数学八年级上册 全册全套试卷测试卷附答案
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数学八年级上册全册全套试卷测试卷附答案
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图,已知△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使
△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?【答案】(1)①△BPD≌△CQP,理由见解析;②V7.5
Q
(厘米/秒);(2)点P、Q
在AB边上相遇,即经过了80
3
秒,点P与点Q第一次在AB边上相遇.
【解析】
【分析】
(1)①先求出t=1时BP=BQ=6,再求出PC=10=BD,再根据∠B=∠C证得
△BPD≌△CQP;
②根据V P≠V Q,使△BPD与△CQP全等,所以CQ=BD=10,再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度;
(2)根据V Q>V P,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,设运动x
秒,即可列出方程15
6220
2
x x,解方程即可得到结果.
【详解】
(1)①因为t=1(秒),
所以BP=CQ=6(厘米)
∵AB=20,D为AB中点,
∴BD=10(厘米)
又∵PC=BC﹣BP=16﹣6=10(厘米)∴PC=BD
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△BPD与△CQP中,
BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△BPD ≌△CQP (SAS ),
②因为V P ≠V Q ,
所以BP ≠CQ ,
又因为∠B =∠C ,
要使△BPD 与△CQP 全等,只能BP =CP =8,即△BPD ≌△CPQ ,
故CQ =BD =10.
所以点P 、Q 的运动时间84663
BP t (秒), 此时107.54
3Q CQ V t (厘米/秒).
(2)因为V Q >V P ,只能是点Q 追上点P ,即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程
设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇,依题意得
1562202x x , 解得x=803
(秒) 此时P 运动了8061603
(厘米) 又因为△ABC 的周长为56厘米,160=56×2+48, 所以点P 、Q 在AB 边上相遇,即经过了
803秒,点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇. 【点睛】
此题考查三角形全等的证明,三角形与动点相结合的解题方法,再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.
2.在ABC ∆中,90,BAC AB AC ∠=︒=,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点,B C 重合),以AD 为腰作等腰直角DAF ∆,使90DAF ∠=︒,连接CF .
(1)观察猜想
如图1,当点D 在线段BC 上时,
①BC 与CF 的位置关系为__________;
②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________(提示:可证DAB FAC ∆≅∆)
(2)数学思考
如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,(1)中的①、②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明;
(3)拓展延伸
如图3,当点D 在线段BC 的延长线时,将DAF ∆沿线段DF 翻折,使点A 与点E 重合,连接CE CF 、,若4,22CD BC AC ==CE 的长.(提示:做AH BC ⊥于H ,做EM BD ⊥于M )
【答案】(1)①BC ⊥CF ;②BC =CF +DC ;(2)C ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC ,证明详见解析;(3)32【解析】
【分析】
(1)①根据正方形的性质得,∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC (SAS );②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质可得到=CF BD ,ACF ABD ∠=∠ ,根据余角的性质即可得到结论;
(2)根据正方形的性质得到∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论;
(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,证明ADH DEM △≌△ ,推出3EM DH == ,2DM AH == ,推出3CM EM == ,即可解决问题.
【详解】
(1)①正方形ADEF 中,AD AF =
∵90BAC DAF ==︒∠∠
∴BAD CAF ∠=∠
在△DAB 与△FAC 中
AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()DAB FAC SAS △≌△
∴B ACF ∠=∠
∴90ACB ACF +=︒∠∠ ,即BC CF ⊥ ;
②∵DAB FAC △≌△
∴=CF BD
∵BC BD CD =+
∴BC CF CD =+
(2)BC ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC
证明:∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形
∴AB =AC ,AD =AF ,∠BAC =∠DAF =90°,
∴∠BAD =∠CAF
在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAB ≌△FAC (SAS )
∴∠ABD =∠ACF ,DB =CF
∵∠BAC =90°,AB =AC ,
∴∠ACB =∠ABC =45°
∴∠ABD =180°-45°=135°
∴∠ACF =∠ABD =135°
∴∠BCF =∠ACF -∠ACB =135°-45°=90°,
∴CF ⊥BC
∵CD =DB +BC ,DB =CF
∴DC =CF +BC
(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,
∵90BAC ∠=︒
,AB AV ==
∴1422BC AH BH CH BC =
=====, ∴114
CD BC == ∴3DH CH CD =+=
∵四边形ADEF 是正方形
∴90AD DE ADE ==︒,∠
∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥,,
∴四边形CMEN 是矩形
∴NE CM EM CN ==,
∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠
∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠
∴ADH DEM =∠∠
在△ADH 和△DEM 中