝（+1）f（）＝＝g（），则g（）＜g（2）＜g（3），即c＜a＜b，故选：A．二、多选题（本大题4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（下）期末数学试卷一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）sin18°cos12°+cos18°sin12°＝（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，若＝（）A．与B．与C．与D．与3．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）若cosα＝，则cos2a＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）若α满足＝﹣2，则tanα等于（）A．B．﹣C．±D．﹣6．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数之和是（）A．25B．26C．25.5D．24.57．（5分）若tanα＝，tanβ＝，α，β∈（0，π）（）A．B．C．D．8．（5分）已知向量＝（2，﹣4），＝（﹣1，3），则向量2+3与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次任取出2个球，则下列说法正确的是（）A．事件“两球都不是白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立B．事件“两球恰有一白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立C．事件“两球至少有一个白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立D．事件“两球都为红球”与事件“两球都为白球”是对立事件10．（5分）已知6个样本数据a，0，1，2，3，5的平均数为1，则（）A．a＝﹣5B．这组数据的中位数是1C．从6个数中任取一个数，取到的数为正数的概率为D．每个数据都加上5后得到的新数据的方差是原来的方差的5倍11．（5分）已知sin（+α）＝，下列结论正确的是（）A．cos（+α）＝B．cos（﹣α）＝C．sin（+α）＝D．cos（﹣α）＝﹣12．（5分）设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x+π）的一个零点为x＝D．f（x）在（，π）单调递减三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是9，10，14，15，16，17，18，那么数据的80%分位数是．14．（5分）计算：cos215°﹣sin215°＝．15．（5分）已知，是不共线的平面向量，＝3，＝2+，＝﹣，若B，C，D三点共线．16．（5分）已知甲、乙，丙3名射击运动员击中目标的概率分别为，，，且每名运动员是否击中目标互不影响，则三枪中至少有两枪命中的概率为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 17．（10分）据统计，目前全世界的人群中，15%属健康人群，而75%的人群处于疾病的前缘，即亚健康人群，针对年龄的情况进行统计，绘制频率分布直方图如图所示，30），[30，…，[60，70]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若该公司年龄在[30，40）的员工有140人，按照分层抽样的方法从年龄在[50，在上述抽取的员工中抽取2人进行慢性疾病检查，求这2人的年龄恰好都来自[5018．（12分）已知A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cos α，sin α），α∈（0，2π）．（1）若＝，求角α的值；（2）若•＝0，求的值．19．（12分）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译出密码的概率为0.8，乙破译出密码的概率为0.7．记事件A：甲破译出密码（1）求甲、乙二人都破译出密码的概率；（2）求密码被破译的概率．20．（12分）已知α，β均为锐角，且cos（α+β），sinα＝．（1）求sin2α的值；（2）求sin（β﹣α）的值．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式．（Ⅱ）设函数，求g（x）的值域．22．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cos x）、B（1+cos x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•﹣（2m+）|，求实数m的值．2020-2021学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）sin18°cos12°+cos18°sin12°＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°＝sin（18°+12°）＝sin30°＝，故选：D．2．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，若＝（）A．与B．与C．与D．与【解答】解：∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分，∴＝﹣，即与，故选：B．3．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，8，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，5），3），4），8），4），4）共4个，其中和为偶数的有（1，3），8）共2个，由古典概型的概率公式可知，从1，8，3，4中随机取出两个不同的数．故选：B．4．（5分）若cosα＝，则cos2a＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：因为cosα＝，所以cos8a＝2cos2α﹣4＝2×﹣1＝﹣．故选：D．5．（5分）若α满足＝﹣2，则tanα等于（）A．B．﹣C．±D．﹣【解答】解：由＝﹣5，可得tanα＝＝﹣．故选：B．6．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数之和是（）A．25B．26C．25.5D．24.5【解答】解：由频率分布直方图可知，第1组的频率为0.04×8＝0.2，第7组的频率为0.1×4＝0.5，第2组的频率为1﹣0.8﹣0.5＝2.3，估计总体平均数为7.5×0.2+12.8×0.5+17.3×0.3＝13，由题意可知，中位数在第6组内，设中位数为10+x，则0.1x＝3.3，所以中位数为13，则估计总体的平均数与中位数之和是26．故选：B．7．（5分）若tanα＝，tanβ＝，α，β∈（0，π）（）A．B．C．D．【解答】解：α，β∈（0，且tanα＝，所以α，β∈（5，），故α+β∈（0，π），tan（α+β）＝，所以．故选：A．8．（5分）已知向量＝（2，﹣4），＝（﹣1，3），则向量2+3与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设向量2与+3，向量＝（4，＝（﹣1，则2＝（6，+3，5），则有|7+3，|+4，（2）•（）＝4，故cosθ＝＝＝，故选：D．二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次任取出2个球，则下列说法正确的是（）A．事件“两球都不是白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立B．事件“两球恰有一白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立C．事件“两球至少有一个白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立D．事件“两球都为红球”与事件“两球都为白球”是对立事件【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，事件“两球都不是白球”与事件“两球都为白球”不会同时发生，故两个事件互斥而非对立；对于B，事件“两球恰有一白球”与事件“两球都为白球”不会同时发生，故两个事件互斥而非对立；对于C，事件“两球至少有一个白球”与事件“两球都为白球”可能同时发生，两个事件不是互斥事件；对于D，事件“两球都为红球”与事件“两球都为白球”的和不是必然事件，D错误；故选：AB．10．（5分）已知6个样本数据a，0，1，2，3，5的平均数为1，则（）A．a＝﹣5B．这组数据的中位数是1C．从6个数中任取一个数，取到的数为正数的概率为D．每个数据都加上5后得到的新数据的方差是原来的方差的5倍【解答】解：A选项，由平均数为1，得，说法正确．B选项，中位数为．C选项，从6个数中任取一个数，说法正确．D选项，每个数据都加上5后得到的新数据的波动情况与原数据相同，说法错误．故选：AC．11．（5分）已知sin（+α）＝，下列结论正确的是（）A．cos（+α）＝B．cos（﹣α）＝C．sin（+α）＝D．cos（﹣α）＝﹣【解答】解：对于A，sin（，可得cos（，故错误；对于B，cos（﹣（+α）＝；对于C，sin（+α）＝﹣sin（，故错误；对于D，cos（﹣α）＝﹣cos（，故正确．故选：BD．12．（5分）设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x+π）的一个零点为x＝D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，周期T＝﹣2π，B．当x＝时）＝cos（+＝cos3π＝﹣6为最小值对称，C当x＝时，f（+π+＝6，故C正确，D．当＜x＜π时，＜，此时函数f（x）不是单调函数，故选：ABC．三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是9，10，14，15，16，17，18，那么数据的80%分位数是17．【解答】解：因为80%×10＝8，所以将样本数据从小到大排列，为．故答案为：17．14．（5分）计算：cos215°﹣sin215°＝．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°﹣sin215°＝cos30°＝．故答案为：．15．（5分）已知，是不共线的平面向量，＝3，＝2+，＝﹣，若B，C，D三点共线10．【解答】解：，，∵B，C，D三点共线，∴与共线，且，则，∴存在实数λ，使，即，∴，解得λ＝10．故答案为：10．16．（5分）已知甲、乙，丙3名射击运动员击中目标的概率分别为，，，且每名运动员是否击中目标互不影响，则三枪中至少有两枪命中的概率为．【解答】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，则P（A）＝，P（B）＝，∴他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中两枪的概率为：P＝P（）+P（）+P（ABC）＝+＝．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 17．（10分）据统计，目前全世界的人群中，15%属健康人群，而75%的人群处于疾病的前缘，即亚健康人群，针对年龄的情况进行统计，绘制频率分布直方图如图所示，30），[30，…，[60，70]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若该公司年龄在[30，40）的员工有140人，按照分层抽样的方法从年龄在[50，在上述抽取的员工中抽取2人进行慢性疾病检查，求这2人的年龄恰好都来自[50【解答】解：（1）因为（0.01×2+8.015+0.03×a）×10＝1，解得a＝3.035；（2）若该公司年龄在[30，40）的员工有140人，又年龄在[30，40）的员工的频率为0.0353×10＝0.35，则该公司一共有140÷8.35＝400人，在[50，60）的员工有400×0.015×10＝60人，在[60，70）的员工有400×0.01×10＝40人，由分层抽样方法可得，在[50，则在[50，在[60，这5人的年龄恰好都来自[50，60）的概率为＝．18．