高一数学常见的对数函数解题方法

常见的对数函数解题策略

一、分类讨论

例1 若实数a 满足2log 13

a <，求a 的取值范围。 分析：需对a 进行分类讨论。

当1a >时，∵log 1a a =，∴2log log 3a

a a <，∴23

a >； 当01a <<时，∵2log log 3a a a <，∴23a <，即203a <<。 故20,(1,)3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭

。 评注：解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。理解会用以下几个结论很有必要：①当1a >时，若log 0a x >，则1x >，若l o g 0a x <，则01x <<；②当01a <<时，若log 0a x >，则01x <<，若log 0a x <，则1x >。

二、数形结合

例2 若x 满足2log 3x x =-，则x 满足区间（ ）

A ．（0，1）

B ．（1，2）

C ．（1，3）

D ．（3，4）

分析：本题左边是一个对数函数，右边是一个一次函数，可通过作图象求解。 解析：在同一直角坐标系中画出2log y x =，3y x =-的图象，如图所示，可观察两图象交点的横坐标满足13x <<，答案选C 。

评注：解决该类问题的关键是正确作出函数2log y x =，3y x =-的图象，从而观察交点的横坐标的取值范围。

三、特殊值法

2x

x -x

例3 已知log (2)a y ax =-在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2,)+∞

分析：由函数的单调性求底数a 的取值范围，逆向考查，难度较大，可采用特殊值法进行判断。

解析：取特殊值0.5a =，10x =，21x =，则有10.5

l o g (2)l o g 2a ax -

=，20.53log (2)log 2a ax -=，与y 是x 的减函数矛盾，排除A 和C ； 取特殊值3a =，11x =，则2230ax -=-<，所以3a ≠，排除D 。 答案选B 。

评注：本题由常规的具体函数判断其单调性，变换为已知函数的单调性反过来确定函数中底数a 的范围，提高了思维层次。

四、合理换元

例4 若28x ≤≤，求函数2

21144log log 5y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域。 分析：通过对函数式进行变形，此题是一个二次函数求值域问题，可换元进行求解。

解析：设14log t x =，∵28x ≤≤，∴114

4log 8log 2t ≤≤，即3122t -

≤≤-。 又2

21144log log 5y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21144

log 2log 5x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，

∴2225(1)4y t t t =++=++，∵3122

t -≤≤-， ∴当1t =-时，y 最小值为4；当32t =-或12

t =-时，y 值相等且最大，y 最大为174。 故函数y 的值域为174,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦

。 评注：换元法是一种常见的数学思想，也是一种常用的解题技巧，希望同学们在今后的学习中合理转化，灵活运用。