2019通信原理第章信号.pps

第2章信号

教学课型：理论课

目的要求：使学生掌握信号处理和随机过程等基本通信数学知识（在概率论的基础上）。

重点难点：

(1)平稳随机过程的定义

(2)高斯随机信号的数字特征

(3)信号通过线性系统

教学方法：多媒体讲解，结合板书

2.1 信号的类型

2.2 确知信号的性质

2.3 随机信号的性质

2.4 常见随机变量分布

2.5 随机变量的数字特征

2.6 随机过程

2.7 高斯过程（正态随机过程）2. 8 窄带随机过程

2.9 正弦波加窄带高斯过程2.10 信号通过线性系统

2.1 信号的类型

一、确知信号和随机信号

(1)确知信号和随机信号，又叫做“确定性过程”和“随机过程”。

(2)确定性过程：其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来

描述。

随机过程：其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。（stomatic/random process）比如电阻上的噪声电压。

在任何时刻，它的幅值都有一个与之相应的随机变量，具有一定的统计特性。

【详见P35 2.6】

二、能量信号和功率信号

(1)能量信号的能量有限，但平均功率为0。

(2)功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。

周期信号是典型的功率信号，非周期信号一般是

2.2 确知信号的性质

一、频域性质 1、功率信号的频谱 定义：

000/2

0/2

1

()()T jn t

n

T C jn s t e

dt F T ωω--=

=?

思考：

(1)与傅立叶变换定义表达式比较（上式多除以了个T o ，傅立叶

变换的积分是从负无穷到正无穷） (2)对于典型的功率信号－－周期信号来说，它的频谱是其指数形式傅立叶级数中的傅立叶 系数。其频谱是离散的， 如典型的周期方波的频谱 （见右图） ()()j t S s t e dt

ωω∞

--∞=?

2.能量信号的频谱密度

定义：设一能量信号为s (t )，则其频谱密度为：

S (ω)的逆变换为原信号：

如典型的矩形脉冲（门函数）的频谱密度。

?∞∞

--=dt

e t s S t j ωω)()(1()()2j t

s t S e d ωωω

π∞-∞

=?

思考：为什么能量信号只有频谱密度而功率信号有频谱呢？

（1）从物理的角度去理解：能量信号的能量有限，并连续分布在频率轴上，所以在每个频率点f 上信号的幅度是无穷小，只有在一段频率间隔d f 上才有非0振幅。

而功率信号则是能量无限，在无限多离散频率点上有非0幅度，即频谱。

（2）《信号与系统》：4.3和4.4节有专门的论述。

核心提示：

教材例2.1和例2.3，要作为经典结论记住！

（1）谱零点带宽：在实用中其频谱的第一个0点位置就当作其带宽。也就是说矩形脉冲信号，其带宽f，在数值上等于其脉冲持续时间的倒数。

教材例2.6，也要作为经典结论记住！

（2）正弦/余弦信号的傅氏变换即频谱（引入冲激函数的概念后也叫频谱密度），就是两个对称的冲激函数(图2.2.7)。

－－在满足狄立克莱的条件下，任何函数（含周期函数和非周期函数）都可以展开成若干个正余弦之和。那么可以推导出这个函数的频谱就是由这些若干个冲激函数对组成。

3.能量信号的能量谱密度

G (f )＝|S (f )|2 （J / Hz 或J·s ） 为能量谱密度

4.功率信号的功率谱密度

先转换为非周期信号，求出该非周期信号的能量，然 后除以周期T ，即可得到功率。

一般，令s (t )的截短信号为s T (t )，-T /2 < t

二、时域性质 1.自相关函数

能量信号s (t )的自相关函数：

2)(1lim )(f S T

f P T T ∞→=?∞

∞

<<∞-+=τττdt

t s t s R )()()(22

()()E s t dt S f df

∞∞-∞-∞

==??

功率信号的自相关函数定义：

性质：

–R (τ)只和 τ 有关，和 t 无关

–当τ = 0时，能量信号的R (τ)等于信号的能量； 功率信号的R (τ)等于信号的平均功率 一般记住能量信号的自相关函数。

2. 互相关函数定义：

能量信号的互相关函数定义：

?-∞→∞

<<∞-+=2

/2

/)()(1lim )(T T T dt t s t s T R τττττ?∞

∞-∞

<<∞-+=τττ,

)()()(2112dt t s t s R

2.3 随机信号的性质

一、随机变量的概率分布

–随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。

–随机变量的分布函数：

(x) = P(X x) , F X(x)为一连续单调递增函数。

定义：F

X

二、随机变量的概率密度 –连续随机变量的概率密度p X (x )

?p X (x )的定义：

?p X (x )的意义：

–p X (x )是F X (x )的导数，是F X (x )曲线的斜率 –能够从p X (x )求出P (a < X ≤ b )：

?p X (x )的性质：

– – dx

x dF x p X X )

()(=

?=≤

a

X dx

x p b X a P )()(?∞

-=x

X X dy

y p x F )()(p X (x ) ≥ 0

∞

2.4 常见随机变量分布

1.正态分布（高斯分布）

?定义：概率密度

式中，σ

> 0, a = 常数 ?概率密度曲线：

?