（12分）已知A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cos α，sin α），α∈（0，2π）．（1）若＝，求角α的值；（2）若•＝0，求的值．【解答】解：（1）∵＝（cosα﹣3，＝（cosα．∴||＝＝，||＝＝，∵||＝||，∴sinα＝cosα，又 α∈（0，∴α＝或；（2）由•＝0，知：（cosα﹣7）cosα+（sinα﹣3）sinα＝0．∴sinα+cosα＝，∴2sinα•cosα＝﹣，又 α∈（0，∴α∈（，）或α∈（．若α∈（，），则sinα﹣cosα＝＝．联立，解得sinα＝，tanα＝．∴＝＝；若α∈（，2π）．联立，解得sinα＝，tanα＝．∴＝＝．19．（12分）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译出密码的概率为0.8，乙破译出密码的概率为0.7．记事件A：甲破译出密码（1）求甲、乙二人都破译出密码的概率；（2）求密码被破译的概率．【解答】解：（1）由题意得P（A）＝0.8，P（B）＝6.7，B相互独立，∴甲、乙二人都破译出密码的概率为：P（AB）＝P（A）P（B）＝0.6×0.7＝2.56．（2）“密码被破译”也就是“甲乙二人中至少有一人破译出密码”，可以表示为，且两两互斥，∴甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率为：P（）＝＝0.2×5.7+0.4×0.3+3.8×0.3＝0.94．20．（12分）已知α，β均为锐角，且cos（α+β），sinα＝．（1）求sin2α的值；（2）求sin（β﹣α）的值．【解答】解：（1）由题意，α，β均为锐角，因为sinα＝，所以，则sin2α＝＝；（2）因为α，β均为锐角，又cos（α+β）＝﹣，所以＝，因为sinα＝，则，所以sin（β﹣α）＝sin[（α+β）﹣2α]＝sin（α+β）cos2α﹣cos（α+β）sin2α＝×﹣＝．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式．（Ⅱ）设函数，求g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）的图象得A＝2，周期﹣），∴ω＝2．根据五点法作图可得3•+φ＝，∴f（x）＝2sin（2x﹣）．（Ⅱ）g（x）＝f（x）+4sin2x＝sin2x﹣cos2x+5•＝＝2sin（2x﹣，∵x∈[4，]，∴2x﹣，]，sin（2x﹣，1]，即可得到g（x）＝7sin（2x﹣，2+7]．22．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cos x）、B（1+cos x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•﹣（2m+）|，求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、，∴A，B．（3分）（Ⅱ）∵，∴＝∴，∴．（6分）（Ⅲ）∵C为的定比分点，∴，∴∵，∴cos x∈[8当m＜0时，当cos x＝0时；（7分）当0≤m≤1时，当cos x＝m时4，得（舍）（10分）当m＞1时，当cos x＝3时，得（11分）综上所述，为所求。
2020-2021学年辽宁省实验中学等五校联考高二年级上学期期末考试数学试卷
| m | | n | 14 11
77
由题可知，二面角 A − FB1 − A1 为锐二面角，
故二面角 A − FB1 − A1 的余弦值为 4 154 ．··················12 分 77
19.解（1）当直线 l
与直线 l0
:
y
=
2x
平行时，不能构成 AOB
，此时 kBP
=
3 2−
高二年级数学科试卷第 3 页共 4 页
20．（12 分）
如图，在四棱锥 P − ABCD 中， PA ⊥ 平面 ABCD ， AB//CD ，且 CD = 2 ，AB = 1，BC = 2 2 ，PA = 1， AB ⊥ BC ， N 为 PD 的中点． （1）求证： AN // 平面 PBC ； （2）在直线 PD 上是否存在一点 M ，使得直线CM
A．展开式中所有项的系数和为 28
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为 128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项 D．展开式中含 x3 项的系数为 −448
12．设椭圆 x2 + y2 = 1的右焦点为 F，直线 y = m(0 m 3) 与椭圆交于 A，B 两点， 93
则下述结论正确的是（ ）
A．AF+BF 为定值
B．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]
C．当 m = 2 时，△ABF 为直角三角形 D．当 m=1 时，△ABF 的面积为 6
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 F 是抛物线 C：y2 = 8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若
AFB1
的法向量为
n
=
2023-2024学年高二上学期生物期末检测卷
2023-2024学年高二上学期生物期末检测卷（时间75分钟，满分100分）注意事项∶1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（北京市北师大附中2021-2022学年高二上学期期末）下图代表肌细胞与环境的物质交换关系。
X、Y、Z表示三种细胞外液，叙述错误．．的是（）A．若饮食过咸，则Y中渗透压会升高B．X中的大分子物质可通过Z进入YC．Y中物质可与肌细胞产生的乳酸反应维持pH稳定D．Z处理化性质的稳定不依赖于神经-体液调节2．（江西省二中2020-2021学年高二上学期期末）如图为高等动物体内细胞与内环境进行物质交换的相关示意图，有关叙述不正确的是（）A．内环境与I交换气体必须通过肺泡壁和毛细血管壁B．②主要指泌尿系统排出代谢废物的过程C．IV指皮肤，是人体最大的器官D．内环境是机体进行正常生命活动和细胞代谢的场所3．（江苏省扬州中学2022-2023学年高二上期期末）人类致盲原因之一是青光眼，青光眼是房水过多导致的。
房水是由睫状体产生的，充满在眼前、后房内的一种透明清澈液体。
房水中蛋白质的含量仅为血浆中含量的1/200，葡萄糖含量约为血浆中的80%，主要作用是供应虹膜、角膜和晶状体营养，并把这些组织的代谢产物运走。
下列叙述错误的是（）A．房水属于内环境中的组织液B．利用药物促进房水排出是治疗青光眼的措施之一C．房水中无机盐的含量可能高于血浆，以便维持渗透压的平衡D．泪液是房水直接外排形成的一种液体，具有抑制细菌生长的作用4．（黑龙江省哈尔滨师范大学附中2021-2022学年高二上学期期末）共享单车一度成为街头巷尾的一道靓丽风景线。
2020-2021学年辽宁省实验中学高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省实验中学高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2≤4}，B={x||x|>1}，则A∩B=()A. {x|1<x≤2}B. {x|−2<x<−1或1<x<2}C. {x|−2≤x<−1}D. {x|−2≤x<−1或1<x≤2}2.复数z满足z(1+i)=1−i，则z的虚部等于()A. −iB. −1C. 0D. 13.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是()A. m1>m2，s1>s2B. m1>m2，s1<s2C. m1<m2，s1<s2D. m1<m2，s1>s24.设a=50.4，b=log0.40.5，c=log50.4，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a5.已知α是第二象限角，sinα=45，则sin2α=()A. −2425B. 2425C. −1225D. 12256.四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有()种不同的排班方式．A. 240B. 480C. 420D. 3607.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过焦点F的直线l交抛物线C于P、Q两点，交y轴于点A，若点P为线段FA的中点，且|FQ|=2，则p的值为()A. 23B. 43C. 2D. 38.在底面边长为1的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱长等于2，则()A. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有一个B. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有两个C. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有三个D. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有四个二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>1，n∈N+，则()A. {a n}一定是递增数列B. {a n}可能是递增数列也可能是递减数列C. a3，a7，a11仍成等比D. ∀n∈N+，S n≠010.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1+x)=−f(1−x)，且x≥1时，函数f(x)单调递增，则()A. f(1)=0B. f(x)是周期函数C. 方程f(x)=0有唯一实数解D. 函数f(x)在(−∞,0)内单调递减11.为了得到y=2sin(2x−π3)的图象只需把函数y=2cos(2x+π6)的图象()A. 向右平移π2B. 向左平移π2C. 关于直线x=π4轴对称 D. 关于直线x=π6轴对称12.方程e x+x−2=0的根为x1，lnx+x−2=0的根为x2，则()A. x1x2>12B. x1lnx2+x2lnx1<0C. e x1+e x2<2eD. x1x2<√e2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F1，F2为双曲线x216−y29=1的左、右焦点，则|F1F2|=______ ．14.若正数a、b满足a+2b=1，则2a +1b的最小值是______ ．15.某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加.现有A，B，C，D四位同学，已知A与B没有选择相同的兴趣小组，C与D 没有选择相同的兴趣小组，B与C选择的兴趣小组恰有一个相同，且B选择了足球兴趣小组.给出如下四个判断：①C可能没有选择足球兴趣小组：②A、D选择的两个兴趣小组可能都相同；③D可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组；其中正确判断是______ ．16.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是平面向量，a⃗，c⃗是单位向量，且<a⃗，c⃗>=π3，若b⃗ 2−9b⃗ ⋅c⃗+20=0，则|2a⃗−b⃗ |最大值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①ac=4√7，②sinB=2sinA，③csinA=√3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA+acosB+2ccosC=0，△ABC的面积是2√3，____？18.某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖.现有一位员工参加此摸奖游戏．(1)如果该员工选择有放回的方式(即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个)摸球，求他能中奖的概率；(2)如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望；(3)该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．19.