北大离散数学05

5
有序对(定理1)
• 定理1: <a,b>=<c,d> a=cb=d
证明: () 显然.
() 由引理2,
<a,b>=<c,d> {{a},{a,b}}={{c},{c,d}}
∪{{a},{a,b}}=∪{{c},{c,d}}{a,b}={c,d}.
又 {{a},{a,b}}={{c},{c,d}}
3
有序对(引理1)
• 引理1: {x,a}={x,b} a=b 证明: () 显然.
() 分两种情况. (1) x=a. {x,a}={x,b} {a,a}={a,b}
{a}={a,b} a=b. (2) xa. a{x,a}={x,b} a=b. #
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
<3,1>,<3,2>,<3,3> }. #
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
9
卡氏积的性质
• 非交换:
AB BA
(除非 A=B A= B=)
• 非结合: (AB)C A(BC)
(除非 A= B= C=)
• 分配律: A(BC) = (AB)(AC)等
• 其他: AB= A=B=等
18
n维卡氏积
• n维卡氏积: A1A2…An = { <x1,x2,…,xn> | x1A1x2A2…xnAn }
• An = AA…A • |Ai|=ni ,i =1,2,…,n
|A1A2…An| = n1n2…nn. • n维卡氏积性质与2维卡氏积类似.
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
14
例题1
• 例题1: 设A,B,C,D是任意集合, (1) AB= A= B= (2) 若A, 则 ABAC BC. (3) AC BD ABCD,
并且当(A=B=)(AB)时, ABCD ACBD.
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
15
第5讲 二元关系的基本概念 北京大学
内容提要 • 1. 有序对与卡氏积 • 2. 二元关系 • 3. 二元关系的基本运算
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
1
有序对与卡氏积
• 有序对(有序二元组) • 有序三元组, 有序n元组 • 卡氏积 • 卡氏积性质
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
10
卡氏积非交换性
• 非交换:
AB BA
(除非 A=B A= B=)
• 反例: A={1}, B={2}.
AB={<1,2>},
BA=Fra Baidu bibliotek<2,1>}.
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
11
卡氏积非结合性
• 非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
∩{{a},{a,b}}=∩{{c},{c,d}} {a}={c} a =c.
再由引理1, 得b=d. #
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
6
有序对(推论)
• 推论: ab <a,b><b,a>
证明: (反证) <a,b>=<b,a>a=b,
与ab矛盾.
#
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
4
有序对(引理2)
• 引理2: 若A=B , 则 (1) ∪A=∪B (2) ∩A=∩B
证明: (1) x, x∪A z(zA xz) z(zB xz) x∪B.
(2) x, x∩A z( zA xz ) z( zB xz ) x∩B. #
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
2
有序对(ordered pair)
• 有序对: <a,b> = { {a}, {a,b} }
其中, a是第一元素, b是第二元素. • <a,b>也记作(a,b) • 定理1: <a,b>=<c,d> a=cb=d • 推论: ab <a,b><b,a>
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
7
有序三元组(ordered triple)
• 有序三元组: <a,b,c>=<<a,b>,c>
• 有序n(2)元组: <a1,a2,…,an>=<<a1,a2,…,an-1>,an>
• 定理2: <a1,a2,…,an>= <b1,b2,…,bn> ai = bi, i =1,2,…,n. #
• 反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
12
卡氏积分配律
• 1. A(BC) = (AB)(AC) • 2. A(BC) = (AB)(AC) • 3. (BC)A = (BA)(CA) • 4. (BC)A = (BA)(CA)
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
13
卡氏积分配律(证明1)
• A(BC) = (AB)(AC).
证明: <x,y>, <x,y>A(BC)
xAy(BC) xA(yByC) (xAyB)(xAyC) (<x,y>AB)(<x,y>AC) <x,y>(AB)(AC)
A(BC) = (AB)(AC). #
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
17
例题1(证明(2),续)
(2) 若A, 则ABACBC.
证明(续): ()若B=,则AB=AC.
设 B.
<x,y>, <x,y>AB xAyB
xAyC <x,y>AC
ABAC.
#
讨论: 在()中不需要条件 A.
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
8
卡氏积(Cartesian product)
• 卡氏积: AB={<x,y>|xAyB}.
• 例: A={,a}, B={1,2,3}. AB={<,1>,<,2>,<,3>,<a,1>,<a,2>,<a,3>}. BA={<1,>,<1,a>,<2,>,<2,a>,<3,>,<3,a>}. AA={ <,>, <,a>, <a,>, <a,a>}. BB={ <1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,
卡氏积图示
D
A
A
C
BC
B
A(BC) = (AB)(AC) ACBDABCD
2020/10/4
《集合论与图论》第5讲
16
例题1(证明(2))
(2) 若A, 则ABAC BC. 证明: () 若 B=, 则 BC.
设 B, 由A, 设xA. y, yB<x,y>AB
<x,y>AC xAyC yC. BC