湘教版高中数学选修2-3：列联表独立性分析案例
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在一个已知假设 下，如果推出一 个矛盾，就证明 了这个假设不成 立。
假设检验原理：
在一个已知假设 下，如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生， 就推断这个假设 不成立。
例1.在500人身上试验某种血清预防感冒作
用，把他们一年中的感冒记录与另外500名 未用血清的人的感冒记录作比较，结果如 表所示。问：该种血清能否起到预防感冒 的作用？
3)如果P(x2>6.635)= 0.01表示有99%的适把用握观认为测”数X与据Y”a有、关系;
4)如果P(x2>5.024)= 0.025表示有97.b5、%的c、把d握不认小为于”X5与Y”有关系;
5)如果P(x2>3.841)= 0.05表示有95%的把握认为”X与Y”有关系;
6)如果P(x2>2.706)= 0.10表示有90%的把握认为”X与Y”有关系; 7)如果P(x2≤2.706),就认为没有充分的证据显示”X与Y”有关系;
用 2统计量研究这类问题的方法称为独立性检验。
一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类 取值，即类A和B（如吸烟与不吸烟）；Ⅱ也有两类 取值，即类1和2（如患病与不患病）。于是得到 下列联表所示的抽样数据：
类1 类2
总计
类A
a
b
a+b
类B c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：
有效 58 64 122
无效 40 31 71
合计 98 95 193
例3：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研 究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进 行对比，所得数据如图所示，问：它们的疗效 有无差异
复方江剪刀草 胆黄片 合计
有效 184 91 275
无效 61 9 70
合计 245 100 345
病有关
H0： 吸烟和患呼吸道疾病之间没有关系
结论的可靠 程度如何？
吸烟 不吸烟
总计
吸烟与呼吸道疾病列联表
患呼吸道疾 不患呼吸道
病
疾病
a
b
c
d
a+c
b+d
总计
a+b c+d a+b+c+d
a
吸烟的人中患肺癌的比例： a b 不吸烟的人中患肺癌的比例： c
cd
若H0成立
a≈c, a+b c+d
问题1：判断的标准是什么？
吸烟与不吸烟，患病的可能性的大小是否有差异？ 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异， 吸烟者患肺癌的可能性大 问题2：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患 病有关”的判断？
问题3：能否用数量刻画出“有关”的程度？
独立性检验
通过数据和图表分析，得到 结论是：吸烟与患呼吸道疾
谢谢！
未感冒
感冒
合计
使用血清 258
242
500
未使用血清 216
284
500
合计
474
526
1000
例2：为研究不同的给药方式（口服与注射） 和药的效果（有效与无效）是否有关，进行 了相应的抽样调查，调查的结果列在表中， 根据所选择的193个病人的数据，能否作出 药的效果和给药方式有关的结论？
口服 注射 合计
2×2列联表
y1
y2
总计
2
a
nad bc d
bc2 a c
b
Biblioteka Baidu
d
x1 x2
a c
b d
a+b c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
P( 2 m)
1)如果P(m>10.828)= 0.001表示有99.9%的把握认为”X与Y”有关 系2);如果P(x2>7.879)= 0.005表示有99.5%的把握认为”X与Y”有关系;
220 295 58 457
独立性检验
已知在 H0成立的情况下，
P( 2 6.635 ) 0.01
即在 H0 成立的情况下， 2大于6.635概率非常小， 近似为0.01 现在的 2=11.8634的观测值远大于6.635， 出现这样的观测值的概率不超过0.01。
故有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把 握认为“患呼吸道疾病与吸烟有关系”。
其中n a b c d
作为检验在多大程度上可以认为“两个变量 有关系”的标准 。
独立性检验
吸烟与呼吸道疾病列联表
患病 不患病 总计
吸烟
37
183
220
不吸烟 21
274
295
总计
58
457
515
通过公式计算
2 51537 274 183 212 11.8634
（1）提出假设H0 ：Ⅰ和Ⅱ没有关系； （2）根据2× 2列表与公式计算 2的值；
（3）查对临界值，作出判断。
由于抽样的随机性，由样本得到的推断有 可能正确，也有可能错误。利用 进行2 独立性检验，可以对推断的正确性的概率 作出估计，样本量n越大，估计越准确。
反证法原理与假设检验原理
反证法原理：
ac+d≈ca + b,
ad bc
独立性检验
ad bc 0.