四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，PD=AD=4，∠BAD=60°，点F在棱PD上．PD，在棱BC上是否存在一点E，使得CF//平面PAE，并(1)若PF=12说明理由；(2)若直线AF与平面BCF所成的角的正弦值是√15，求二面角A−FB−C10的余弦值．20.已知数列{a n}前n项和为S n，且a1=3，S n=a n+1−1，数列{b n}为等差数列，a2=b4，且b2+b5=b7．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．(n+2)b n+121.已知椭圆Γ中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率e=1，经过点2M(c,−3)(c为椭圆的半焦距)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)∠F1MF2的平分线l与椭圆的另一个交点为N，O为坐标原点，求直线OM与直线ON斜率的比值．22.设函数f(x)=(1+ax)e−2x，曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=−x+1．(1)求实数a的值；(2)求证：当x∈[0,1]时，2f(x)−2≥x(x2+4cosx−6)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|−2≤x≤2}，B={x|x<−1或x>1}，∴A∩B={x|−2≤x<−1或1<x≤2}．故选：D．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z满足z(1+i)=1−i，∴z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=1−2i+i21−i2=−i，∴z的虚部为−1．故选：B．推导出z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，由此能求出z的虚部．本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用频率分布直方图求平均数、中位数，考查运算求解能力，是基础题．利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．【解答】解：由频率分布直方图得：甲地区[40,60)的频率为：(0.015+0.020)×10=0.35，[60,70)的频率为0.025×10=0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+0.5−0.350.25×10=66，甲地区的平均数s1=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67．乙地区[50,70)的频率为：(0.005+0.020)×10=0.25，[70,80)的频率为：0.035×10=0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+0.5−0.250.35×10≈77.1，乙地区的平均数s2=55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10=77.5．∴m1<m2，s1<s2．故选：C．4.【答案】B【解析】解：∵a=50.4>1，b=log0.40.5∈(0,1)，c=log50.4<0，则a，b，c的大小关系为：c<b<a．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性分别与0，1比较大小即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为α是第二象限角，sinα=45，所以cosα=−√1−sin2α=−35，则sin2α=2sinαcosα=2×45×(−35)=−2425．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，分2步进行分析，①在4人中选出1人，在5天中任选2天，安排该人值班，有C41C52=40种选法，②将剩下3人，安排到其余3天值班，有A33=6种排法，则有40×6=240种不同的排班方式，故选：A．根据题意，分2步进行分析，①在4人中选出1人，在5天中任选2天，安排该人值班，②将剩下3人，安排到其余3天值班，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分布计数原理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图所示，分别过点P，Q做QB⊥l，PE⊥l，垂足分别为B，E，抛物线的焦点坐标F(p2,0)，不妨P在第四象限，由题意，点P为线段FA的中点，且|FQ|=2，P(p4,−√22p)，则A(0,−√2p)，Q(2−p2,√2p(2−p2))，A 、F 、Q 三点共线，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(p 2,√2p)，FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−p,√2p(2−p 2))， 所以√2p(2−p)=p 2⋅√2p(2−p2)，解得p =43或p =83(舍去)，故选：B ．如图所示，分别过点P ，Q 作PE ⊥l ，QB ⊥l ，垂足分别为E ，B ，通过抛物线的性质，求出A 、P 、Q 的坐标，利用三点共线，求解即可．本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查数形结合思想方法和距离公式的应用，考查化简运算能力，属于中档题． 8.【答案】B【解析】解：如图，BC 是异面直线A 1B 和C 1C 的公垂线段，可得线段BC 的中点到它们的距离相等，都为12，点D 1到异面直线A 1B 和C 1C 的距离都为1，在正四棱柱的棱上到异面直线A 1B 和C 1C 距离相等的点有且只有两个．故选：B ．根据正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中的线线、线面位置关系，即可判断．本题考查了正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的性质，考查了空间想象能力，属于基础题．9.【答案】BCD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，当a 1<0时，若q >1，{a n }为递减数列，A 错误，对于B ，已知q >1，当a 1<0时，{a n }为递减数列，当a 1>0时，{a n }为递增数列，B 正确， 对于C ，数列{a n }为等比数列，则a 3，a 7，a 11仍成等比，C 正确， 对于D ，等比数列{a n }中，q >1，则S n =a 1(1−q n )1−q，必有S n ≠0，D 正确，故选：BCD ．根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查等比数列前n 项和、等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题． 10.【答案】AC【解析】解：由f(1+x)=−f(1−x)得f(1+x)+f(1−x)=0， 即f(x)的图象关于点(1,0)对称，令x =0得f(1)=−f(1)，则2f(1)=0，即f(1)=0，故A 正确；又因当x ≥1时，函数f(x)单调递增，f(x)的图象关于点(1,0)对称，则函数f(x)在(−∞,1)内单调递增，故D 不正确；函数f(x)在R 上单调递增，f(1)=0，所以方程f(x)=0有唯一实数解，故C 正确； 故选：AC ．根据f(1+x)=−f(1−x)得f(x)的图象关于点(1,0)对称，结合x ≥1时，函数f(x)单调递增，可得在(−∞,1)上的单调性，以及方程的解得情况．本题主要考查抽象函数及其应用，解题的关键是得到函数图象关于点对称，属于中档题．11.【答案】AB【解析】解：对于A：把函数y=2cos(2x+π6)的图象向右平移π2个单位，得到y=2cos[2(x−π2)+π6]=2cos(2x−5π6)=2sin(2x−π3)的图象，故A正确；对于B：把函数y=2cos(2x+π6)的图象向左平移π2个单位，得到y=2cos[2(x+π2)+π6]=−2cos(2x+π6)=2sin(2x−π3)的图象，故B正确；对于C：当x=π4时，函数取不到最值，故C错误；对于D当x=π6时，函数取不到最值，故D错误．故选：AB．直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的图象和性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：令f(x)=e x+x−2，g(x)=lnx+x−2，则函数y=−x+2与函数y=e x和函数y=lnx的交点，即为函数f(x)和g(x)的零点，作出函数y=e x、y=lnx、y=−x+2、y=x的图象如下图所示，选项A：因为点A，B关于点C对称，且0<x1<1<x2，又因为C(1,1)，所以x1+x2=2，且e x1=x2，故A错误，对于选项B：因为e x1+x1−2=0，由零点存在定理知0<x1<12，记F(X)=xe x +lnxx，则F′(x)=1−xe x+1−lnxx2，故当0<x<12时，F′(x)>0，所以F(x)在(0,12)上单调递增，因为0<x 1<12，所以F(x 1)<F(12)， 即x 1e x 1+lnx 1x 1<12e 12+ln1212=2√eln4<0，即x 1e x 1+lnx 1x 1<0，又e x 1=x 2， 故lnx 2x 2+lnx 1x 1<0，故B 正确，对于C 选项：因为点A ，B 关于点C 对称，且0<x 1<1<x 2， 又因为C(1,1)，所以x 1+x 2=2，由基本不等式得e x 1+e x 2≥2√e x 1+x 2=2e ，而x 1≠x 2， 所以e x 1+e x 2>2e ，故C 错误；对于选项D ：记G(x)=2−x −lnx ，则G(1)=1>0， G(√e)=2−√e −12=32−√e <0，则1<x 2<√e ，由x 1x 2=(2−x 2)x 2=x 2lnx 2，易知y =xlnx 在(32,e)单调递增， 故x 1x 2=x 2lnx 2<√eln √e =√e2，故D 正确．故选：BD ．观察两个函数的解析式易发现y =−x +2与函数y =e x 和函数y =lnx 的交点，即为函数f(x)和g(x)的零点，作出函数图象即可判断选项A ，通过构造函数F(x)=lnx x，再利用其单调性来构造相关的不等式，可以判断选项B ，利用基本不等式的相关性质即可判断选项C ，构造函数G(x)=2−x −lnx ，利用其单调性和x 2的取值范围进行分析求解，即可判断选项D ．本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了对数函数、指数函数图象和性质的应用、利用导数研究函数的应用，综合性较强，对于学生的化归与转化能力、构造函数的能力以及计算能力都有很高的要求． 13.【答案】10【解析】解：F 1，F 2为双曲线x 216−y 29=1的左、右焦点，可得a =4，b =3，c =√a 2+b 2=5， 所以|F 1F 2|=10． 故答案为：10．利用双曲线方程求解a ，b ，推出c ，即可得到结论．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 14.【答案】8【解析】解：∵正数a 、b 满足a +2b =1， 则2a +1b =(a +2b)(2a +1b )=4+4b a+a b ≥4+2√4b a ×ab =8，当且仅当a =2b =12时取等号．∴2a +1b 的最小值是8．故答案为：8．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】①③④【解析】解：对于①，若C没有选择足球兴趣小组，则B与C相同的为其它三项中的一项，可以是如下选法：故①正确；对于②，A、D选择的两个兴趣小组都相同，因为C与D不同，所以A与C不同，而C与B有一个相同，故A必有一个与B相同，与题意不符，故②错误；由分析①的图示可知，D可能没有选择篮球兴趣小组，故③正确；对于④，B已选了足球，则A不选足球，若C选足球，则D不选足球，若D选足球，则C不选足球，且C与D中必有一人选足球，故这四人中恰有两人选择足球兴趣小组，故④正确．故答案为：①③④．