直线方程的两点式和一般式 ppt课件
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直线的一般式方程--ppt课件精选全文完整版
x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同pp时t课件为0.
2
ppt课件
3
Ax By C 0
问:所有的直线都可以用二元一次方程表示？
①当B≠0时 方程可化为 y A x C
BB
这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
A1 B1 C1 A2 B2 C2
(B1 0, B2 0, )
l1与l2重合
A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
l1与l2平行 l1与l2相交
(2)当l1 l2时，上述方程系数有何联系？
2
.l1
l ppt课件 2
A1A2
B1B2
014
练习1:已知直线l1：x+(a+1)y-2+a=0和 l2：2ax+4y+16=0，若l1//l2，求a的值.
o
x
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7
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响: 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
y
l
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
o
x
ppt课件
8
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
a=1
练习2:已知直线l1：x-ay-1=0和 l2：a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
a=1或a=0
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15
教学课件第2课时直线方程的两点式和一般式
适用范围
不垂直坐标轴 不垂直坐标轴且不经 过原点
A,B不同时为0
不相信自己的意志，永远干不成大事.
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0( A,B 不同时为 0)的形式．
直线方程的一般式
关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0( A,B 不同时为 0)
表示的是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.
在无特殊说明的 条件下，直线方 程写成一般式.
思考1： “A,B不同时为零”指的是什么？ 提示：“A,B不同时为零”指的是A,B中至少有一 个不为零，它包括三种情况：①A≠0且B≠0， ②A≠0且B=0，③A=0且B≠0.
(3)错误.求直线的一般式方程，表面上需求A，
B，C三个系数，由于A，B不同时为零，若A≠0，
则方程化为 x B y 只C 需 0确，定 的值B，；C 若B≠0，则方程A化为AA x y C只需0，确A定A
B
B
A，的C 值.因此，只要给出两个条件，就可以求出
BB
直线方程.
例 3.已知三角形三个顶点分别是 A(3,0）,B(2,2),C(0,1) ,
答案：(1)× (2)√ (3)×
提示：(1)错误. (2)正确.因为在平面直角坐标系中，每一条直线 都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率存在， 其方程可写成y=kx+b，它可变形为kx-y+b=0， 与Ax+By+C=0比较，A=k,B=-1,C=b；当 α=90°时，直线斜率不存在，其方程可写成x=x1， 与Ax+By+C=0比较，A=1,B=0,C=-x1，显然A， B不同时为0，所以此说法是正确的.
求这个三角形三边各自所在直线的方程. 解:因为直线 AB 过 A(3,0）,B(2,2) 两点，
直线的两点式方程、直线的一般式方程课件
___ax_＋__by_＝__1__ 不表示__垂__直__于____坐标轴的直 线及过___原__点_____的直线
[化解疑难]
1．要注意方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－ x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程， 形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式 方程，适用于过任何两点的直线方程．
②当 m≠0 时，l1∥l2，需m2 ＝m＋3 1≠－42. 解得 m＝2 或 m＝－3.∴m 的值为 2 或－3. 法二：令 2×3＝m(m＋1)，解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1 与 l2 不重合，l1∥l2， ∴m 的值为 2 或－3.
解得ab11＝＝43， 或ab22＝＝19252，， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0.
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，ab＝12，34a＋2b＝1， 消去 b，得 a2－6a＋8＝0， 解得ab11＝＝43， 或ab22＝ ＝26， ， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
0.
[活学活用] (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程； (2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线 l 的斜率为 k， ∵l 与直线 3x＋4y＋1＝0 平行，∴k＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 y－2＝－34(x－1)， 即 3x＋4y－11＝0.
直线的两点式、一般式方程 课件
[例3] 已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线 的一般式方程和截距式方程，并画图．
[解析] 直线过A(－5,6)、B(－4,8)两点， 由两点式得，8y－－66＝－x＋4＋55， 整理得2x－y＋16＝0， ∴2x－y＝－16，两边同除以－16得，－x8＋1y6＝1. 故所求直线的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式 方程为－x8＋1y6＝1.图形略．
[解析] ∵点P在l上射影为Q， ∴PQ⊥l，且Q在l上， ∵kPQ＝3－－1(－ －11)＝－2，∴kl＝12， ∴直线l方程为y－(－1)＝12(x－1)， 即x－2y－3＝0.
