直线的一般式方程

直线方程的一般式

前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x 、y 这两个变量，并且x 、y 的次数都是一次的，即它们都是关于x 、y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？

1．直线的一般式方程

(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程__Ax ＋By ＋C ＝0__(其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：

①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C

＝b (y 轴上的截距)；

②当B ＝0，A ≠0时，则－C

＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．

(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．

[归纳总结] AB >0时，k <0，倾斜角α为钝角；AB <0时，k >0，倾斜角α为锐角；A ＝0时，k ＝0，倾斜角α＝0°；B ＝0时，k 不存在，倾斜角α＝90°．

2．直线方程的一般式与其他形式的互化一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；

②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C

B ．

一般式化截距式的步骤：

①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；

②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By

－C ＝1；

③再化为截距式：x －C A ＋y

－C B ＝1．

预习自测

1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( D ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0

D ．A 2＋B 2≠0

[解析] A 、B 不能同时为0，则A 2＋B 2≠0． 2．直线2x ＋y ＋4＝0的斜率k ＝( B ) A ．2 B ．－2 C ．1

D ．－12

[解析] A ＝2，B ＝1，则k ＝－A

＝－2．

3．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线都恒过点( C ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)

D ．(2,1) [解析] 直线方程可化为y －1＝k (x －3) ∴无论k 为何值时，都过定点(3,1)．

4．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0垂直，则a 的值为__－1或0__.

[解析] 由题意，得2a ＋a (a －1)＝0 解得a ＝－1或0．

命题方向1 ?直线的一般式方程

典例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)、B (2，－1)两点； (6)在x 、y 轴上的截距分别是－3，－1．

[思路分析] 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． [解析] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0． (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．

(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)

2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0．

(6)由截距式方程得x －3＋y

－1

＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0. 〔跟踪练习1〕

已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程． [解析] 直线过A (－5,6)、B (－4,8)两点由两点式得y －68－6＝x ＋5

－4＋5

整理得2x －y ＋16＝0

∴2x －y ＝－16，两边同除以－16得，x －8＋y

16＝1．

故所求直线的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y

＝1. 命题方向2 ?直线的一般式方程的应用

典例2 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．

[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等．则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0，∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距相等，∴a －2

a ＋1＝a －2

即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0． ∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0． (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2

∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当????? －(a ＋1)>0a －2≤0或?????

－(a ＋1)＝0a －2≤0

，∴a ≤－1．综上可知a 的取值范围是a ≤－1．

『规律方法』 (1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．

(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．

〔跟踪练习2〕

设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值： (1)直线l 的斜率为－1；

(2)直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0．

[解析] (1)∵直线l 的斜率存在，∴直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2.由题意得－2

k －3

＝－1，解得k ＝5．

(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y

2＝1．

由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1．命题方向3 ?平行与垂直的应用

典例3 求过点A (2,2)且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线l ：3x ＋4y －20＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －20＝0垂直．

[解析] 解法一：已知直线l ：3x ＋4y －20＝0的斜率k ＝－3

4．

(1)过A (2,2)与l 平行的直线方程为 y －2＝－3

4(x －2)．即3x ＋4y －14＝0．

(2)过A 与l 垂直的直线的斜率k 1＝－1k ＝4

方程为y －2＝4

3(x －2)．即4x －3y －2＝0为所求．

解法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c ＝0 ∴c ＝－14.∴所求直线为3x ＋4y －14＝0． (2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x －3y －2＝0．

『规律方法』 1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0．

2．直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0若l 1⊥l 2则：A 1A 2＋B 1B 2＝0；若A 1A 2＋B 1B 2＝0则l 1⊥l 2．

若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝0，反之若A 1B 2－A 2B 1＝0，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：

(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；

(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1

＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2．

〔跟踪练习3〕

(1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A )

A ．x －2y －1＝0

B ．x －2y ＋1＝0

C ．2x ＋y －2＝0

D ．x ＋2y －1＝0

(2)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( A ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0

D ．2x －3y ＋8＝0

[解析] (1)所求直线与直线x －2y －2＝0平行，故所求直线的斜率k ＝1

2，又直线过点

(1,0)，利用点斜式得所求直线方程y －0＝1

(x －1)，即x －2y －1＝0．

(2)由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－3

2，由点斜式可得直线l

的

典例4 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值.