利用图示法说明①③正确；由反证法思维说明②错误；直接推理证明④正确．本题考查简单的合情推理，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．16.【答案】√61+12【解析】解：因为a⃗，c⃗是单位向量，所以|a⃗|=|c⃗|=1，又因为<a⃗，c⃗>=π3，不妨设a⃗=(1,0)，c⃗=(12,√32)，又因为b⃗ 2−9b⃗ ⋅c⃗+20=0，所以(b⃗ −4c⃗ )⋅(b⃗ −5c⃗ )=0，所以(b⃗ −4c⃗ )⊥(b⃗ −5c⃗ )，作图，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ =(2,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4c ⃗ =(2,2√3)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5c ⃗ =(52,5√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∠AOC =π3，所以b ⃗ −4c ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ −5c ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以点B 在以CD 为直径的圆上，圆心为CD 中点(94,9√34)，r =12√(52−2)2+(5√32−2√3)2=12，|2a ⃗ −b⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以问题转化为点A 到圆上距离的最大值√(94−2)2+(9√34−0)2+r =√61+12．故答案为：√61+12．根据题意不妨设a ⃗ =(1,0)，c ⃗ =(12,√32)，b ⃗ 2−9b ⃗ ⋅c ⃗ +20=0⇒(b ⃗ −4c ⃗ )⊥(b ⃗ −5c ⃗ )，作图OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ =(2,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4c ⃗ =(2,2√3)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5c ⃗ =(52,5√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∠AOC =π3，点B 在以CD 为直径的圆上，计算圆心，及半径，问题转化为点A 到圆上距离的最大值点A 到圆心的距离+r 即可得出答案．本题考查向量的运算，最值，解题关键是利用几何图形转化问题，属于中档题．17.【答案】解：由正弦定理知，a sinA =b sinB =csinC ，∵bcosA +acosB +2ccosC =0，∴sinBcosA +sinAcosB +2sinCcosC =0，即sin(A +B)+2sinCcosC =0， ∵A +B +C =π，∴sin(A +B)=sinC ， ∴sinC +2sinCcosC =0，∵sinC ≠0，∴1+2cosC =0，即cosC =−12， 又C ∈(0,π)，∴C =2π3．∵△ABC 的面积S =12absinC =12absin 2π3=2√3，∴ab =8． 选择条件①：由余弦定理知，c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−2×8×cos2π3=a 2+b 2+8，又ac =4√7， ∴c 2=(4√7c)2+(√7)2+8，化简得，3c 4−56c 2−784=0，解得c 2=28或−283(舍负)，∴c =2√7．选择条件②：由正弦定理知，a sinA =bsinB ， ∵sinB =2sinA ，∴b =2a ， 又ab =8，∴a =2，b =4，由余弦定理知，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4+16−2×2×4×cos 2π3=28，∴c =2√7． 选择条件③：由正弦定理知，asinA =csinC ， ∴asinC =csinA =√3， ∵C =2π3，∴a =2，又ab =8，∴b =4． 下面的步骤同②．【解析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，并结合三角形的内角和定理与正弦的两角和公式，可推出C =2π3，再由S =12absinC ，可得ab =8． 选择条件①：结合余弦定理，ab =8和ac =4√7，解该方程组，即可得解；选择条件②：由正弦定理可得b =2a ，从而求得a 和b 的值，再由余弦定理，得解；选择条件③：由正弦定理可得asinC =√3，从而求得a 和b 的值，再由余弦定理，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，涉及边化角的思想，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式与两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)摸出红球的概率为37，摸出白球的概率为47，如果该员工选择有放回的方式摸球，则他能中奖的概率为C 32(37)2×47+C 33(37)3=135343． (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 43C 73=435，P(X =1)=C 31C 42C 73=1835， P(X =2)=C 32C 41C 73=1235，P(X =3)=C 33C 73=135，则X 的分布列为 X 0123P43518351235135X 的数学期望为E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97．(3)如果该员工选择不放回的方式摸球，则他中奖的概率为1235+135=1335<135343，所以该员工选择有放回的方式摸球中奖的可能性更大．【解析】(1)由独立事件概率公式计算即可得解．(2)由题意可得X 的取值为0，1，2，3，利用古典概型求概率，可得分布列，然后求解数学期望； (3)求出不放回的方式摸球中奖的概率与有放回的方式摸球中奖的概率比较大小，即可求得结论．本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查发现问题解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)在棱BC 上存在点E ，使得CF//平面PAE ，点E 为棱BC 的中点．证明如下：取PA 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，FQ//AD 且FQ =12AD ，CE//AD 且CE =12AD ， 故CE //FQ 且CE =FQ.∴四边形CEQF 为平行四边形． ∴CF//EQ ，又CF ⊄平面PAE ，EQ 在平面PAE 内， ∴CF//平面PAE ；(2)取AB 中点M ，由底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，得DM ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DM ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设DF =a ，则D(0,0，0)，F(0,0，a)，C(0,4，0)， B(2√3,2，0)，A(2√3,−2,0)， FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−a)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,0)，FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,−a)， 设平面FBC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)． 由{m ⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y −az =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x −2y =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,4√3a )，∵直线AF 与平面BCF 所成的角的正弦值是√1510，∴√1510=|cos <FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|4√3|√16+a 2⋅√4+48a 2，解得a =4√3(舍)或a =2．则m ⃗⃗⃗ =(1,√3,2√3)；此时FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)，设平面AFB 的一个法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{n ⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x 1−2y 1−2z 1=0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y 1=0，取x 1=1，得n ⃗ =(1,0,√3)．cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=74×2=78，由图可知，二面角A −FB −C 为钝角，则二面角A −FB −C 的余弦值为−78．【解析】(1)在棱BC 上存在点E ，使得CF//平面PAE ，点E 为棱BC 的中点．取PA 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，推导出四边形CEQF 为平行四边形．由此能证明CF//平面PAE ；(2)取AB 中点M ，以D 为坐标原点，以DM ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DF =a ，利用空间向量求解线面角可得a 值，然后利用平面BFC 与平面AFC 法向量所成角的余弦值可得二面角A −FB −C 的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)a 1=3，S n =a n+1−1，可得a 1=S 1=a 2−1， 即有a 2=4，n ≥2时，S n−1=a n −1，又S n =a n+1−1，两式相减可得a n =S n −S n−1=a n+1−1−a n +1， 即有a n+1=2a n ，可得n ≥2时，a n =4⋅2n−2=2n ， 则a n ={3,n =12n ,n ≥2；设等差数列{b n }的公差为d ，由a 2=b 4=b 1+3d =4， b 2+b 5=b 7，即为2b 1+5d =b 1+6d ，即b 1=d ， 解得b 1=d =1， 则b n =n ；(Ⅱ)n ≥2时，c n =a n b n(n+2)b n+1=n⋅2n (n+2)(n+1)=12(2n+2n+2−2n+1n+1)，所以前n 项和T n =33×2+12(244−233+255−244+⋯+2n+2n+2−2n+1n+1)=12+12((2n+2n+2−83)=2n+1n+2−56．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求通项公式； (Ⅱ)求得n ≥2时，c n =n⋅2n(n+2)(n+1)=12(2n+2n+2−2n+1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设椭圆方程为x 2a 2+y2b2=1，a >b >0， 因为e =c a =12，即a =2c ， 所以b 2=a 2−c 2=3c 2， 所以椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1， 把M(c,−3)代入上式得，c 24c 2+93c 2=1，解得c =2，所以a =4，b 2=12， 所以椭圆的方程为x 216+y 212=1．