1.电场强度、场强叠加原理(作业)

（1411）浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系
制作：石永锋 制作：石永锋
5、已知半径为R、总电荷为Q的均匀带电圆环在其轴线上任 一点的场强为
Qx E 4π 0 ( R 2 x 2 )3 / 2
x坐标轴沿圆环轴线，原点在环心．式中x为从场点到环心的 位置坐标．利用这一结果，试推导一半径为R、电荷面密度为 的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强．并进一步推导电荷 面密度为 的“无限大”均匀带电平面的场强． 解： 设盘心O点处为原点， x轴沿轴线方向．在任 意半径r处取宽为dr的 圆环，其电荷为
0
1.电场强度、场强叠加原理
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cos 0 x R2 a 2 a
R
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∵
∴
E (1 ) 2 0 R2 a 2
R 3a
0
O x
P
由题意,令E= / (40)，得到
1.电场强度、场强叠加原理
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dE
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dE x
它沿x、y轴上的二个分量为
dE y
O
d
R dl
y
对二个分量积分得
x
∴
0 2π 2 0 Ex 0 cos d 2 0 2 0 0 2π Ey 0 sin cosd 0 2 0 0 i E Exi E y j 2 0
sin sin 2 d sind dE y ( 2 d ) 2 4π 0d 4π 0 d sin
Ex 4π 0d
π /cosd 4π 0d 2
0
1.电场强度、场强叠加原理
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1.电场强度、场强叠加原理
d R
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O x
-Q
dE
dE
在对称位置的负微小电荷在O处产生的场强大小与正微小电荷
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Ex 0
制作：石永锋 制作：石永锋
y
产生的场强相等。它们的x分量相互抵消，即
+Q dq d R
y分量相互叠加。

O x
产生的．试求该圆半径的大小．
E
解： 电荷面密度为 的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为
E 2 0
微分圆环的带电量为
dq 2πrdr
微分环在P点产生的场强为
R r dr O
l θ a
dE
P
x
1.电场强度、场强叠加原理
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dl
d O
d E x dE sin
d E y dE cos
dE x
x
对各分量分别积分，得
π Ex 2 0 sin d π2 0 R 2π 0 R
dE y
dE
π Ey 2 0 cos d 0 2π 0 R
轴线上一点的电场强度为
圆盘可看成是一系列这样的同心圆环构成的．这些不同半径的圆 环在P点产生场强叠加后，得到圆盘在该点的场强 。
x E 2 0

R
0
x rdr 2 2 3/ 2 4 0 (r x )
1
R

R
0
d( r 2 x 2 ) (r 2 x 2 )3 / 2
x 2 0
x 1 1 ( ) 2 2 2 2 r x 0 2 0 x R x
dE
d dl 0 cos Rd
它在O点产生的场强为 0 d dE cos d 2 0 R 2 0
1.电场强度、场强叠加原理
O
d
R
dl
y
x
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0 d E x dE cos cos 2 d 2 0 0 sin cos d d E y dE sin 2 0
1 （1009）
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1、一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均 匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所 示．试求圆心O处的电场强度． 解： 处的微小电荷dq在O处产生的场强为
y +Q dq
dq d E 4π 0 R 2 其中 dq Q d 2Q d π/2 π Q d E 2 d ∴ 2 2π 0 R
R r dr O
x
dE
P
x
1.电场强度、场强叠加原理
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dq 2πrdr
它在P点产生的场强为
xdq x rdr dE 2 2 3/ 2 4π 0 ( r x ) 2 0 ( r 2 x 2 )3 / 2
π 取 位置处的一条，它在轴线上一点 产生的场强为
1.电场强度、场强叠加原理 dl
y
d O x
d

d
dE
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dE d 2 d 2 0 R 2 0 R
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y
它在x、y 轴上的二个分量为：
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（5430） 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系
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6、一半无限长的均匀带电直线，单位长度带电荷．试证明： 在通过带电直线端点与直线垂直的平面上，任一点的电场强度 的方向都与这直线成45°角． E dq在P点的电场强度为 解：
d E y d E cos Q 2 cos d 2 2π 0 R
E y 2
∴
π/ 2 0
-Q
dE
dE
dE y
Q π 0R
2 2

π/ 2
0
cos d Q π 2 0 R 2 j
Q π 2 0 R 2
E Exi E y j
Ey 4π 0d 4π 0d
制作：石永锋 制作：石永锋

0
π/ 2
sind
dE
dEx
y
dEy
P d O r

x dx x
∵
Ex E y
∴通过半无限长均匀带电直线的端点与直线垂直的平面上，任 一点的电场强度 E 的方向与这直线成45°角．
1.电场强度、场强叠加原理
1.电场强度、场强叠加原理
（式中 x 为圆环中心到P点距离，不能与坐标x混同）。
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2 x E 2 0 x 2
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当圆盘半径R→∞时，即成为“无限大”带电平面．此时
( x 0) ( x 0)
2πrdr r cos dr dq cos dE cos 2 2 4π 0 l 2 0 l2 4π 0 l
统一积分变量：
r a tan
a dr d 2 cos
R r dr O
l θ a P
dE
x
a l cos
cos 2 a ∴ dE sind a tan cos d 2 2 2 0 2 0 a cos 对整个圆盘积分得 E sin d (1 cos 0 ) 0 2 2 0 0
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∵
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x d cot
d dx 2 d sin
dE
dEx
y
dEy
P d O r

x dx x
∴
又 ∴
d r sin
cos sin 2 d cos d dE x ( 2 d ) 2 4π 0d 4π 0 d sin
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（1012）
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z
2、一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为：
=0cos ，式中 为半径R与x轴所夹的角，
试求圆柱轴线上一点的场强．
x
O

R
y
将柱面分成许多与轴线平行的细长条， 解： 每条可视为“无限长”均匀带电直线。 其电荷线密度为
E Exi E y j
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i 2 π 0R
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（1096） 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系
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4、如图所示，一电荷面密度为 的“无限大” 平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是

R O a
由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所
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（1013） 浙江理工大学理学院物理系 浙江理工大学理学院物理系
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O R
3、 “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为
R，设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为λ，
试求轴线上一点的电场强度。
O'
解：设坐标系如图所示。
将半圆柱面划分成许多窄条。dl 宽的 窄条的电荷线密度为
dE
dEx y dEy
dq dx dE 2 4π 0 r 4π 0 r 2
dE在x、y方向的分量分别为
P d O r

x dx
x
dx cos dE x dE cos 4π 0 r 2
dx sin dE y dE sin 4π 0 r 2