数学物理方法第四章

留数定理：将上述两者建立了一种关系。
• (2) 要计算解析函数的积分，关键：计算留数；
• (3) 留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；
• (4) bj(j=1,2,…)是 l 所包围的f(z)的所有奇点，而不是f(z)所 有的奇点。
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2.留数的计算方法 求a-1
f (z) a (z z )k
所以 Res f 0
(n
1
lim 1)! z0
dn1 dz n1
zn
ez zn
1
.
(n 1)!
11
例3
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
解1 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点，由规则3得
由柯西定理 Ñ f (z)dz 0, ABCDBAEFA
或 蜒 f (z)dz f (z)dz 蜒 f (z)dz f (z)dz 0.
AB
l0
BA
l
又 f (z)dz f (z)dz 0,
AB
BA
蜒 f (z)dz f (z)dz 0.
l0
l
蜒 f (z)dz f (z)dz,
, 0
a1
1 5!
.
13
说明: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,
可直接展开洛朗级数求 a1 来计算留数 .
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m 取得比实际的级数高.
(2)取l0为去心区域内包含 z0 的任一条正向简单闭曲线
4
由柯西定理,我们有积分 f (z)dz= f (z)dz
l
l0
L ak (z z0 )k dz L a1 (z z0 )1dz L
l0
l0
0
2 i
a0dz a1(z z0 )dz L ak (z z0 )k dz L
f (z)dz L
f (z)dz
2 i l1
2 i l2
2 i ln
Res f (b1) Res f (b2) L Res f (bn)
n
Res f (bj )
j 1
7
m
即： Ñ f (z)dz 2 iRes f (bj )
l
j 1
• (1) 方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数奇点的 留数。
Res
f
(z0 )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
lim(z
zz0
z0 )
f
(z
z0 ).
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例1
求
f
(z)
e
z z5
1
在
z 0 的留数.
解 将 f (z)展开 成洛朗级数求 a1
在 0 z 内 f (z) 的洛朗级数为:
ez 1 z5
1 z5
1
z
z2 2!
z3 3!
z4 4!
z5 5!
z6 L 6!
1
1 1 1 1 1z
a-1 (j) ：f(z)在它的第j 个孤立奇点的邻域内罗朗展开
式中(z-bj)-1 的系数。
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证 由复连通域的柯西定理
Ñ f (z)dz 蜒 f (z)dz f (z)dz L ? f (z)dz
l
l1
l2
ln
l
.bn
两边同时除以 2，i 则有
b1 . .b2
B
蜒 ? 1
1
1
f (z)dz
l
l0
蜒 f (z)dz f (z)dz,
l
l0
l与l0方向相反，但与- l0方向相同。
3
4.1 留数定理
（一）留数引入
设 z0 为 f (z)在l构成区域内的一个孤立奇点;
.z0
l l0
z0 的某去心区域(内半径为零) 0 z z0 R f (z) 在去心区域内解析，可展开洛朗级数。
(1)由洛朗级数展开定理: f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数: f (z) L ak (z z0 )k L a1(z z0 )1 L a0 a1(z z0 ) L ak (z z0 )k L
l0
l0
l0
0
(柯西定理) 各正幂项fk(z-z0)=ak (z-z0)k
是解析函数
2ia1 洛朗级数中负幂项
a1 ( z
z0
)1的系数
即
a1
1 2i
l
f (z)dz Res f (z0 )
f (z)在 z0 的留数
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（二）留数定理
1.留数定理 函数 f (z) 在区域 B内除有限个孤
立奇点 b1 ,b2 ,L ,bn 外处处解析, l 是闭区域B包围诸奇
z4
2!z3
3! z 2
4!z
5!
L 6!
,
所以 Res f (0) a1
1 1. 4! 24
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•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末
Res
f (z0 )
(m
1
1)!
lim
zz0
dm1 dz m 1
[(
z
z0
)m
f (z)].
例2
求
f
(z)
ez zn
在
z
0 的留数.
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
点的一条正向简单闭曲线, 那么
n
Ñ f (z)dz 2 iRes f (bj ).
l
j 1
l
.bn
b1 . .b2
B
说明: l： B内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。
Res f (bj ) ：f(z)在的无心邻域0 <| z − bj| < R中的罗 朗级数的系数 a-1 (j) ，称为f(z)在 z = bj 的留数。
Res[f
(0)]
1 lim (3 1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
1 2!
lim
z0
d2 dz 2
z
sin z3
z
1
. 5!
12
解2 利用洛朗展开式求 a1:
z
sin z6
z
1 z6
z
z
z3 3!
z5 5!
1 z3 1 z1 L ,
3!
5!
Res
z
sin z z6
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。掌握 用留数定理计算典型实定积分的方 法。
重点： 理解解析函数的积分值与函数的奇点的关 系。
难点： 留数的计算与留数定理
2
回顾:复连通域柯西定理
E
A
如图:在 l 围成的区域中存在f(z)的
D
l
z0 B l0
C
F
孤立奇点z0，我们可引入曲线l1将此奇 点挖掉，而构成复连通区域， f(z)在此 复连通区域解析。
k
0
k
(1) 如果 z0 为 f (z) 的可去奇点, 则Res f (z0 ) 0.
(2) 如果 z0 为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成洛朗级数求 a1
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
求a-1 •规则1 如果 z为0 f (的z)一级极点, 那末