(2)作CD ⊥MF ，垂足为D ，C 为MN 与x 轴的交点，且C(m,0)， 因为M(2,−3)，F 1(−2,0)， 所以MF 1所在直线y +34x +32=0， 因为MN 平分∠F 1MF 2， 所以CD =CF 2， 所以|34m+32|√1+916=2−m ，解得m =12，所以C(12,0)，所以直线MN 的方程为y +2x −1=0，联立{y +2x −1=0x 216+y 212=1，解得M(2,−3)，N(−2219,6319)，所以k OM =−32，k ON =−6322， 所以k OMk ON=1121．【解析】(1)设椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1，根据题意可得a =2c ，b 2=3c 2，推出椭圆的方程为x 24c2+y 23c 2=1，把M(c,−3)代入上式解得c ，a ，b 2，进而可得椭圆的方程．(2)作CD ⊥MF ，垂足为D ，C 为MN 与x 轴的交点，且C(m,0)，由MN 平分∠F 1MF 2，推出CD =CF 2，即|34m+32|√1+916=2−m ，解得m ，进而可得C 坐标，直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆的方程，解得M ，N 坐标，进而可得k OM ，k ON ， 得出结论．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)∵f(x)=(1+ax)e −2x ， ∴f′(x)=ae −2x −2(1+ax)e −2x ， ∴f′(0)=a −2=−1，解得：a =1； (2)由(1)得：f(x)=(x +1)e −2x ， f′(x)=(−2x −1)e −2x ，x ∈[0,1]时，f′(x)<0，f(x)在[0,1]单调递减， 故x =1时，y =2f(x)−2的最小值是4e 2①， 即2f(x)−2的最小值是4e 2，当x ∈[0,1]时，cosx ∈(0,1]，故x(x 2+4cosx −6)≤x(x 2+4−6)=x(x 2−2)， 令g(x)=x 3−2x ，则g′(x)=3x 2−2，令g′(x)>0，解得：x >√63，令g′(x)<0，解得：x <√63，故g(x)在[0,√63)递减，在(√63,1]递增，故g(x)的最大值是g(0)或g(1)，而g(0)=0，g(1)=−1，故g(x)≤0，>0，故4e2故当x∈[0,1]时，2f(x)−2≥x(x2+4cosx−6)．【解析】(1)求出函数的导数，根据f′(0)=−1，求出a的值即可；(2)根据函数的单调性分别求出2f(x)−2的最小值和x(x2+4cosx−6)的最大值，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。
哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题-含答案
哈尔滨市第九中学2020--2021学年度.上学期期末学业阶段性评价考试高二学年数学学科(理)试卷(考试时间:120分钟满分:150分共2页第I 卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是A.x -y+3=0B.x+y+1=0C.x -y -1=0D.x+y -3=02.双曲线221169y x -=的虚半轴长是 A.3 B.4 C.6 D.83.直线x+y=0被圆22|6240x y x y +-++=截得的弦长等于A.4B.2 .C .D 4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为221,x y +≤若将军从点A(4,-3)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马"的最短总路程为A.8B.7C.6D.55.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,满足|AB|=6,则线段AB 的中点的横坐标为A.2B.4C.5D.66.直线kx -y+2k+1=0与x+2y -4=0的交点在第四象限,则k 的取值范围为A.(-6,-2) 1.(,0)6B - 11.(,)26C -- 11.(,)62D -- 7.设12,F F 分别为双曲线22134x y -=的左,右焦点,点P 为双曲线上的一点.若12120,F PF ︒∠=则点P 到x 轴的距离为.A .B .C .D 8.已知点A(-2,3)在抛物线C 2:2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为1.2A2.3B3.4C4.3D 9.已知点(x,y)满足:221,,0x y x y +=≥,则x+y 的取值范围是.[A B.[-1,1] .C .D10.设双曲线221916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB 的面积为32.15A 34.15B 17.5C 19.5D 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B,F 为其右焦点,若AF ⊥BF,设∠ABF=α,且[,]64ππα∈则该椭圆的离心率e 的取值范围是.A .1]B .C .D12.如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于1.2A B.1.C.D 第II 卷(非选择题共90分)二､填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得的公共弦所在直线方程为___.14.若三个点(-2,1),(-2,3),(2,-1)中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上,则双曲线C 的渐近线方程为___. 15.椭圆221123x y +=的焦点分别是12,F F 点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的___倍.16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且A,B 两点在准线上的射影分别为M,N ，,,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ∆∆∆==则λμ=___. 三､解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)在①圆经过C(3,4),②圆心在直线x+y -2=0上,③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(-1,2),B(6,3)且___;(1)求圆E 的方程;(2)求以(2,1)为中点的弦所在的直线方程.18.(本题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>,焦点为F,准线为1,抛物线C 上一点M 的横坐标为3,且点M 到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)设过点P(6,0)的直线'l 与抛物线交于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过点F,求直线'l 的方程.19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2acosθ(a>0),且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)设A,B 为曲线C.上的两点,且,3AOB π∠=求|OA|+|OB|的最大值.20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2:4cos .C ρθ=(1)求曲线2C 的直角坐标方程;(2)若点A(1,0),且1C 和2C 的交点分别为点M,N,求11||||AM AN +的取值范围.21.(本题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为12(F F 且过点1).2 (1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为B,过点(-2,-1)作直线交椭圆于M,N 两点,记直线MB,NB 的斜率分别为,,MB NB k k 试判断MB NB k k +是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,说明理由.22.(本题满分12分)已知点F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F 的直线l 交椭圆于M,N 两点,当直线l 过C 的下顶点时,l当直线l垂直于C的长轴时,△OMN的面积为3 . 2(1)求椭圆C的标准方程;(2)当|MF|=2|FN|时,求直线l的方程;(3)若直线l上存在点P满足|PM|,|PF|,|PN|成等比数列,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上.。
2020-2021学年辽阳市高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年辽阳市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，若n≥2时，a n是S n与S n−1的等差中项，则a5等于()A. 18B. 54C. 162D. 812.直线x+√3y−5=0的倾斜角为()A. −30°B. 60°C. 120°D. 150°3.动圆M经过点A(3,0)且与直线l：x=−3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A. y2=12xB. y2=6xC. y2=3xD. y2=24x4.一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有()A. a1=−2，d=3B. a1=2，d=−3C. a2=−3，d=2D. a3=3，d=−25.若标准双曲线以y=±2x为渐近线，则双曲线的离心率为()A. √52B. √5 C. 5或√5 D. √52或√56.在等差数列中，若，则的前项和()A. B. C. D.7.空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=√3√3，则异面直线AD，BC所成的角为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°8.等比数列，前三项和，则公比q的值为A. B. C. D.9. 已知点P 为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，I 为三角形的内心，若成立，则的值为( ) A.B.C.D.10. 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两 点，则的周长为( ) A. B. C. D.11. 当点P(m,n)为圆x 2+(y −2)2=1上任意一点时，不等式m +n +c ≥1恒成立，则c 的取值范围是( )A. c ≥√2−1B. c ≤√2−1C. −1−√2≤c ≤√2−1D. √2−1≤c ≤√2+1 12. 设双曲线(a >0,b >0)的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. y =±2x C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，O 为矩形ABCD 外接圆的圆心.若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y −z = ． 14. 在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BD 的中点AB =CD =6，AB 与CD 所成的角为60度，则EF 的长为______ ．15. 若实数x ，y 满足 x 2+y 2−2x −2y +1=0，则x−2y−4的取值范围为______ ．16.抛物线焦点在y轴上，且被y=12x+1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC两个顶点A(3,7)，B(−2,5)，若AC中点在y轴，BC中点在x轴．(1)求顶点C的坐标；(2)求AC边上的高所在直线的方程．18.