[错解] 由1×3－m (m －2)＝0，得m ＝－1或3．

[错因分析] 因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等，所以上述解法忽略检验截距是否相等．

[正解] 由1×3－m (m －2)＝0得，m ＝－1或m ＝3．当m ＝－1时，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0．两直线显然不重合，即l 1∥l 2．

当m ＝3时，l 1：x ＋3y ＋6＝0，l 2：x ＋3y ＋6＝0．两直线重合．故m 的值为－1．

[警示] (1)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则A 1B 2－A 2B 1

＝0?l 1∥l 2或l 1与l 2重合．

所以，由A 1B 2－A 2B ＝0求出参数值后，需检验两直线是否重合． (2)在直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 2＋B 2≠0； (3)直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，斜率为k ＝－A

B .

〔跟踪练习4〕

直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于( C )

A ．2或3

B ．2

C ．3

D ．－3

[错解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2

m 2

－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.故选A ．

[错因分析] 错解忽视了当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0且－(m 2－4)＝0．

[思路分析] 直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 与B 满足的条件是A 与B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.当A ＝B ＝0时，方程变为C ＝0，不表示任何图形．

[正解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2

m 2－4＝1，即2m 2

－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3，当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，则m ＝2不合题意，仅有m ＝3，故选C ．

1．点线接合关系

若点P 在曲线(直线)C 上，则点P 的坐标满足曲线(直线)C 的方程，反之也成立．典例5 已知直线ax ＋3y ＋2a －1＝0过点(－1,1)，则a ＝__－2__. [解析] 由条件得，－a ＋3＋2a －1＝0 ∴a ＝－2．〔跟踪练习5〕

已知2a 1＋3b 1＝1,2a 2＋3b 2＝1，则过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为__2x ＋3y ＝1__． [解析] 由条件知，点A ，B 的坐标满足方程2x ＋3y ＝1，又经过A ，B 两点有且仅有一条直线，∴过A ，B 的直线方程为2x ＋3y ＝1．

2．过直线定点

典例6 直线(2λ＋1)x ＋(1－λ)y ＋λ－4＝0恒过定点__(1,3)__.

[解析] 分离参数得λ(2x －y ＋1)＋(x ＋y －4)＝0

由????? 2x －y ＋1＝0x ＋y －4＝0得?????

x ＝1

y ＝3

所以无论λ取何值，直线都过定点(1,3)．〔跟踪练习6〕

直线(t ＋2)x ＋(1－t )y ＋3－t ＝0过定点__????－23，－5

3__． [解析] 分离参数得：(x －y －1)t ＋2x ＋y ＋3＝0

由?

????

2x ＋y ＋3＝0

x －y －1＝0得???

x ＝－

y ＝－53.

∴直线过定点????－23

，－53． 1．直线3x －2y －4＝0的截距式方程为( D ) A ．4x 3－y

＝1

B ．x 13－y 12

＝1

C ．3x 4－y

－2

＝1

D ．y 43

＋y

－2＝1

[解析] 由3x －2y －4＝0，得3x －2y ＝4，即x 43＋y

－2＝1，故选D ．

2．已知点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，则a 等于( A ) A ．1 B ．－1 C ．2

D ．－2

[解析] ∵点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，∴2×3＋a －7＝0，∴a ＝1．

3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a 、b 、c 应满足( B ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0

[解析] 如图

由图可知，直线的斜率k ＝－a b <0，∴ab >0，又直线在y 轴上的截距为－c

b >0，∴b

c <0，

故选B ．

4．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝__2__；若l 1∥l 2，则b ＝__－9

__.

[解析] 由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2，则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b

2＝－1，

解得b ＝2，当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34，解得b ＝－2k 1·k 2＝－9

