基于Harr小波图像分解与重构

基于Haar 小波的图像分解与重构

徐恺 2015202239

1 引言

在众多正交函数中，Haar 小波函数是最简单的正交函数，与其它正交函数相比，它具有构造简单、对应的滤波器具有线性相位性、计算方便的特点。因此Haar 小波函数引起人们的普遍关注。Haar 函数的正交集是一些幅值为+ 1或- 1的方波，而且在一段区间有值,其他区间为零。这使得 Haar 小波变换比其它小波函数要快。

2 Haar 小波

2.1 Haar 基函数

基函数是一组线性无关的函数,可以用来构造任意给定的信号。Haar 基函数是由一组分段常值函数组成的函数集,其定义为

O (x ) = {

1,0≤ x < 10,其他

定义 Haar 基尺度函数为

规范化Haar 基尺度函数为

其中,j 为尺度因子,改变j 使函数图形缩小或者放大；i 为平移参数,改变i 使函数沿x 轴方向平移。常数因子2j 2⁄用来满足内积等于1的条件,如果小波函数不是在[0, 1)区间中定义的函数,常数因子将改变。

用小波基构成的矢量空间V j 定义为

其中,sp 表示线性生成。

2.2 Haar 小波函数

小波函数通常用J i j

(x )表示。与框函数相对应的小波称为基本Haar 小波函数,其定义如下：

Haar 小波尺度函数J i j

(x )定义为

规范化Haar 小波尺度函数为:

其中：j 为尺度因子,改变 j 使函数图形缩小或者放大；i 为平移参数,改变 i 使函数沿 x 轴方向平移。常数因子2j 2⁄同规范化 Haar 基。

用小波函数构成的矢量空间W j 定义为

用Haar 小波J i j (x )生成的矢量空间W j 包含在矢量V j+1空间。Harr 基函数O i j

(x )和Haar 小波函数J i j (x )生成的矢量空间V j 和W j 具有下面的性质:

其中,符号“⊕”表示直和。这就是说,在矢量空间V j+1中,生成矢量空间W j 的所有函数与生成矢量空间V j 的所有函数都是正交的,即子空间W j 是子空间V j 的正交补,矢量空间W j 中的小波可用来表示一个函数在矢量空间V j 中不能表示的部分。

3 Harr 小波变换

小波变换的基本思想是用一组小波函数或者基函数表示一个函数或者信号。信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系,傅立叶变换提供了有关频率域的信息,但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同,小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可获得信号的时间信息,而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。在小波变换中,近似值是大的缩放因子产生的系数,表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数, 例如,对只有4个像素的一维图像I(x)进行Haar小波变换,其实质就是用生成矢量空间V0的基函数O00(x)、生成矢量空间W0的小波函数J00(x)、生成矢量空间W1的小波函数J01(x)和J11(x)，根据

将图像I(x)表示成:

其中:4个系数C00、d00、d00和d11就是原始图像经过Haar小波变换所得到的系数,用来表示整幅图像的平均值和不同分辨率下的细节系数; O00(x)、J00(x)、J01(x)和J11就是构成V2空间的基。

对二维图像进行Haar小波变换有两种方法：标准分解和非标准分解。标准分解是指先使用一维小波对图像的每一行的像素值进行变换,产生每一行像素的平均值和细节系数,然后再使用一维小波对这个经过行变换的图像的列进行变换,产生这个图像的平均值和细节系数。非标准分解是指使用一维小波交替地对每一行和每一列像素值进行变换。

图1是Haar小波对二维图像的一级及三级分解子带图,在右图中最低频a3 子带图像与原始图像极其相似,只是尺寸变小,它包含了原图的绝大部分能量,对恢复图像质量影响较大,其余高频子带的小波系数大多非常小。在同一层,由于v 及h子图表示的边缘子图像的小波系数和方差比d子图要大,因此d子图在重构图像时不是很重要。

由于离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的树结构,在图像的分解期间,降采样会引进畸变,这就需要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能消除这种畸变。低通分解滤波器(L)和高通分解滤波器(H)以及重构滤波器(L′ 和H′)构成小波变换的滤波器(QMF)系统。如图2所示。

另外,小波变换用于图像处理时还要考虑一些问题。首先要注意小波基的正则性阶数。正则性是函数光滑程度的一种描述,也是函数频域能量集中的一种度量,正则性越差,则重建图像的变化就越不光滑,视觉效果就越差。对正则性差的小波主要采用增加滤波器长度的方法改善重构图像质量,但带来的代价是运算量大、速度慢。Haar小波就属于这种小波。其次要考虑待处理图像与小波基的相似性。对同一幅图像而言,用不同的小波基进行分解所得到的数据压缩效果是不同的,小波基的基本图像与待处理图像的结构越相似,压缩效果就越好。再次还要考虑小

波变换的边界问题。边界失真主要是正交镜像滤波器的非线性相位特性、信号自身在边界附近的相关性以及对变换结果亚抽样所造成的,当正交镜像滤波器的相位特性是非线性时，经过一级分解后的结果在边界处不再具有对称性,这必然导致重建信号在边界处产生误差,并影响到下一级分解。