等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳： 1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；

2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2

)

1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=

②等比数列：1°.定义若数列q a a a n

n n =+1

}{满足

（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1

1k

n k n n q

a q

a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)

1(111≠--=--=q q

q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a

1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：

1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2

b

a A +=

2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：

1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n

n k k

k

k

a

a a 1

2131

2,,则

组成公差为n 2d 的等差数列；

2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n

k n

n k n

n k k

k

k

a

a a 1

21

31

2,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为

偶数时这个结论不成立）

⑤若}{n a 是等比数列，

则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2

n q 的等比数列.

⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,

1°.若n 为奇数，则,,:(2

1+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶

数项的和）；

2°.若n 为偶数，则.2

nd

S S =

-奇偶 （二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或

q

a

，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3

3

3

2

aq aq q a q

a aq aq aq a ±±或

”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：

（Ⅰ）已知

c

b a 1

,1,1成等差数列，求证： （1）c b a b a c a c b +++,

,成等差数列； （2）2

,2,2b

c b b a ---成等比数列.

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

.

2,2,2,

)2(4)(2)2)(2)(2(;

,,.)(2)()(2)()1(),(222112222

22

2成等比数列成等差数列b

c b b a b

b c a b ac b c b a c b a b a c a c b b

c a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=

+++=++++=⇒=+⇒=+

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.

（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数n. ① ②

①

②