三、解答题 7．求过点P(－3,4)且在两坐标轴上的截距之和为12的 直线的方程．
[解析] 设直线方程为ax＋by＝1，则
[例7] 求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形周长为 12的直线方程．
[分析] 已知直线斜率，可选用直线的斜截式方程， 然后根椐题目条件确定b的值．
[解析] 设直线方程为y＝34x＋b， 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－43b. ∴|b|＋|－43b|＋ b2＋(－43b)2＝12. ∴|b|＋43|b|＋53|b|＝12，∴b＝±3. ∴所求直线方程为y＝34x±3.
8．在求直线方程时，点斜式、斜截式、两点式、截距 式各有怎样的局限性？
[答案] 点斜式和斜截式都是适用于直线的斜率存在 即直线不与x轴垂直的情况；两点式和截距式都适用于直线 不与坐标轴垂直且截距式还要求直线不过原点．
9．已知直线Ax＋By＋C＝0.
(1)若直线过原点，则系数A、B、C满足
C＝0，A2＋B2≠0 .
[答案] B
B.2x＋3y＝1 D.2x－3y＝1
()
2．过点(－3,2)，(9,2)的直线方程是
高中数学同步教学课件 直线方程的两点式~ 直线方程的一般式
通性通法
直线方程的一般式的求解策略 (1)当 A≠0 时，方程可化为 x＋BA y＋CA ＝0，只需求BA ，CA 的值； 当 B≠0，方程可化为AB x＋y＋CB ＝0，只需求AB ，CB 的值．因此， 只要给出两个条件，就可以求出直线方程； (2)在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定 条件选用五种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
2．直线方程的截距式在结构上的特点 (1)直线方程的截距式为ax ＋by ＝1，其中 x 项对应的分母是直线 在 x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在 y 轴上的截距，中间 以“＋”相连，等式的另一端是 1，如2x －3y ＝1 不是直线方程的 截距式；
(2)注意：当直线的斜率不存在或为 0 或直线经过原点时，直线 方程不能用截距式来表示．
跟踪训练
1．已知直线 l 的倾斜角为 60°，在 y 轴上的截距为－4，
则直线 l 方程的点斜式为
；
截距式为
；
斜截式为
；
一般式为
．
跟踪训练
解析：点斜式方程： y＋4＝ 3 (x－0)，
截距式方程： x 43
＋－y4
＝1，
3
斜截式方程： y＝ 3 x－4，一般式方程： 3 x－y－4＝0.
答案：y＋4＝ 3 (x－0) 3 x－y－4＝0
2．*直线方程的点法式 (1)直线的法向量：与直线的方向向量 垂直 的向量称为直线的 法向量； (2)设直线 l 经过点 P(x0，y0)，且它的一个法向量为 n＝(A，B)， 则直线 l 方程的点法式为 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0 ．
想一想
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用直线方程的点法式 表示吗？ 提示：都可以．
直线方程的两点式和一般式 课件
(2)直线方程任一形式都可化为一般式，而直线方程的一般式 在一定条件下才能化为点斜式、斜截式、两点式或截距式．
直线方程的应用
直线 l 的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线 l 必过定点；
(2)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：直线方程可变为 a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0 的
＝－2(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．②9 分 3
∴当 x＝15，y＝60－2×15＝50 时， 3
Smax＝54 150 m2.11 分
因此点 P 距直线 AE 15 m，距直线 BC 50 m 时所开发的面积 最大，最大面积为 54 150 m2.③12 分 [规范与警示] (1)解答本题的 3 个关键步骤如下： 一是根据条件建立适当的坐标系是将几何问题转化成代数问 题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定 x 和 y 的关系后，在②处要根据实际情 况确定出 x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错 误解答．
三 是在解 答的③ 处的 结论一 定不能 漏掉， 否则解 题步骤 不完 整，造成没必要的 失分． (2)解决 该类问题应注意以下两点： 一是利用坐标法解 决生活问题时，首先要建立适当的坐 标系， 再借助已知条件寻求 x 和 y 的关系．要求一定准确、恰当，否 则给后面的运算化 简带来麻烦．