ad - bc 越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系越弱，
ad - bc 越大，说明吸烟与患肺癌之间的关系越强
引入一个随机变量：卡方统计量
2
a
nad bc2 bc d a cb
d
根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与 吸烟有关？
列联表
为了调查吸烟是否患呼吸道疾病有影响，某医疗研究 所随机地调查了515人，得到如下结果（单位：人）
吸烟与呼吸道疾病列联表
患病 不患病 总计
吸烟
37
183
220
不吸烟
21
274
295
总计
58
457
515
在不吸烟者中患呼吸道疾病的比重是 7.12% 在吸烟者中患呼吸道疾病的比重是 16.82%
列联表独立性分析案例
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否 有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个 成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人， 调查结果是：吸烟的220 人中37人患呼吸道 疾病， 183人不患呼吸道疾病；不吸烟的295 人中21人患呼吸道疾病， 274人不患呼吸道 疾病。
假设检验原理：
在一个已知假设 下，如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生， 就推断这个假设 不成立。
例1.在500人身上试验某种血清预防感冒作
用，把他们一年中的感冒记录与另外500名 未用血清的人的感冒记录作比较，结果如 表所示。问：该种血清能否起到预防感冒 的作用？
3)如果P(x2>6.635)= 0.01表示有99%的适把用握观认为测”数X与据Y”a有、关系;
4)如果P(x2>5.024)= 0.025表示有97.b5、%的c、把d握不认小为于”X5与Y”有关系;
5)如果P(x2>3.841)= 0.05表示有95%的把握认为”X与Y”有关系;
6)如果P(x2>2.706)= 0.10表示有90%的把握认为”X与Y”有关系; 7)如果P(x2≤2.706),就认为没有充分的证据显示”X与Y”有关系;
用 2统计量研究这类问题的方法称为独立性检验。
一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类 取值，即类A和B（如吸烟与不吸烟）；Ⅱ也有两类 取值，即类1和2（如患病与不患病）。于是得到 下列联表所示的抽样数据：
类1 类2
总计
类A
a
b
a+b
类B c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：
有效 58 64 122
无效 40 31 71
合计 98 95 193
例3：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研 究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进 行对比，所得数据如图所示，问：它们的疗效 有无差异
复方江剪刀草 胆黄片 合计
有效 184 91 275
无效 61 9 70
合计 245 100 345
病有关
H0： 吸烟和患呼吸道疾病之间没有关系
结论的可靠 程度如何？
吸烟 不吸烟
总计
吸烟与呼吸道疾病列联表
患呼吸道疾 不患呼吸道
病
疾病
a
b
c
d
a+c
b+d
总计
a+b c+d a+b+c+d
a
吸烟的人中患肺癌的比例： a b 不吸烟的人中患肺癌的比例： c
cd
若H0成立
a≈c, a+b c+d
问题1：判断的标准是什么？
吸烟与不吸烟，患病的可能性的大小是否有差异？ 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异， 吸烟者患肺癌的可能性大 问题2：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患 病有关”的判断？
问题3：能否用数量刻画出“有关”的程度？
独立性检验
通过数据和图表分析，得到 结论是：吸烟与患呼吸道疾
谢谢！
未感冒
感冒
合计
使用血清 258
242
500
未使用血清 216
284
500
合计
474
526
1000
例2：为研究不同的给药方式（口服与注射） 和药的效果（有效与无效）是否有关，进行 了相应的抽样调查，调查的结果列在表中， 根据所选择的193个病人的数据，能否作出 药的效果和给药方式有关的结论？
口服 注射 合计
2×2列联表
y1
y2
总计
2
a
nad bc d
bc2 a c
b
Biblioteka Baidu
d
x1 x2
a c
b d
a+b c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
P( 2 m)
1)如果P(m>10.828)= 0.001表示有99.9%的把握认为”X与Y”有关 系2);如果P(x2>7.879)= 0.005表示有99.5%的把握认为”X与Y”有关系;
220 295 58 457
独立性检验
已知在 H0成立的情况下，
P( 2 6.635 ) 0.01
即在 H0 成立的情况下， 2大于6.635概率非常小， 近似为0.01 现在的 2=11.8634的观测值远大于6.635， 出现这样的观测值的概率不超过0.01。
故有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把 握认为“患呼吸道疾病与吸烟有关系”。
其中n a b c d
作为检验在多大程度上可以认为“两个变量 有关系”的标准 。
独立性检验
吸烟与呼吸道疾病列联表
患病 不患病 总计
吸烟
37
183
220
不吸烟 21
274
295
总计
58
457
515
通过公式计算
2 51537 274 183 212 11.8634
（1）提出假设H0 ：Ⅰ和Ⅱ没有关系； （2）根据2× 2列表与公式计算 2的值；
（3）查对临界值，作出判断。
由于抽样的随机性，由样本得到的推断有 可能正确，也有可能错误。利用 进行2 独立性检验，可以对推断的正确性的概率 作出估计，样本量n越大，估计越准确。
反证法原理与假设检验原理
反证法原理：
ac+d≈ca + b,
ad bc
独立性检验
ad bc 0.
ad - bc 越小，说明吸烟与患肺癌之间的关系越弱，
ad - bc 越大，说明吸烟与患肺癌之间的关系越强
引入一个随机变量：卡方统计量
2
a
nad bc2 bc d a cb
d
根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与 吸烟有关？
列联表
为了调查吸烟是否患呼吸道疾病有影响，某医疗研究 所随机地调查了515人，得到如下结果（单位：人）
吸烟与呼吸道疾病列联表
患病 不患病 总计
吸烟
37
183
220
不吸烟
21
274
295
总计
58
457
515
在不吸烟者中患呼吸道疾病的比重是 7.12% 在吸烟者中患呼吸道疾病的比重是 16.82%
列联表独立性分析案例
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否 有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个 成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人， 调查结果是：吸烟的220 人中37人患呼吸道 疾病， 183人不患呼吸道疾病；不吸烟的295 人中21人患呼吸道疾病， 274人不患呼吸道 疾病。