．

A 级基础巩固

一、选择题

1．(2016·南安一中高一检测)直线x －y ＋2＝0的倾斜角是( B ) A ．30° B ．45° C ．60°

D ．90

[解析] 由x －y ＋2＝0，得y ＝x ＋2．其斜率为1，倾斜角为45°．

2．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( D ) A ．－2

B ．－3

C ．－2或－3

D ．2或3

[解析] ∵两直线平行，∴2×3＝m (m ＋1)，∴m 2＋m －6＝0 解得m ＝2或m ＝－3，经检验满足题意．

3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是( D ) A ．34，－12

B ．13，12

C ．3

，－2

D ．4

，－2

[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y

－2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分

别是4

，－2．

4．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值为( D ) A ．1 B ．－13

C ．－23

D ．－2

[解析] 由题意，得(－a

)×(－1)＝－1，a ＝－2．

5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0

D ．x ＋y ＋2＝0

[解析] 解法一：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0．

解法二：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．

6．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点( B ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1，－1)

D ．(1,1)

[解析] 由(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，得k (x －y －2)＋x ＋y ＝0

由????? x －y －2＝0x ＋y ＝0，得?

????

x ＝1y ＝－1． ∴直线l 过定点(1，－1)．二、填空题

7．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为__2或

－3__.

[解析] 若m ＝－1，则l 1的斜率不存在，l 2的斜率为1

3，此时l 1与l 2不平行；若m ≠－1，

则l 1的斜率为k 1＝－2m ＋1，l 2的斜率为k 2＝－m 3.因为l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m

3，

解得m ＝2或－3.经检验均符合题意．

8．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围是__????3

2，＋∞__. [解析] 直线方程可化为y ＝(3－2t )x －6 ∴3－2t ≤0，∴t ≥3

2．

三、解答题

9．求与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 的方程. [解析] 解法一：由题意知：可设l 的方程为3x －4y ＋m ＝0 则l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－m 3，m

4．

由－m 3＋m

4＝1知，m ＝－12．

∴直线l 的方程为：3x －4y －12＝0．解法二：设直线方程为x a ＋y

＝1

由题意得?????

a ＋

b ＝1，－b a ＝34

. 解得?????

a ＝4

b ＝－3．

∴直线l 的方程为：x 4＋y

－3＝1．

即3x －4y －12＝0．

10．(2018·武威一中高一期末)当0

＋4和两坐标轴围成一个四边形，问a 取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值.

[解析] 如图，由已知l 1：a (x －2)－2(y －2)＝0，l 2：2(x －2)＋a 2(y －2)＝0． ∴l 1、l 2都过定点(2,2)，且l 1在y 轴上的截距为2－a ，l 2在x 轴上的截距为a 2＋2． ∴四边形面积：S ＝12×2×(2－a )＋1

x ＋4与直线l 垂直，则l 的倾斜角为( B ) A ．30° B ．60° C ．120°

D ．150°

[解析] ∵直线l 与y ＝－

x ＋4垂直，∴k l ＝3．直线倾斜角θ的正切值tan θ＝3，故θ＝60°．

2．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( D ) A ．12ab

[解析] ∵ab ≠0，∴令y ＝0，得x ＝1

令x ＝0，得y ＝1

∴三角形的面积S ＝12·1|a |·1|b |＝1

2|ab |．

3．方程y ＝k (x ＋4)表示( C ) A ．过点(－4,0)的一切直线 B ．过点(4,0)的一切直线

C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线

D ．过点(－4,0)且不平行于x 轴的一切直线

[解析] 方程y ＝k (x ＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C ． 4．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( D ) A ．m ＝1

D ．????? m ＝1，n ≠－1，或?????

m ＝－1，

n ≠1

[解析] 根据两直线平行可得m 1＝1

m ，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，

n ≠－1；m ＝－1时，n ≠1．

二、填空题

5．(2016～2017·合肥高一检测)已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为__3x ＋4y ±24＝0__.