(3)分类讨论思想的运用 对于特殊情况的处理，考虑问题要全面，这对于完整的解题 是必需的，如本例中的截距互为相反数这一条件的处理，就 必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论，使问题的解 决做到不重不漏．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；
直线方程的应用
直线 l 的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线 l 必过定点；
(2)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：直线方程可变为 a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0 的
＝－2(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．②9 分 3
∴当 x＝15，y＝60－2×15＝50 时， 3
Smax＝54 150 m2.11 分
因此点 P 距直线 AE 15 m，距直线 BC 50 m 时所开发的面积 最大，最大面积为 54 150 m2.③12 分 [规范与警示] (1)解答本题的 3 个关键步骤如下： 一是根据条件建立适当的坐标系是将几何问题转化成代数问 题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定 x 和 y 的关系后，在②处要根据实际情 况确定出 x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错 误解答．
三 是在解 答的③ 处的 结论一 定不能 漏掉， 否则解 题步骤 不完 整，造成没必要的 失分． (2)解决 该类问题应注意以下两点： 一是利用坐标法解 决生活问题时，首先要建立适当的坐 标系， 再借助已知条件寻求 x 和 y 的关系．要求一定准确、恰当，否 则给后面的运算化 简带来麻烦．
(3)分类讨论思想的运用 对于特殊情况的处理，考虑问题要全面，这对于完整的解题 是必需的，如本例中的截距互为相反数这一条件的处理，就 必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论，使问题的解 决做到不重不漏．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；
直线的方程(第2课时直线方程的两点式与一般式)课件-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修一
5(x+1)+2(y-3)=0,即5x+2y-1=0.
答案:5x+2y-1=0
.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)直线方程的一般式可表示任意一条直线.( √ )
(2)直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线.( × )
(3)直线方程的两点式适用于求不过原点,且与两坐标轴不垂直的直线的方
(3)若已知直线在坐标轴上的截距是否可以确定直线方程?
提示:可以.
2.(1)直线方程的两点式:过点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程
-1
-1
的两点式为 - = - ,与 坐标轴 垂直的直线没有两点式方程.
2 1
2 1
(2)直线方程的截距式:经过两点P(a,0),Q(0,b)(其中ab≠0)的直线l方程的截
D.5
+ 3 =0
).
二、直线方程的一般式
【问题思考】
1.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0表示怎样的直线?B=0(A≠0)呢?
提示:当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
y=- x- ,所以该方程表示斜率为- ,在
上截距为- 的直线;
当 B=0,A≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
图1-1-4
(1)在上述问题中,解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点
A,B能否确定?
提示:能确定.
(2)根据图1-1-4,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面
【精品课件】高中数学必修2 直线的方程(两点式、一般式)
x C A
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同 时为零)都表示一条直线.
问题探究
结论一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其 中A,B不同时为0)表示.
结论二： 任意一个关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)都表示一条直 线.