如图，A，B，E是⊙O上的点，过E点的⊙O的切线与直线AB交于点P，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：(1)DE=CE；(2)CACE =PEPB．19.已知一条直线过(1,3)点且与抛物线y=x2交于A，B两点.求(1,3)点为AB中点时AB所在直线方程，并求AB弦长．20.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=(−1)n−14n2+4n−1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T2n；(Ⅲ)若对于∀n∈N∗，T2n<λ2−2λ−2恒成立，求λ范围．21.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC−A1B1C1的高．22.已知椭圆Γ1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，短轴长为2√3．(1)求椭圆Γ1的方程；(2)设S为椭圆Γ1的右顶点，过点F的直线l1与Γ1交于M、N两点(均异于S)，直线MS、NS分别交直线x=4于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；(3)记以坐标原点为顶点、F(1,0)为焦点的抛物线为Γ2，如图，过点F的直线与Γ2交于A、B两点，点C在Γ2上，并使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设△AFG、△CQG的面积分别为S1、S2，是否存在锐角θ，使得S1S2=(1+√32)cosθ成立？请说明理由．参考答案及解析1.答案：B解析：解：由题意知，2a n=S n+S n−1(n≥2)，则2a n+1=S n+1+S n，两式作差得：2a n+1−2a n=a n+1+a n，即a n+1=3a n(n≥2)．由a1=1，得a2=2．∴a n=2⋅3n−2(n≥2)，则a5=2⋅33=54．故选：B．由已知得到数列递推式，取n=n+1得另一递推式，作差后得到从第二项起数列为等比数列，则答案可求．本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是基础题．2.答案：D解析：本题考查直线的倾斜角与斜率的知识点，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围和特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围求出倾斜角．解：由题意，直线的斜率为k=−√3，3，即直线倾斜角的正切值是−√33设倾斜角为α，则，，又因为tanα=−√33所以α=150°，故直线的倾斜角为150°，故选D．3.答案：A解析：本题主要考查抛物线的定义、直线与圆相切的性质，属于基础题．。
2020-2021学年辽宁省大连市高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省大连市高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合M={x∈N|−2<x<3}，N={x|x2+x−6<0}，则M∩N=()A. {x|−3<x<3}B. {x|−2<x<2}C. {0,1}D. {0,1，2}2.设命题p：∃n∈N，n2>2n，则￢p为()A. ∀n∈N，n2≤2nB. ∃n∈N，n2<2nC. ∃n∈N，n2≤2nD. ∀n∈N，n2<2n3.造纸术是我国古代四大发明之一，纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸，现在我国采用国际标准，拟定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等标记来表示纸张的幅面规格，其中A系列的幅面规格为①A0规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系为x：y=1：√2；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．若A4纸的面积为624cm2，则A8纸的面积为()A. 39cm2B. 78cm2C. 4992cm2D. 9984cm24.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A. r2<r4<0<r3<r1B. r4<r2<0<r1<r3C. r4<r2<0<r3<r1D. r2<r4<0<r1<r35.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=50，S7=56，则S12=()A. 106B. 53C. 48D. 366.为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体防伪能力，保持人民币系列化，中国人们银行发行了2019年版第五套人民币50元、20元、10元、1元纸币和1元、5角、1角硬币，同时升级了原有的验钞机．现从混有4张假钞的10张50元钞票中任取两张，其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是()A. 16B. 15C. 13D. 257.若a=ln22，b=ln33，c=ln55，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c8.若a>b>0，则a2+1b(a−b)的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险，为防控新冠肺炎，某厂家生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其体温误差，且X～N(0.2,0.32)，则下列结论正确的是()(附：若随机变量X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0.9544)A. E(X)=0.2，D(X)=0.3B. P(X≤0.2)=0.5C. P(X>0.8)=0.0456D. P(X<−0.1)=0.158710.已知变量x和y的取值如表所示，且2.5<n<m<6.5，则由该数据知其线性回归方程可能是()A. ŷ=−1.4x+9.4B. ŷ=−2x+14.2C. ŷ=1.5x+8.8D. ŷ=−1.6x+10.611.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等差数列{b n}的前n项和为T n，且S nT n =n+12n，则下列选项中正确的是()A. a3b3=35B. a3b2=1C. 数列{a n}是递增数列D. 数列{a n}是递减数列12.设函数f(x)=e2x−12e x+10x，若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则满足条件的x0可以是()A. ln8B. ln6C. ln4D. ln3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=2022x+sinx，则f′(π)=______．14. 某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占35，25的份额，已知两种品种腊肉亚硝酸盐超标的概率分别为115，110，现有一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率为______．15. 已知等比数列{a n }的公比q <12，满足a 3=√a 5且a 2−a 3=29，则a 6=______．16. 已知函数f(x)=ax 3−6ax 2+32a +2(a >0)，若x 1+x 2>4，则f(x 1)+f(x 2)的取值范围是______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①x 2−(2a −1)x +a 2−a <0，②x 2−2ax +a 2−1<0，③x 2−(a +1)x +a <0(a >1)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a 的取值范围．已知p ：x−4x+3<0，q ：_______，且p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18. 中国是半导体的最大消费国，2020年12月，中科院宣布已经成功研发出8英寸石墨烯单晶圆，并做到了小规模生产，碳基芯片为我国实现“直道超车”带来可能性．某半导体材料供应商有A ，B 两条不同的生产线可以同时生产某种配件，为保证质量，现从这两条生产线生产的产品中各随机出抽取30件，进行品质鉴定，统计结果如表所示：规定：等级为优秀、良好的产品为合格品．若样品中B 生产线生产的产品为优秀、良好、不合格的件数分别为1件，14件，15件．(Ⅰ)请完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为产品是否合格与生产线有关？(Ⅱ)用分层抽样的方法，从A生产线样本中优秀、良好、不合格三个等级的产品中抽取6件进行详细检测，再从这6件产品中任选3件，记所选的3件产品中良好等级的件数为X，求X得分布列及数学期望E(X)．，其中n=a+b+c+d．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且M(1,f(1))处的切线方程为12x+y−3=0．(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[−2,2]上的最大值和最小值．20.某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子(形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)，若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．(1)当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；(2)若累计得分为i的概率为p i，(初始得分为0分，p0=1)．①证明数列{p i −p i−1}，(i =1,2，…，19)是等比数列； ②求活动参与者得到纪念品的概率．21. 在公差不为0的等差数列{a n }中，|a 1|=a 2，且a 1+a 6=8．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{1an a n+1}的前n 项和T n ；(Ⅲ)令b n =a n+2a n+3sin(nπ−π2)，若∃n ∈N ∗，使得b 1+b 2+⋯+b n ≤tn 2成立，求实数t 的取值范围．22. 已知函数f(x)=x −ln(x +a)的最小值为0，其中a >0．(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)证明：对∀m ∈[log 23,2]，且∀n ∈N ∗时不等式ln[(1+14)⋅(1+113)⋅…⋅(1+23n+1−1)]<4m −2m+2+72恒成立．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={0,1，2}，N=(−3,2)，∴M∩N={0,1}．故选：C．可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全程命题，所以，命题p：∃n∈N，n2>2n，则￢p为：∀n∈N，n2≤2n．故选：A．直接利用特称命题的否定是全程命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全程命题的否定关系，是基础题．3.【答案】A，【解析】解：每升一规格，面积变为原来的12因为A4纸面积为624cm2，cm2，则A5纸的面积为6242cm2，则A6纸的面积为6244cm2，则A7纸的面积为6248cm2=39cm2．则A8纸的面积为62416故选：A．即可求解．根据每升一规格，面积变为原来的12本题考查题意理解能力，解题的关键是理解纸张规格和面积之间的关系，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查两个变量的线性相关，考查相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近1(或−1)，此题是基础题．