?

?

???--=22

2)(exp 21)(σσπa x x p X

2.均匀分布

?定义：概率密度 式中，a ，b 为常数 ?

概率密度曲线：

??

?≤≤-=其他

)

/(1)(b

x a a b x p X b

a

x

p X (x ) 1/(b -a )

3.瑞利(Rayleigh)分布

定义：概率密度为

式中，a > 0，为常数。 概率密度曲线：

4.莱斯(Rice)分布：（略,另见教材2.9节）

)

exp(2)(2

≥-=x a x a x x p X （1）相同点：多用来描述多径信道的衰落分布 。

（2）不同点：当移动台和基站之间无视距传输时，接收信号的包络服从Rayleigh 分布；当两者之间有一条直达路径，而且信号很强时，接收信号的包络服从Rician 分布；

2.5 随机变量的数字特征

1. 数学期望（Expect ）

–定义：对于连续随机变量 实质上，数学期望就是统计平均值！

2 方差（Variance ）、标准偏差（Standard Deviation ）

表示随机变量偏离数学期望程度的数字特征。

()()X E X xp x dx X

∞

-∞

==?

]

)[()(2

2

X X E X D X

-==σ的数学期望

－－标准偏差，

X X X σ

2.6 随机过程1.随机过程的基本概念

?数学期望：

?方差：

?自相关函数：

?∞∞-=

=)

(

)

(

)]

(

[

i

X

X

i

t

m

dx

x

xp

t

X

E

i

2

)]}

(

[

)

(

{

)]

(

[

i

i

i

t

X

E

t

X

E

t

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D-

=

)]

(

)

(

[

)

,

(

2

1

2

1

t

X

t

X

E

t

t

R

X

=

核心提示：严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，

2.平稳随机过程

(1)严格平稳随机过程: 统计特性与时间起点无关

(2)广义平稳随机过程: 平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关

–广义平稳随机过程的性质：

[()] X E X t m ==常数

121212

(, ) (-) ()

-X X X R t t R t t R t t ττ===2

2[()]{()[()]}X

D X t

E X t E X t σ=-==常数

3.各态历经性

(1)“各态历经”的含义：

平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。 (2)各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值！

?各态历经过程的统计平均值m X ：（时间平均值代替）

?各态历经过程的自相关函数R X (τ): （时间平均值代替）

?-∞→=2/2

/)(1lim T T i T X dt t X T m ?-∞→+=2/2

/)()(1lim )(T T i i T X dt t X t X T R ττ核心提示：一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳

随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。

4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度

(1)自相关函数的性质-----非常重要，常用于求功率谱密度！

(2)功率频谱密度的性质

?复习：确知信号的功率谱密度：

?类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：

2(0)[()] X

R E X t P ==（归一化平均功率，能量无穷，功率有限）

()() ()R R R τττ=-（为偶函数）

()(0) ()R R R ττ≤（规定了的上限）

2()[()] R E X t ∞=（直流分量的归一化功率）2(0)() X R R σ-∞=（交流分量的归一化功率）

T

f S f P T T 2

)(lim

)(∞

→=T

f S E f P E f P T

T X 2

)

(lim

)]([)(∞

→==索引：P38 式2.6-15

(3)重要结论

a.自相关函数 <====== 功率谱密度 即P X (f )和R (τ )是一对傅里叶变换！！ 也称为维纳-辛钦定理

b.热噪声近似看作白噪声：前提是通信系统的带宽远远小于热噪声带宽(1THz=10^12Hz ，1太赫兹)！

c.白噪声：

●功率谱密度恒定! 类似于白色光的光谱，也是均匀分布的！

●平均功率无穷大！原因是带宽无穷大，和恒定的功率谱密度相乘则也无穷大！

())j X P f R e

d ωτ

ττ

∞

--∞=?()()j X R P f e df

ωττ∞

-∞

=?(

2.7 高斯过程（正态随机过程）

1.Gauss 过程又叫正态过程。 －－热噪声就是典型的高斯白噪声！

2.定义

一维高斯过程的概率密度： 式中，a = E[X (t )] 为均值 σ2 = E[X (t ) - a ]2 为方差 σ 为标准偏差 3.概率密度曲线

(1)在x =a 处有拐点； (2)σ越大，曲线越平坦

4.(1)若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相关； (2)若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者互相独立。 两个重要性质：

(1)互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变()??

????--=2

212exp 21

),(σσπa x t x p X