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零不 容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
⑤过原点
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
小结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二元一次方程与直线的一一对应关系； ②直线的一般式方程的概念； ③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义； ④直线方程的各种特殊形式和一般式之间在一定条件下可以互 相转化。
直线的方程 ①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程：
x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程：
y= y1 ③x轴： y= 0
④y轴： x= 0
问题探究
问题一： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
教学课件：第2课时-直线方程的两点式和一般式
直线方程的应用
通过直线方程，可以解决 与直线相关的实际问题， 如求直线上的点、判断两 直线是否平行等。
下节课预告
直线的倾斜角和斜率
直线方程的应用
介绍直线的倾斜角和斜率的概念，以 及它们之间的关系。
通过直线的倾斜角和斜率，可以解决 与直线相关的实际问题，如求直线的 长度、判断两直线是否垂直等。
直线的点斜式和截距式
两点式直线方程的应用
确定直线的斜率和截距
通过给定的两点，可以确定直线的斜 率和截距，进而确定直线的方程。
解决与直线相关的问题
利用两点式直线方程，可以解决与直 线相关的问题，如求直线上某一点的 坐标、判断三点共线等。
03 直线方程的一般式
一般式直线方程的定义
总结词
一般式直线方程是数学中描述直线的一种方式，它包含了直线的斜率和截距信息。
要点二
基础练习题2
已知直线经过点$(2,3)$和斜率为$2$，求直线的两点式方程。
进阶练习题
进阶练习题1
已知直线的一般式方程为$3x + 4y - 12 = 0$，求该直线的斜率。
VS
进阶练习题2
已知直线的一般式方程为$2x - y + 5 = 0$， 求该直线经过的点。
综合练习题
综合练习题1
已知直线经过点$(2,3)$，斜率为$2$，且与 $x$轴交于点$(4,0)$，求该直线的方程。
04 两点式与一般式的比较
形式上的比较
两点式方程
(y - y_1 = m (x - x_1))
一般式方程
(ax + by + c = 0)
使用场景的比较
01
两点式方程适用于已知两点坐标 的情况，可以快速求出直线方程 。
高一数学人必修二课件第三章直线的两点式方程直线的一般式方程
03
直线上任意两点的中点坐标满
足该直线的方程。
04
两条平行直线的斜率相等，即
$k_1 = k_2$。
05
两条垂直直线的斜率互为相反
数的倒数，即 $k_1 cdot k_2
= -1$。
06
02
两点式方程
两点式方程推导
通过已知两点坐标 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，推导直 线方程。
一般式方程与截距关系
截距定义
直线与坐标轴的交点到原点的距离称为该直线的截距。
一般式方程与截距的关系
直线的一般式方程可以直接反映出该直线在坐标轴上的截距。通过一般式方程 可以求出直线在x轴和y轴上的截距。
04
直线方程求解方法
代入法求解直线方程
已知直线上一点$P(x_0, y_0)$和斜率$k$，则直线方程可表示为$y - y_0 = k(x x_0)$。
直线在坐标轴上的截距可以通 过直线方程求出。
一般式方程形式
综合斜率和截距公式，可以得 到直线的一般式方程。
一般式方程应用
求解直线交点
求解点到直线的距离
两条直线的交点坐标可以通过联立两 条直线的一般式方程求解。
利用点到直线距离公式和直线的一般 式方程，可以求出点到直线的距离。
判断点与直线的位置关系
通过代入点的坐标到直线的一般式方 程中，可以判断点是否在直线上或者 直线的哪一侧。
两点式
已知直线上两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则直 线可表示 $frac{y y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 x_1}$。
截距式
$frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$，其 中 $a$ 是直线在 $x$ 轴上的截距， $b$ 是直线在 $y$ 轴上的截距。
直线的方程- 直线的两点式方程 课件(共48张PPT)(2024)人教A版高中数学选择性必修一
=
−0
，即
3−0
2
3
= .
课中探究
［素养小结］
（1）由两点式求直线方程的步骤：
①设出直线所经过的两点的坐标;
②根据题中的条件，列出相关方程，解出点的坐标;
③由直线的两点式写出直线方程.
（2）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式
方程的适用条件（两点的连线不平行于坐标轴），若满足，则考虑用两点式求
（1）已知直线过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 ，则直线一定存在两点式方程.( × )
[解析]
−1
直线的两点式方程是
2 −1
=
−1
，只有当1
2 −1
≠ 2 且1 ≠ 2 时，才存在
两点式方程.
（2）经过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 1 ≠ 2 , 1 ≠ 2 的直线方程可以是
探究点一 利用两点式求直线方程
例1
在△ 中，已知 −3,2 ， 5, −4 ， 0, −2 .