根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【解答】解：由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于−1，由此可得r2<r4<r3<r1．故选：A．5.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S5=5a1+10d=50，得a1+2d=10①；又S7=7a1+21d=56，所以a1+3d=8②，联立①②，解得a1=14，d=−2，d=12×14−12×11=36．所以S12=12a1+12×112故选：D．设等差数列{a n}的公差为d，根据S5=50，S7=56，建立关于a1和d的方程组并解得a1和d，在利用S12= d求解即可．12a1+12×112本题考查等差数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设事件A 表示“两张都是假钞”，事件B 表示“两张中至少有一张是假钞”， 则P(AB)=C 42C 102=645=215，P(B)=C 41C 61+C 42C 102=23，∴P(A|B)=P(AB)P(B)=21523=15．故选：B ．根据已知条件，分别算出P(AB)，P(B)的概率，再结合条件概率公式，即可求解． 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：a =ln22=ln √2，b =ln33ln √33，c =ln55=ln √55，∵(√2)6=23=8，( √33) 6=32=9， (√2)10=25=32，(√55)10=52=25， ∴√55<√2<√33， ∴c <a <b ． 故选：C ． 因为a =ln22=ln √2，b =ln33ln √33，c =ln55=ln √55，所以先比较√2，√33，√55的大小，然后再比较a ，b ，c 的大小．本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数函数单调性的合理运用．8.【答案】C【解析】解：∵a >b >0，∴a −b >0， ∴b(a −b)≤(b+a−b 2)2=a 24，∴a 2+1b(a−b)≥a 2+4a2≥2√a 2⋅4a 2=4，当且仅当b =a −b 且a 2=4a 2即a =√2且b =√22时取等号，∴则a 2+1b(a−b)的最小值为4， 故选：C ．由基本不等式可得b(a −b)≤a 24，再次利用基本不等式可得a 2+1b(a−b)≥a 2+4a 2≥2√a 2⋅4a 2=4，注意两次等号同时取到即可．本题考查基本不等式求最值，注意两次等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．9.【答案】BD【解析】解：测量体温误差X 服从正态分布，且X ～N(μ,σ2)，其中μ=0.2，σ=0.3， 所以E(X)=μ=0.2，D(X)=σ2=0.32=0.09，故A 错误； P(X ⩽0.2)=P(X ⩽μ)=0.5，故B 正确；P(X >0.8)=P(X >0.2+2×0.3)=P(X >μ+2σ)=1−P(μ−2σ<X<μ+2σ)2=1−0.95442=0.0228，故C 错误；P(X <−0.1)=P(X <μ−σ)=1−P(μ−σ<X<μ+σ)2=1−0.68262=0.1587，故D 正确．故选：BD ．利用正态分布的参数的含义即可判断选项A ，由正态分布曲线的对称性，计算概率，即可判断选项B ，C ，D ．本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：由题意知，计算x −=14×(2+3+4+5)=3.5，y −=14×(6.5+m +n +2.5)=2.25+m+n 4∈(3.5,5.5)，由2.5<n <m <6.5，可得变量x 、y 为负相关，可排除选项C ； 把(x −,y −)代入选项A ，得y −=−1.4×3.5+9.4=4.5，满足题意； 把(x −,y −)代入选项B ，得y −=−2×3.5+14.2=7.2，不满足题意； 把(x −,y −)代入选项D ，得y −=−1.6×3.5+10.6=5，满足题意． 故选：AD ．由题意，计算x −，y −，确定y −的取值范围，把(x −,y −)分别代入选项中的回归方程，验证即可． 本题考查回归直线方程的求法，依据回归直线方程的特征应用问题，是基础题．11.【答案】AB【解析】解：由S nT n=n+12n，不妨设S n =kn(n +1)，T n =2kn 2(k ≠0)，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=kn(n +1)−kn(n −1)=2kn ， b n =T n −T n−1=2kn 2−2k(n −1)2=k(4n −2)， ∴a 3b 3=2×34×3−2=35，a 3b 2=2×34×2−2=1，等差数列{a n }由于k 的取值不同单调性不同， k >0时是单调递减数列，k <0时是单调递增数列， 因此CD 不正确． 故选：AB ．由S n T n=n+12n，不妨设设S n =kn(n +1)，T n =2kn 2(k ≠0)，可得n ≥2时，a n =S n −S n−1，b n =T n −T n−1，进而判断各选项．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为f(x)=e 2x −12e x +10x ，所以f(x)=e 2x −12e x +10x 在点P 处的切线方程为y =f′(x 0)(x −x 0)+f(x 0)， 若在点P 处的切线与该曲线恰有一个公共点P ， 则方程组{y =f(x)y =f′(x 0)(x −x 0)+f(x 0)有且只有一组解，即方程f(x)=f′(x 0)(x −x 0)+f(x 0)有且只有一个根x 0，令g(x)=f(x)−f′(x 0)(x −x 0)−f(x 0)，则函数g(x)有唯一零点x 0， g′(x)=f′(x)−f′(x 0)=2e 2x −12e x +10−2e 2x 0+12e x 0−10 =2e 2x −12e x −2e 2x 0+12e x 0 =2(e 2x −e 2x 0)−12(e x −e x 0) =2(e x −e x 0)(e x +e x 0−6)，当e x 0−6≥0，即x 0≥ln6，则e x +e x 0−6>0恒成立， 令g′(x)=0，得x =x 0，当x <x 0时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x >x 0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以当x =x 0时，函数g(x)取得最小值，又g(x 0)=0， 所以函数g(x)有唯一零点x 0，所以当x0≥ln6时满足题意，当e x0−6=−e x0，即x0=ln3时，g′(x)=2(e x−e x0)2≥0恒成立，所以g(x)在R上单调递增，又g(x0)=0，所以此时函数g(x)有唯一的零点x0，故当x0=ln3时，满足题意，当e x0−6<0且e x0−6≠−e x0，即x0≠ln3时，方程e x−e x0−6=0有且只有一个根，设为x1，则x1≠x0，令g′(x)=0，得x=x0或x=x1，若x1>x0，则当x<x0或x>x1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x0<x<x1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，又g(x0)=0，所以g(x1)<0，又当x→+∞时，g(x)→+∞，所以由零点存在定理可得，存在α∈(x1,+∞)，使得g(α)=0，所以函数g(x)有两个零点x0和α，不符合题意，若x1<x0，则当x<x1或x>x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x1<x<x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，又g(x0)=0，所以g(x1)>0，又当x→−∞时，g(x)→−∞，所以由零点存在定理可得，存在β∈(−∞,x1)，使得g(β)=0，所以函数g(x)有两个零点x0和β，不符合题意，综上所述，只有当x0≥ln6或x0=ln3时，满足题意，故选：ABD．根据题意，求出f(x)的导数和二阶导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f′(x)和f(x)的单调区间，由此分析可得满足题意的x0的范围，分析选项可得答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．13.【答案】2021【解析】解：∵f(x)=2022x +sinx ， ∴f′(x)=2022+cosx ，∴f′(π)=2022+cosπ=2022−1=2021， 故答案为：2021．先求出f′(x)的导函数f′(x)，再计算f′(π)即可． 本题考查导数运算性质，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】225【解析】解：现一市民在该超市随机挑选了一块腊肉， 则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率为：P =35×115+25×110=225． 故答案为：225．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】1243【解析】解：由a 3=√a 5，得a 32=a 5，所以a 12q 4=a 1q 4，解得a 1=1，又a 2−a 3=a 1(q −q 2)=29，所以q 2−q +29=0，解得q =13或q =23(舍去)， 所以a 6=a 1q 5=1×(13)5=1243． 故答案为：1243．根据a 3=√a 5，a 2−a 3=29，建立关于a 1和q 的方程组可解出a 1和q 的值，再根据等比数列的通项公式，即可求出a 6．本题考查等比数列的通项公式，考查运算求解的能力，属于基础题．16.【答案】[4,+∞)【解析】解：f′(x)=3ax2−6ax=3ax(x−4)，当x>4时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当0<x<4时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因为x1+x2>4，不妨设x1≤x2，则x2>2，①若x1≤0，则x2>4−x1≥4，所以f(x1)+f(x2)>f(x1)+f(4−x1)=4+32a>4，②若x1>0，因为x2>2，所以f(x1)+f(x2)≥f(4)+f(4)=4，当且仅当x1=x2=4时，取等号，综上可知，f(x1)+f(x2)≥4，不妨令x2=0，x1>4，则f(x1)+f(x2)=f(x1)+f(0)，若x1→+∞，则f(x1)→+∞，综上所述，f(x1)+f(x2)的取值范围是[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)．由x1+x2>4，不妨设x1≤x2，则x2>2，然后分x1≤0，x1>0两种情况，并结合函数的单调性，求出f(x1)+f(x2)的取值范围．本题考查导数的综合应用，以及分类讨论的思想，属于中档题．<0中不等式解得：x∈(−3,4)，17.【答案】解：由p：x−4x+3选①，x2−(2a−1)x+a2−a<0⇔a−1<x<a，∵p是q的必要不充分条件，∴{a−1≥−3a≤4，解得：a∈[−2,4]．故实数a的取值范围是[−2,4]．选②，x2−2ax+a2−1<0⇔a−1<x<a+1，∵p是q的必要不充分条件，∴{a−1≥−3a+1≤4，解得：−2≤a≤3，故实数a的取值范围是[−2,3]．选③，x2−(a+1)x+a<0(a>1)⇔1<x<a，∵p是q的必要不充分条件，∴a≤4，∵a>1，∴a∈(1,4]．故实数a的取值范围是(1,4]．【解析】由p：x−4x+3<0中不等式解得：x∈(−3,4)，对于①②③中，解二次不等式，然后根据p是q的必要不充分条件，可解决此题．本题考查了不等式(组)解法、简易逻辑的判定方法、，考查了推理能力了与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：补充2×2列联表如下，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=60×(25×15−5×15)2(25+5)×(15+15)×(25+15)×(5+15)=7.5，由于7.5>6.635，有99%的把握认为产品是否合格与生产线有关．