傅氏与拉氏积分变换

总 可以 看 成 是由 某 个周期 为T 的 函数 fT (t ) ,当T 时 转化 而 来 的。
f (t)
t 0
周期的函数fT (t) 便可以转化为f (t)，即有
lim
T
fT (t)
f (t)
这样，在（1.2）式中，令t 时，结果就可以看成是f (t) 的展开式，即
T
1
fT
称 a0 、an 、bn (n 1,2,3,) 为 fT ( x) 的 傅 立 叶 系 数 ；
其中角频率 2 ;
T 称 a0 为直流分量；
2
a1 cos t b1 sin t 为基波； an cos n t bn sinn t 为 n 阶 谐 波 ；
振 幅 为 An an2 bn2 .
n
n
n1
2 T
,或 T 2 n
2 2 2 2
2
T TT T
T
0 1 2 3 4
n1 n
则 当T 时 ， 有n 0 ， 所 以 上 式 又 可 以 写 成为
T
1
fT (t)
lim 2 n 0
n
2
fT ( ) ein d
T
ein t n
2
T
(1.3)
当t 固定时，1
2
2
fT ( ) ein d
1 T
2 T
fT (t)d t
2
T
T
cn
1 T
2 T
2
fT (t)cos n t d t i
T
fT (t)sinn t d t
2
2
T
1 2
T T
fT (t)
cos n t d t i sinn t d t
d t
2
同理
T
1 2
T T
fT (t)
cos n t d t i sinn t d t
§3.3.1 傅立叶积分 1. 傅立叶级数
在学习傅立叶（Fourier) 级数的时候，我们已经知道，一个以
T
为
周期
的
函
数fT
(t
)
,如
果
在
T 2
,
T 2
满
足
狄
利
克
雷(Dirichlet
)
条
件，
即函数
fT
(t)
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,在
T 2
,
T 2
上满足：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点，
T
2
T
(n )
1 2
2
fT ( ) ein d
T
ein t .
2
利 用T (n ) ,可 将 （1.3） 式 写 成
fT
(t)
lim
n 0
n
T
(n )
n
很 明显 ， 当n 0 ,即 T 时 ，T (n ) (n ) ,这 里
2
T
2 2
bn T T
fT (t)sinn t dt
2
(n 1,2,3) (n 1,2,3)
偶 函数 只 存在 an
fT (x)
奇 函 数 只 存 在 bn
准备知识
fT (t )
a0 2
n1
(an cos n t bn sinn t )
(1.1)
为方便计，利用Euler 公式，将展开式变成复指数形式
§3.3 积分变换法举例
Fourier 积分变换法 Laplace 积分变换法 混合变换法
在工程力学、电磁场理论、光学、 热学、无线电学、通讯理论、微电子学、 核科学与技术、地震资料数据处理…等 方面，均有广泛的应用。
数学中的变换手段，旨在化繁为简.
傅立叶积分变换： 适用于针对空间 变量的初值问题。
d t
2
T
1 2
T T
fT (t)ein t d t
2
(n 1,2,3)
T
cn
an i bn 2
1 T
2 T
fT (t)ein t d t
2
(n 1,2,3)
上述合写成一个式子
T
12
cn T T 2
fT (t)ein t d t n n
(n 0,1,2,3) (n 0,1,2,3)
周 期 函 数 的 傅 立 叶 展 开， 就 是 将 周 期 函 数 展 成直 流 分 量 和 n阶谐波的叠加。
fT (t)
a0 2
n1
(an cos n t bn sinn t )
其中，傅立叶展开系数
T
22
a0 T T fT (t )d t 2
T
2 2
an T T
fT (t)cos n t dt
T
ein t 是 参 数n 的 函 数 ， 记 为T (n ) ,即
2
T
1
fT (t)
lim 2 n 0
n
2
fT ( ) ein d
T
ein t n
T
2
(1.3)
当t 固定时，1
2
2
fT ( ) ein d ein t 是 参 数n 的 函 数 ， 记 为T (n ) ,即
T
那
么,
在
T 2
,
T 2
上
就
可
以
展
成
傅
立
叶
级数
。
在 fT (t) 的 连续 点处 ， 级 数的 三角 式为
fT (t)
a0 2
n1
(an cos n t bn sinn t )
(1.1)
fT (t)
a0 2
n1
(an cos n t bn sinn t)
(1.1)
我们 称此 三角级 数为fT ( x) 的傅 立叶 级数；
Fourier 积分变换 Laplace 积分变换
拉普拉斯积分变换： 适用于针对时间变 量的边值问题。
用来解常微分方程 通过选取积分变换 用来解偏微分方程
将未知函数的常微分方 程，化成像函数的代数方程， 达到消去对自变量求导运算 的目的。
在偏微分方程的两端， 对某个变量取变换，消去未 知函数对该自变量求偏导的 运算，得到像函数的较为简 单的微分方程。如果原来的 偏微分方程只包含两个自变 量，通过一次变换就能得到 像函数的常微分方程。
(t)
lim T T
n
2
fT ( ) ein d
T
ein t
2
T
1
fT (t)
lim T T
n
2
fT ( ) ein d
T
ein t
2
当n 取 一 切 整 数 时，n 所 对 应 的 点 便 均 匀 地 分布 在 整 个 数 轴 上 ，
如 图 所 示 。 若 两 个 相 邻点 的 距 离 以n 表 示 ， 即
则（1.1）式被写成
fT (t) c0
(cnein t cnein t )
cnein t
n1
n
这 就 是 傅 氏 级 数 的 复 指数 形 式 ， 或 者 写 成
T
1
fT (t) T n
2
fT ( ) ein d
T
ein t
2
(1.2)
2. 非周期函数的展开
这个思路很巧妙
对于一个非周期函数f (t) ,
cos ei ei
2
sin ei ei 2i
这样，（1.1）式被写成为
fT (t)
a0 2
n1
ei n t ei n t
ei n t ei n t
(an
2
bn
2i
)
a0 ( an i bn ei n t an i bn ei n t )
2 n1
2
2
如果令
T
c0
a0 2