（1）求边所在直线的方程；
解：因为边所在的直线过两点 5, −4 ， 0, −2 ，所以边所在直线的方
− −4
程为
−2− −4
=
−5
，即2
0−5
+ 5 + 10 = 0.
+ =1
−0
−
点 , 0 , 0, 的坐标代入两点式，得
=
,即__________.此方程由直线
−0
0−
在两条坐标轴上的截距与确定，我们把此方程叫作直线的截距式方程，简称
截距式.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
直线方程的两点式和一般式PPT课件
奠定基础。
学习目标
掌握直线方程的两点 式和一般式的推导过 程。
能够运用直线方程的 两点式和一般式解决 实际问题。
理解直线方程的两点 式和一般式的几何意 义。
02 两点式直线方程
定义
总结词
两点式直线方程是描述直线方程的一种方式，基于直线上两点的坐标来定义。
详细描述
两点式直线方程，也称为两点式或线式方程，是基于直线上两个已知点的坐标来定 义的。假设两点为$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则两点式直线方程可以表示 为：$frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
解决实际问题
在实际问题中，已知直线上两点 的坐标，可以通过两点式方程求 出直线的斜率和截距，再通过转 换得到一般式方程，从而解决实
际问题。
数学建模
在数学建模中，通过将实际问题 转化为数学模型，利用两点式与 一般式的转换关系，可以方便地
求解直线方程。
科学实验
在科学实验中，有时需要利用已 知的两点坐标来计算直线的斜率 和截距，进而通过转换得到一般 式方程，用于描述实验数据的变
应用场景
总结词
一般式直线方程在几何、代数、解析几何等领域都有广 泛的应用。
详细描述
在几何中，一般式直线方程可以用来描述平面上的任意 一条直线，并且可以用来计算直线的斜率和截距。在代 数中，一般式直线方程可以用来解决线性方程组的问题 ，通过代入法或者消元法可以得到解。在解析几何中， 一般式直线方程可以用来研究直线的性质和特点，例如 直线的平行、垂直、相交等关系。
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$ 不同时为零。
学习目标
掌握直线方程的两点 式和一般式的推导过 程。
能够运用直线方程的 两点式和一般式解决 实际问题。
理解直线方程的两点 式和一般式的几何意 义。
02 两点式直线方程
定义
总结词
两点式直线方程是描述直线方程的一种方式，基于直线上两点的坐标来定义。
详细描述
两点式直线方程，也称为两点式或线式方程，是基于直线上两个已知点的坐标来定 义的。假设两点为$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则两点式直线方程可以表示 为：$frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
解决实际问题
在实际问题中，已知直线上两点 的坐标，可以通过两点式方程求 出直线的斜率和截距，再通过转 换得到一般式方程，从而解决实
际问题。
数学建模
在数学建模中，通过将实际问题 转化为数学模型，利用两点式与 一般式的转换关系，可以方便地
求解直线方程。
科学实验
在科学实验中，有时需要利用已 知的两点坐标来计算直线的斜率 和截距，进而通过转换得到一般 式方程，用于描述实验数据的变
应用场景
总结词
一般式直线方程在几何、代数、解析几何等领域都有广 泛的应用。
详细描述
在几何中，一般式直线方程可以用来描述平面上的任意 一条直线，并且可以用来计算直线的斜率和截距。在代 数中，一般式直线方程可以用来解决线性方程组的问题 ，通过代入法或者消元法可以得到解。在解析几何中， 一般式直线方程可以用来研究直线的性质和特点，例如 直线的平行、垂直、相交等关系。
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$ 不同时为零。
直线的两点式方程 、直线的一般式方程 课件
法二 由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设其斜 率为 k，则可得直线的方程为 y＋2＝k(x－3)．
令 x＝0，得 y＝－2－3k. 令 y＝0，得 x＝2k＋3. 由题意－2－3k＝2k＋3，解得 k＝－1 或 k＝－23. 所以直线 l 的方程为 y＋2＝－(x－3)或 y＋2＝－23(x－3)， 即 x＋y－1＝0 或 2x＋3y＝0.