[解析] 设直线l 方程为3x ＋4y ＋b ＝0 令x ＝0得y ＝－b 4；

6．若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，则实数m 的值__3__. [解析] 直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1

由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得1m －2＝1

∴m ＝3．

C 级能力拔高

1．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.

(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．

[解析] (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a ????x －15，所以l 的斜率为a ，且过定点A ????15，35，而点A ????

15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．

(2)将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －3

.要使l 经过第一、三、四象限，则?????

(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍； (2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12． [解析] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋1

所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－3

则所求直线的斜率k ＝2×(－38)＝－3

因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12 解得a ＝±3

所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y 4＝1

即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0．

(完整版)直线的一般式方程(附答案)

直线的一般式方程 [学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化. 知识点直线的一般式方程 1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式. 2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B . 3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程. (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数. (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面；当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象. 故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线. (2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式. 题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－4 3，且不经过第一象限的是( ) A.3x ＋4y ＋7＝0 B.4x ＋3y ＋7＝0

高中数学必修2示范教案(3.2.3 直线的一般式方程)

3.2.3 直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想. 三维目标 1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培

养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想. 3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形. (1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.

直线方程的一般形式

直线方程的一般形式教师：前边，我们研究了直线方程的两点式、斜截式、点斜式和截距式，现在请同学们思考这样一个问题：［投影显示问题1］问题1 已知点P 的坐标为（2，m ），点Q 的坐标为（n ，3）。试求直线PQ 的方程。学生1：此题有误，因为当m ＝3，且n ＝2时，点P 和点Q 重合，所求的直线不确定。教师：很好，那么我们考虑点P 和点Q 不重合时直线AB 的方程。学生2：应用直线方程的两点式可知直线PQ 的方程为 2 23--=--n x m m y 。学生3：（1）当m ≠3时，且n ≠2时，方程才是223--=--n x m m y ； ① （2）当m ＝3时，且n ≠2时，方程是y ＝3； ② （3）当n ＝2时，且m ≠3时，方程是x ＝2。 ③ 学生4：运用方程的两点式可知当n ≠2时，直线PQ 的方程为 )2(2 3---=-x n m m y ④ 教师：很好，我们将方程①和方程④作一比较，你会有何发现？学生5：方程④优于方程①，因为④比①的作用范围广；方程④实际上包括了方程①和方程②。教师：从考虑①和④的联系与区别出发，你有何想法？（留给学生少许思考时间后，个别学生已经有了想法，举手要求发言）教师：我们能否将①、②、③予以综合，给出一个在点P 和点Q 不重合的条件下都成立的方程呢？（此时，举手的学生更多了。）学生6：可以，将方程①变为下列方程即可（n －2）（y －m ）＝（3－m ）（x －2） ⑤ 教师：很好，在m ＝3和n ＝2不同时成立的条件下，表示直线的方程⑤属于哪种类型的方程呢？

（对于此问题学生有点茫然，不知从哪个角度给出方程的归属）教师：大家可以从方程两边的代数式类型的角度出发。学生7：是整式方程。教师：几元几次？学生7：二元一次或一元一次方程。教师：为什么？学生7：因为⑤等价于（m－3）x＋（n－2）y－mn＝0⑥ 而其中m、n为常数，当x－3、n－2都不为0时，⑥显然是关于x和y的二元一次方程；当x－3、n－2中仅有一个为0时，则⑥为关于x或y的一元一次方程。教师：很好，为了统一起见，当m－3、n－2中仅有一个为0时，我们将⑥也可以看作关于x和y的二元一次方程，这就表明，直线PQ的方程是关于x、y 的二元一次方程。那么，是否任意一条直线L的方程都是二元一次方程呢？学生众：应该是的。教师：为什么呢？……对于直线L我们如何确定它的方程呢？学生8：我们可在L的边上找出两个不同的点A和B。然后借助于A、B的坐标确定出该直线的方程，然后，考察这个方程是否为二元一次方程。教师：哪位同学能将学生8的想法落到实处？学生9：若A、B两点的横坐标相同，高为a，则L的方程为x＝a，显然可以看作二元一次方程；当A、B的纵坐标相同时，设为b，则AB的方程为y＝b，这也可以看作二元一次方程；当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，设A、B 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则…… 教师：能否将A、B的坐标简化一下呢？（等学生沉默片刻后，教师将手指向投影中的问题1）学生10：当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，必可在直线L上取点P（2，m），Q（n，3），则L的方程为⑥，显然是二元一次方程。教师：还有没有其他的想法？学生11：可以从点斜式去考虑，由于直线L一定存在斜率…… 学生齐喊：不一定！