(2)由已知条件，可得A生产线样本中优秀、良好、不合格三个等级的产品数为5，20，5，运用分层抽样的方法，从中抽取6件进行详细检测，则优秀等价的产品有6×530=1，良好等级的产品有6×2030=4，不合格等级的产品有6×530=1，故X的可能取值为1，2，3，P(X=1)=C41C22C63=15，P(X=2)=C42C21C63=35，P(X=3)=C43C2C63=15，故X的分布列为：E(X)=1×15+2×35+3×15=2．【解析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．(2)由已知条件，可得A生产线样本中优秀、良好、不合格三个等级的产品数为5，20，5，运用分层抽样的方法，从中抽取6件进行详细检测，则优秀等价的产品有6×530=1，良好等级的产品有6×2030=4，不合格等级的产品有6×530=1，故X的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，再结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望与独立性检验公式，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)的导函数f′(x)=3x 2+2bx +c ，因为f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程为12x +y −3=0， 所以f(1)=−9，f′(1)=−12， 又因为f(0)=2，代入解析式得{1+b +c +d =−9d =23+2b +c =−12，解得{b =−3c =−9d =2，所以函数的解析式为f(x)=x 3−3x 2−9x +2． (Ⅱ)因为f′(x)=3x 2−6x −9=3(x +1)(x −3)， 所以f′(x)=0，解得x =−1或x =3， f′(x)>0，解得x <−1或x >3， f′(x)<0，解得−1<x <3， 当x ∈[−2,2]时，由上表可知，f(x)在区间[−2,2]上的最大值为f(−1)=7， 所以f(x)的最小值为f(2)=−20．【解析】(Ⅰ)求导得f′(x)=3x 2+2bx +c ，由导数的几何意义可得f′(1)=−12，又f(1)=−9，f′(1)=−12，则{1+b +c +d =−9d =23+2b +c =−12，解得b ，c ，d ，即可得出答案． (Ⅱ)求导的f′(x)，令f′(x)=0，解得x =−1或x =3，列表分析随着x 的变化，f′(x)，f(x)的变化情况，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意昨每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，X 可能取值为3，4，5，6，P(X =3)=(13)3=127，P(X =4)=C 32(13)2(23)=29， P(X =5)=C 31(13)(23)2=49，P(X =6)=(23)3=827，∴X 的分布列为：E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5．(2)①证明：n =1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，P 1=13， 则P 1−P 0=−23，累计得分为i 分的情况有两种：(i)i =(i −2)+2，即累计得i −2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为23P i−2， (ii)累计得分为i −1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为13P i−1，∴P i =23P i−2+13P i−1(i =2,3，⋅⋅⋅，19)，∴P i −P i−1=−23(P i−1−P i−2)，(i =2,3，⋅⋅⋅，19)， ∴数列{p i −p i−1}，(i =1,2，…，19)是首项为−23，公比为−23的等比数列． ②∵数列{p i −p i−1}，(i =1,2，…，19)是首项为−23，公比为−23的等比数列， ∴p i −p i−1=(−23)i ，∴p 1−p 0=−23，p 2−p 1=(−23)2，⋅⋅⋅，p i −p i−1=(−23)i ，各式相加，得：p i −p 0=−25×[1−(−23)i ]，∴p i =35+25×(−23)i =35×[1−(−23)i+1]，(i =1,2，⋅⋅⋅，19)， ∴活动参与者得到纪念品的概率为：P 20=23P 18=25×[1−(−23)19]=25×[1+(23)19]．【解析】(1)由题意昨每轮游戏获得1分的概率为13，获得2分的概率为23，X 可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．(2)①推导出P 1=13，P 1−P 0=−23，累计得分为i 分的情况有两种：(i)i =(i −2)+2，即累计得i −2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为23P i−2，(ii)累计得分为i −1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为13P i−1，由此能证明数列{p i −p i−1}，(i =1,2，…，19)是首项为−23，公比为−23的等比数列． ②由p i −p i−1=(−23)i ，利用累加法求出p i =35×[1−(−23)i+1]，(i =1,2，⋅⋅⋅，19)，由此能求出活动参与者得到纪念品的概率．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查等比数列的证明，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由d ≠0可知a 1≠a 2，根据题意有{a 1+d =−a1a 1+a 1+5d =8，解得{a 1=−1d =2，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n −3． (Ⅱ)令b n =1an a n+1，则b n =1an a n+1=1(2n−3)(2n−1)=12(12n−3−12n−1)，所以T n =b 1+b 2+...+b n =12(1−1−11+11−13+13−15++12n−3−12n−1)=12(−1−12n−1)=−n2n−1， (Ⅲ)b =(2n +1)(2n +3)sin(n −12)π， 若∃n ∈N ，使得b 1+b 2+⋯+b n ≤tn 2成立， 只需满足t ≥b 1+b 2+...+b nn 2的最小值，当n 为奇数时，sin(n −12)π=1，b 1+b 2+...+b n =3×5−5×7+7×9−9×11+...+(2n +1)(2n +3)， =3×5+4×(7+11+...+2n +1)， =15+4×(2n+8)(n−1)4，=2n 2+6n +7．当n 为偶数时，sin(n −12)π=−1，b 1+b 2+...+b n =3×5−5×7+7×9−9×11+...−(2n +1)(2n +3)， =−4×(5+9+13+...+2n +1)=−2n 2−6n ． 由于b 1+b 2+...+b nn 2=−2n 2−6nn 2=−2−6n ，当n =2时，取最小值为−5，所以t ≥−5， 综上所述：t ≥−5．【解析】(Ⅰ)直接利用等差数列的定义的应用求出数列的通项公式； (Ⅱ)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和；(Ⅲ)利用分类讨论思想的应用和存在性问题的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在求和中的应用，数列的求和，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．22.【答案】解：( I)函数f(x)的定义域为(−a,+∞),f′(x)=1−1x+a =x+a−1x+a，令f′(x)>0⇒x >1−a >−a ，f′(x)<0⇒−a <x <1−a ， 所以f(x)在(−a,1−a)上单调递减，在(1−a,+∞)上单调递增， f(x)min =f(1−a)=1−a −ln(1−a +a)=1−a =0，解得a =1．(II)证明：ln[(1+14)⋅(1+113)⋯(1+23n+1−1)]=ln(1+14)+ln(1+113)+⋯+ln(1+23n+1−1)， 由第一问可知ln(x +1)⩽x ，(x >−1)， ∴ln(1+14)<14,ln(1+113)<113,⋯,ln(1+23n+1−1)<23n+1−1，∵23n+1−1<33n+1=13n ， ∴14+113+⋯+23n+1−1<13+19+⋯+13n=13(1−13n )1−13<12(1−13n)<12，再设ℎ(m)=4m −2m+2+72=(2m −2)2−12，∵m ∈[log 23,2]，∴2m ∈[3,4]， 当2m =3时，ℎ(m)有最小值即ℎ(m)min =12，∴g(n)<ℎ(m)min ，对∀m ∈[log 23,2]且∀n ∈N ∗时不等式ln[(1+14)⋅(1+113)⋯(1+23n+1−1)]<4m −2m+2+72恒成立．【解析】(Ⅰ)根据导数符号与函数单调性之间的关系求出函数f(x)的单调性，进而求出函数f(x)的最小值，根据f(x)的最小值为0建立关于a 的方程，解方程即可得答案；(Ⅱ)结合(Ⅰ)可得ln(x +1)⩽x ，所以可得∴ln(1+14)<14,ln(1+113)<113,⋯,ln(1+23n+1−1)<23n+1−1，再根据23n+1−1<33n+1=13n 以及等比数列求和公式可得14+113+⋯+23n+1−1<13+19+⋯+13n =13(1−13n )1−13<12(1−13n)<12，由m ∈[log 23,2]，可证明4m −2m+2+72>12，从而命题得证．本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数和数列的放缩，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题．。
广东省省实、广雅、执信、二中、六中五校2020-2021学年高二上学期期末联考试题 数学 pdf版
∴ y 0.04 0.004 ······4 分 10
1
由题意，80%分位数在[70,80]组内，······5 分
则（0.016+0.032）×10+（t-70）×0.04=0.80······6 分
解得 t=78
∴估计 t 的最小值为 78 分······7 分
cos B
sin B
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．······2 分
因为 A＋B＋C＝π，所以 sin C＝2sin A. ······3 分
因此sin C＝2.······4 分 sin A
(2)由sin C＝2，得 c＝2a.······5 分由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B 及 cos B＝1，b＝2，
12. 已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球 O 的表面上，侧面 BCC1B1 的面积为 4 3 .则正确的结论是（ * ） A.若 B1C1 的中点为 E，则 AC1 // 平面 A1BE B.若三棱柱 ABC A1B1C1 的体积为 4 3 ，则 A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3
B. ,0 1, 2 D. 1, 2
2. 已知 a 0.3 ， b 20.3, c 0.30.2 则 a, b, c 三者的大小关系是( * )
A. b c a
B. b a c C. a b c
D. c b a
3. 已知直线 m、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m//n 的一个必要但不充分条件是
零点，求 a 1 的最小值. a
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。