凸函数在高考中的应用

凸函数在高考中的应用

函数是高中数学中的边缘知识点，在苏教版高一新教材中由指数函数和对数函数

中的两道探究拓展题（）涉及，在人教版中由的探索与研究阅读材料涉及。在近两年的高考中，全国各地的高考题和模拟题对函数的这一性质都有所考查。

凸函数的定义有几何定义、代数定义、切线定义等几种形式

（1）凸函数的几何定义（引自人教版高一数学教材）

函数，任意，如果函数在区

间上的图像总是在线段的下方，我们就说函数的图像在区间D上是下凸的，这样的函数叫下凸函数；

函数，任质，如果函数在区

间上的图像总是在线段的上方，我们就说函数的图像在区间D上是上凸的，这样的函数叫上凸函数。

（2）凸函数的代数定义

设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何和实数，有

，则称f(x)是D上的下凸函数。

设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何和实数有

，则称f(x)是D上的上凸函数。

（3）凸函数的切线定义（引自华东师大编写《数学分析》）：

设函数在（a，b）内可导，若曲线位于其每点处切线的上方，则称曲线是向下凸的；

设函数在（a，b）内可导，若曲线位于其每点处切线的下方，则称曲线是向上凸的。

（4）两个定理

定理1：设函数在（a，b）内可导，则曲线在（a，b）内是向下（上）凸的充要条件是导函数（a，b）内递增（递减）；

定理2：设函数在（a，b）二阶可导，则曲线在（a，b）内是向下（上）凸的充要条件是

（5）琴生不等式

①如果函数f(x)在区间D上是上凸函数，则对于区间内的任意，有

，当且仅当时，等号成立。

②如果函数f(x)在区间上是下凸函数，则对于区间内的任意，有

，当且仅当时，等号成立。在最近几年的高考中，对凸函数的考查以各种形式出现。

例1 在这四个函数中，当时，使

恒成立的函数的个数是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

分析：在凸函数的代数定义中，令得到严格上凸函数的条件

，本题考查的就是凸函数的定义，显然在以上四个函数中，只有在（0，1）上是严格上凸的。

例2 苏教版课本探究题（1）对于任意的，若函数，试比较与的大小关系；（2）对于任意的，若函数

，试比较与的大小关系；

分析：由图像可知，函数也是严格的下凸函数，则

；函数是严格的上凸函数，则

。

与此类似，1994年全国文科试卷，考查了一道有关凸性的题：已知函数

（且），若，判断与的大小，并加以证明。

例3 对于函数f(x)定义域中任意，有如下结论：

（1）；

（2）

（3）；

（4）。当时，上述结论中正确结论的序号是___________。

分析：本题是考查函数的性质，其中④涉及函数的凸性，函数

是严格上凸的，则应满足，本题结论为②③。

例4 已知四个函数（1），（2），（3）

（4），其中满足性质的函数有__________个。

分析：本题考查的是函数凸性的一般定义，不妨令，则，以

上条件变形为，即函数下凸的条件，注意到一次函数即是上凸的，又是下凸的，所以本题（1）（2）（3）（4）都满足条件。

例5 证明以下等式

（1）若a、b、c为正实数，求证：

（2）在△ABC中，求证：

（3）设，证明：

分析：本例是几个典型的构造凸函数证明不等式的问题，解决这一类问题的关键是要构造合理的凸函数。

证明：（1）考查函数，其二阶导数，故其为下凸函

数。由下凸函数的琴生不等式得即

而函数单调递增，故

而，两式联立即得。

（2）证明：考查正弦函数，在（0，）上为凸函数，由上凸函数的琴生不等式得

即

（3）证明：考查函数，其二阶导数，故其为下凸函数，所以

例6

（1）设函数，求f(x)的最小值；

（2）设正数满足，求证：

分析：本题第二小问是这几年中考考查函数的凸性比较难的一道题，很多杂志都给出了用数学归纳法等方法解决此问的解法，其实这道题的命题背景是利用函数的凸性，结合琴生不等式证明不等式的问题，在此仅证（2）。

证明：（2）考查函数，则，由凸函数的导数定义，知函数为下凸函数，由下凸函数的琴生不等

式得

因为代入得

即

整理得：

其实，我们可以编拟出很多这种利用函数的凸性，结合凸函数的琴生不等式构造的不等式，在此编写两则，供读者参考。

1、设。证明：

（1）

（2）

提示：考查函数，其中（）上为上凸函数；考查，其在（）上也为上凸函数，利用上凸函数的琴生不等式可得。

2、已知正实数满足，求证：

提示：考查函数。因，故该函数为下凸函数，利用下凸函数的琴生不等式可得。