第1讲运动学

运动学

【知识梳理】

一、匀变速直线运动

1、基本概念

研究物体的运动时，被选来作为参照的物体称为参照物。原则上，参照物的选择是任意的。为了把物体在各个时刻相对于参照系的位置定量的表示出来，还需要在参照系上选择适当的坐标系。坐标系是为定量描述物体运动的需要而引入的，又称参照坐标系。

利用匀变速直线运动规律求解运动学问题，在熟悉题意的基础上，首先要分清物体的运动过程及各过程的运动性质，要注意每一个过程加速度必须恒定。找出各过程的共同点及两过程转折点的速度，再根据已知量和待求量选择合适的规律、公式求解。

2、运动学图像

运动学图像，主要有位移-时间图像两种，用图像来描述物体的运动规律、表示物理过程，可以使抽象的物理问题形象、直观。应用图像要注意的几点：（1）理解图像的物理意义；（2）明确图像纵轴、横轴分别表示的是什么物理量；（3）了解图像的斜率、截距和面积的物理意义。有时为了处理问题的方便，也需要画一些特殊的图像。通过与熟悉的图像进行类比可以较好的理解这类图像。

3、运动问题中的小量分析

空间、时间都是连续性的量，连续量的处理常常需涉及对小量的处理，因此对运动问题的讨论离不开小量运算，例如（瞬时）速度、加速度表示为：0lim t x v t ∆→∆=∆ 0lim t v a t

∆→∆=∆ 涉及的均是小量的除法。利用初等数学并结合简单的小量极限概念来实现对相关问题的分析。

4、直线运动中的追及问题

分析追及问题通常采用如下方法。通过对物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图，列出两物体位移方程，找出两物体位移间的关系。追及问题的主要条件，速度小的物体加速追赶速度大的物体，速度相等时，两者间有最大距离；速度大的物体减速追赶速度小的物体，在速度相等时两者间有最小距离。解决追及问题的方法，由根据追及的主要条件和临界条件联立方程求解外，还可以利用二次函数求极值、二次方程的判别式等数学方法以及应用图像法和相对运动的知识求解。

二、相对运动和相关速度

1、相对运动

研究物体的机械运动，首先要选择一个参照物（或坐标系），物体的运动都是相对于这个参照物（或坐标系）的位置发生变化的。由于选择的参照物不同，对同一物体的运动描述可以不同。

我们通常把物体相对于基本参照系的运动称为“绝对运动”。把相对于基本参照系运动着的参照系称为运动参照系，运动参照系相对于基本参照系的运动称为“牵连运动”。物体相对于运动参照系的运动称

。运动的合成包括位移、速度和加速度的合成。其基本原则遵循平行四边形法则，如

=A B A C C B v v v 对对对等，这种关系是经典力学中的变换式，称为伽利略变换。

2、物系相关速度

所谓物系相关速度是指不同物体之间或同一物体的不同部分之间的速度有一定的联系，善于找到这类联系，可为顺利解题奠定基础。一般会碰到以下两类问题：

（1）求由杆或绳约束物系的各点速度

杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度。因此解题时可以先确定所研究各点的实际速度，再将该速度沿杆、绳方向和垂直杆、绳方向进行分解。

（2）求接触物系接触点的速度

由刚体（不能压缩和发生形变）的力学性质及“接触”的约束性可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，违反接触或刚体的限制。至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度。因此，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，浩接触 面切向的分速度在无相对滑动时也相同。

三、抛体运动

物体在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动叫抛体运动，若物体初速度水平，则为平抛运动，若初速度斜向上（或斜向下），和水平方向有一夹角，则为斜抛运动。

由于物体在恒定的外力作用下运动，故物体做匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g 。

抛体运动的求解必须将运动进行分解，一般情况下是分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直

上抛运动，则有水平方向：v x =v 0cos θ，x =v 0cos θ·t ，竖直方向：v y =v 0sin θ-gt ，y =v 0sin θ·t －12

gt 2 消去时间t 得轨迹方程y ＝x tan θ－gx 2

2v 02cos 2θ

，轨迹是抛物线。上式中，当θ=0°时，物体的运动为平抛运动。 射高和射程：在斜抛运动中，轨迹最高点的高度叫做射高Y ，物体被抛出的地点到落地点的水平距离叫做射程X ，做斜抛运动的物体从被抛出到落地所用的时间T ，叫做飞行时间。

设斜抛物体的初速度为v 0，抛射角为θ，T ＝2v 0sin θg ，Y ＝v 02sin 2θ2g ，X ＝v 02sin2θg

。可以看出当θ＝45º时，射程达到最大值，以后抛射角再增大，射程减小。如果两个抛射角θ1和θ2互余，即θ1+θ2＝90 º，两者射程相同。

求解抛体运动，还可以采用其他的分解方法，比如将斜抛运动分解为初速度方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体运动。而处理斜面上的斜抛运动问题时，一般可建立沿斜面和垂直斜面方向的x 、y 轴，将初速度和加速度分别沿斜面和垂直斜面方向进行分解。

抛体运动是一般匀变速曲线运动的一个特例，其求解方法也是求解一般匀变速曲线运动的基本方法，尽管物体速度方向是在不断变化的，但其速度变化的方向只能在合力即重力的方向上，因此其速度变化

抛体运动的共同特点是加速度相同，因此，当研究多个抛体的运动规律时，以自由落体为叁照物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这种选择参照物的方法，能大大简化各物体运动学量之间的联系，使许多看似复杂的问题变得简单、直观。

二、质点的圆周运动

运动轨迹是一个圆的运动称为圆周运动，做圆周运动的质点每时每刻的位置、速度矢量和加速度矢量都在同一平面内。其运动的快慢即速度的大小可用弧长对时间的变化率来表示，而速度的方向总是沿切线方向。设时刻t 质点位于点A ，其速度大小为v ；经时间Δt 到达点B ，速度的大小为v +Δv ，速度的变化量为Δv ，如图所示。通常将Δv 分解为两部分，一部分是速率大小的改变量Δv 2，另一部分可以表示出速度的方向改变Δv 1，则有Δv ＝Δv 1+Δv 2，当时间Δt 足够小，Δt →0时，加速度为

1200lim lim t t v v a t t

∆→∆→∆∆=+∆∆。式中的第一部分反映了速度方向变化的快慢，叫法向加速度（也叫向心加速度），其大小为a n ＝v 2R ；第二部分反映了速度大小变化的快慢，叫切向加速度，其大小为0lim t v a t τ∆→∆=∆。但对于匀速圆周运动而言，a τ＝0，其加速度就是向心加速度。

【例题解析】

例1 、一只蜗牛从地面开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度v 与它离地面的高度h 之间满足的关系是v =lv 0/(l +h )，其中常数l =20cm ，v 0=2cm/s 。求它上爬20cm 所用的时间。

解析：因蜗牛运动的时间是由每一小段时间1h t h v v ∆∆=

=∆⋅累加而成，即1t h v =⋅∆∑，故可作出1h v -图像。利用图像面积可得时间t 。由0lv v l h =+，得0111h v v l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

，故1h v -图象为一条直线，如图所示。图中阴影部分面积即为所求的时间，即000011111122t h t h h v v v v l v ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=

+⋅=++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦。 代入数据得t =15s 。