直线的两点式方程 三角形的三个顶点是 A(－1,0)，B(3，－1)，
C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程． 【思路探究】 由两点式直接求出三角形三边所在的直
线的方程．
【自主解答】 由两点式，直线 AB 所在直线方程为： y0－－－－11＝－x－1－33，即 x＋4y＋1＝0. 同理，直线 BC 所在直线方程为： －y－1－33＝3x－－11，即 2x＋y－5＝0. 直线 AC 所在直线方程为： 0y－－33＝－x－1－11，即 3x－2y＋3＝0.
2．关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同 时为 0)一定表示直线吗？
【提示】 一定．
直线的一般式方程 (1)定义：关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (其 中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)斜率：直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)，当 B≠0 时，其斜率是－AB ，在 y 轴上的截距是－CB .当 B＝0 时，这 条直线垂直于 x 轴，不存在斜率.
直线的两点式方程 直线的一般式方程
直线方程的两点式和截距式 【问题导思】
1．利用点斜式解答如下问题： (1)已知直线 l 经过两点 P1(1,2)，P2(3,5)，求直线 l 的方程； (2)已知两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中 x1≠x2，y1≠y2， 求通过这两点的直线方程． 【提示】 (1)y－2＝32(x－1)． (2)y－y1＝yx22－ －yx11(x－x1)． 2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用3x＋6y＝1 表示吗？ 【提示】 能．
《直线的两点式方程》课件
= (y2 - y1) / (x2 - x1)。
3
利用斜率和点的坐标得出方程
将斜率m和点A的坐标代入点斜式方 程y - y1 = m(x - x1)。
通过两点求直线方程的示例
示例一
已知点A(2, 3)和点B(4, -1)，求 通过这两点的直线方程。
示例二
已知点A(-1, 5)和点B(3, -7)， 求通过这两点的直线方程。
《直线的两点式方程》 PPT课件
直线的两点式方程是描述直线的一种常用方程形式，通过给定直线上的两个 点来确定直线的方程。
直线的两点式方程的定义
什么是两点式方程？
直线的两点式方程是通过给定直线上的两个 点，来表示直线的方程。
两点式方程的一般形式
直线的两点式方程一般形式为：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)
示例三
已知点A(0, 2)和点B(5, 2)，求 通过这两点的直线方程。
直线的两点式方程的应用
几何分析
两点式方程可以用来计算 直线的斜率、判断直线是 否垂直或平行于坐标轴。
图形绘制
通过两点式方程，可以在 坐标系上画出直线的图像。
实际应用
两点式方程可以应用于设 计和建筑、工程测量以及 计算机图形学等领域。
两点式方程与斜率的关系
斜率 正斜率 负斜率 零斜率 无穷大斜率
直线的特性 直线向上倾斜 直线向下倾斜 水平直线 垂直直线
总结和要点
1 两点式方程
2 推导过程
通过给定直线上的两个点来确定直线的方 程。
通过计算斜率和利用点斜式方程得出直线 的两点式方程。
3 应用
4 与斜率的关系
两点式方程可以用于几何分析、图形绘制 以及实际应用。
直线的两点式和截距式的方程及一般式方程PPT课件
参数法求解
参数法是一种将变量用参数表示 出来的方法，适用于已知一个点
坐标和斜率的情况。
步骤：首先根据已知条件设定参 数方程，然后根据参数方程解出
变量的值。
例如，已知点A(1,2)和斜率m=1， 代入参数方程得：{x=t*cosα,
y=t*sinα}，将点A的坐标代入得： {t*cosα=1, t*sinα=2}，解得：
力的合成与分解
在分析力的作用时，直线 方程可以用来表示力的方 向和大小。
电路分析
在电路分析中，直线方程 可以用来描述电流、电压 和电阻之间的关系。
实际生活问题
交通规划
在城市交通规划中，直线 方程可以用来描述道路的 走向和长度。
建筑结构设计
在建筑设计时，直线方程 可以用来确定建筑物的位 置、高度和方向。
直线的两点式和截距式的方程及一 般式方程ppt课件
contents
目录
• 直线的两点式方程 • 直线的截距式方程 • 直线的一般式方程 • 直线方程的求解方法 • 直线方程在实际问题中的应用
01 直线的两点式方程
定义
两点式方程
给定直线上的两个点$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，通过这两点可以 确定一条直线的方程。
经济数据分析
在经济数据分析中，直线 方程可以用来描述经济增 长、消费和收入之间的关 系。
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推导过程
通过两点确定一条直线的原理，设直线上的两点为 (P_1(x_1, y_1)) 和 (P_2(x_2, y_2))，斜率 (m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1})，截距 (b = y_1 - m cdot x_1)。
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直线方程的两点式和一般式
直线方程的点斜式和斜截式是什么？ 适用条件是什么？
点斜式方程: y-y0 = k(x-x0) 条件：k 是直线的斜率，(x0 ，y0 )是直线上的一个点 斜截式方程: y = k x +b 条件：k 是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程 能否用“公式”直接写出来呢？
表示是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.