直线方程的两点式和一般式

编写人：王红卫祖豆蔻审核人：郑战彪班级：17级班学习目标： 1、掌握直线方程的两点式、截距式、一般式以及他们之间的联系和转化； 2、根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程； 3、培养学生分析、比较、概括、化归的数学能力；重点与难点： 1、直线方程的两点式、一般式； 2、对于一元二次方程表示直线方程的理解；一、课前准备 1、一般地，如果直线l 上，且，我们就把这样的方程称为直线l 的方程。 2、如果直线l 经过000(,)p x y ，且斜率为k ，设点(,)P x y 是直线l 上任意一点，可以得到，当0x x ≠时，0 y y k x x -= -，即（1），我们称（1）式的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。【创设情景】探究一平面内，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线l 经过两点11122,2(,),()P x y P x y （其中0x x ≠），则直线l 的方程式什么？归纳总结：直线方程的两点式为第19期

例1 探究二在坐标平面内，画直线时常选取坐标轴上的两点比较简便。在直线方程的两点式中，若12,P P 两点为坐标轴上的两点，即1P 的坐标为(),0a ,2P 的坐标为(0,b)时，直线12PP 的方程形式如何？其方程只能适用于坐标平面内怎样的直线？归纳总结：直线的截距式方程例2：直线l 过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程

探究三直线方程的四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）具备怎样的特点？能否统一成一种形式？是怎样的方程？归纳总结：直线方程的一般式 2、直线方程各种形式中，其参数的几何意义是什么？ 3、各自的使用范围如何？例3 已知三角形三个顶点分别是A （-3.，0），B （2，-2），C （0,1），求这个三角形三边各自所在

直线方程的一般式及应用

§1.2.2直线方程的一般式及应用班级姓名组号分值学法指导： 1、利用10分钟阅读教材65~67页，并完成本节导学案的预习案， 2、认真限时完成，规范书写，课上小组合作探究，答疑解惑。学习目标： 1、知识与技能（1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线．（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化． 2、过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题。体会坐标法的数形结合思想。 3、情态态度与价值观认识事物之间普遍联系与相互转化,用联系的观点看问题,感受数学文化的价值和底蕴。学习重、难点： 1、重点：直线方程的一般式及各种形式之间的互相转化和数形结合思想的应用。 2、难点：对直线方程一般式的理解与应用，灵活应用直线的各种形式方程。【预习案】（一）直线方程的一般式：在平面直角坐标系中，直线可分为两类：一类是与轴不垂直的；另一类是与轴垂直的，它们的方程可以分别写为直线y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的形式，我们把形如关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）称为直线方程的一般形式。（二）直线和二元一次方程的对应关系：在平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程来表示，反过来，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示直线。

事实上，对于任意一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）：当0B ≠时，可变为A C y x B B =- -，它表示一条与轴不垂直的直线，其中A B -为直线的斜率；当0B =时，则0A ≠，所以可变为C x A =-，它表示一条与轴垂直的直线。【结论】 1.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用关于,x y 的二元一次方程 0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）来表示。 2.直线和二元一次方程是一一对应关系； 3.一般情况下，如果题中不作特别说明，所求直线方程都要化成一般形式。（三）写出下列直线的方程： 1.经过点(4,0),(0,3)A B -； 2.斜率为 2 ，在轴上的截距为； 3.经过点(1,2),(3,1)M N - 【我的疑问】【探案究】