自主招生试题

1、证明：任意给定一个四面体，则至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。

反证法：

作图任意四面体ABCD，设任意顶点A的三条棱AB,AC,AD不能构成三角形，则AB+AC＜AD,AB-AC＞AD,而在四面体中△ABC是已有的，则AB+AC＞BC，AB-AC＜BC，与前面AB+AC＜AD,AB-AC＞AD综合，得出BC＞AD，同时BC ＜AD,出现矛盾，故至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。

2.证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。

反证法：

假设面积大于4的矩形不覆盖原点外任何格点，则矩形面积范围在（1，1），（1，-1），（-1，-1），（-1，1），（1，0），（0，-1），（-1，0），（0，1）这8个点范围内，不满足面积大于4，如果只是覆盖这其中一点，则与“以原点为对称中心”矛盾，故原命题成立。

3、一圆的内接四边形的边长分别为1，2，3，4，求圆的半径。

四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4

连接AC

余弦定理得:3^2+4^2-24cosADC=1^2+2^2-4cosABC=AC

诱导公式得:cosABC=-cosADC

正弦定理得:2R=AC/sinADC

接下来交给你了

三个方程配合正余弦关系求解即可(连接BD思路相同,自己选运算简单的方法)

设:边长分别为2、3的边的夹角=a 则:边长分别为1、4的边的夹角=180度-a

2^2+3^2-2*2*3*cosa=1^2+4^2-2*4*cos(180度-a) (余弦定理)

cosa=-1/5 sina=(1-(1/5)^2)^(1/2)=(2/5)(根号6)

对角线:(2^2+3^2-2*2*3*cosa)^(1/2)=(77/5)^(1/2) (余弦定理)

外接圆半径R=(77/5)^(1/2)/(2sina)=(5/120)(根号2310) (正弦定理)

4、已知一个六边形AB1CA1BC1，AB1=AC1，CB1=CA1，BA1=BC1，∠A+∠B+∠C=

∠A1+∠B1+∠C1。证明：三角形ABC面积为六边形的一半。

由于六边形内角和为720度，所以∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1=360度，所以一定有点M,使C1M=CA1=CB1,∠AC1M=∠B1,∠BC1M=∠A1.

不难证明：△AC1M≌△AB1C,△BC1M≌△BA1C,

又△ABC≌△ABM.

△ABC面积为六边形的一半。

5、1、数列{a n}，S n＝na＋n（n－1）

（1）求{a n}是等差数列；

（2）求（a n，S n/n）所在直线方程；

2、12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门

（1）求此3名男性被分别分到不同部门的概率；

（2）求此3名男性被分到同一部门的概率；

（3）若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率。

3、一元三次函数三次项数a/3，f’（x）＋9x﹤0解集为（1,2）

（1）求若f’（x）＋7a＝0，求f’（x）解析式；

（2）f（x）在R上单调增，求a的范围。

4、︱PM︳－︳PN∣＝2√2，M（－2，0），N（2，0），求P的轨迹W；直线y＝K（X－2）与W交于A、B，

求S▲OAB（0为原点）

（X1＋X2＋X3＋……＋X n）/n

5、a＝（n∈N）

S n＝（X1－a）（X2－a）＋（X2－a）（X3－a）……＋（X n－a）（X n－1－a）

（1）证S3≤0

（2）求S4最值，此时X1、、X2、X3、X4满足的条件

（3）若S5＜0时X1、、X2、X3、X4、X5不符合时的条件

数学题共5道大题，文科生做前4道，理科生做后4道，每道题25分。涉及解析、几何、数列等，其中有一道题同时考到了数列和三角函数。“考得很‘活’

1.AB为正五边形边上的点，证明：AB最长为（根5+1）/2(25分)

2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。(25分)

3.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0

4.存不存在0

1.f是定义在R上的函数，M=｛x|f（x）=x｝，N=｛x|f（f（x））=x｝.

（1）求证：M属于N

（2）若f在R上单调增加，是否有M=N？并说明理由。这道还好，2用反证

2.已知sin（x+20°）=cos（x+10°）+cos（x-10°），求tanx. 一般般

3.抛物线方程y=sqr(x)，作了n个正三角形，求第n个三角形的边长。

4.甲乙两人抛掷一枚质地均匀的硬币，先抛的正面的获胜。上一场失败的下一场先抛，问：（1）先抛者获胜的概率. 取极限就行了

（2）若第一场甲先抛，则第n场甲胜的概率是多少.

5具体忘了，反正用柯西不等式

6一道带图的题，我不太会……