例 2.已知直线经过点 A(4, 3) ,斜率为 2 . 3
求直线的点斜式方程,并化为一般式方程.
解:由已知及点斜式方程得 y 3 2 (x 4) 3
化为一般式方程为 2x 3y 1 . 0
例 3.已知三角形三个顶点分别是 A(3,0）,B(2, 2),C(0,1) ,
直线方程的两点式
已知直线 l 上两点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) （其中 x1 x2 , y1 y2 ）， 如何求直线 l 的方程呢？
由 A,B 两点的坐标算出直线的斜率
k y2 y1 ， x2 x1
由点斜式方程得
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x x1) ，
可化为 y y1 x x1 ． y2 y1 x2 x1
注意：
（１） 其中 a 为直线在 x 轴上的截距， b 为直 线在 y 轴上的截距；
（２）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式吗?
过点 P(x0 , y0 ) 与 x 轴不垂直的直线方程都可 写成点斜式形式 y y0 k(x x0 ) , 它可化为 kx y kx0 y0 0 的形式
求这个三角形三边各自所在直线的方程.
解:因为直线 AB 过 A(3, 0）,B(2, 2) 两点， 由两点式方程得 y 0 2 0 ，
x (3) 2 (3)
整理得 2x 5y 6 0 这就是直线 AB 的方程．
直线过两点 A,C ，由两点式 0
这就是直线 AC 的方程． 直线 BC 的斜率是 k 1 (2) 3 ，过点 C(0,1) ，
02 2
由点斜式方程得 y a1 3 (x 0) ． 2
整理得 3x 2 y 2 0 ，这就是直线 BC 的方程．
例４．已知直线 l 的方程为 x 3y 4 0 ． 求直线 l 的倾斜角． 解：直线l 的斜率 k 3 ，
（A）2x－3y＝0;
（B）x＋y＋5＝0;
（C）2x－3y＝0 或 x＋y＋5＝0 （D）x＋y＋5 或 x－y＋5＝0
3．直线 kx y 1 3k, 当 k 变动时，所有直线都通过定点（ C ）
（A）（0，0） （C）（3，1）
（B）（0，1） （D）（2，1）
3 设直线 l 的倾斜角为 ，则
tan 3 (0 180)
3
由于 k 0 ，所以 0 90 ，
故直线 l 的倾斜角为 30 ．
1．直线 x +6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是（ B ）
(A) 2, 1 3
(B) 2, 1 3
(C) 1 ,3 2
(D)－2，－3
2．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ C ）
过点 P(x0 , y0 ) 且垂直于 x 轴的直线方程为 x x0 ,
它可化为 x 0 y x0 0 . 均为 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式．
任何关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)
这个方程称为直线方程的两点式．
例1． 求经过两点 P(a, 0),Q(0,b) 的直线 l 的方程
（其中 ab 0 ）．
解：因为直线 l 经过两点 P(a, 0), Q(0, b) ，
所以直线的两点式方程为
y0 xa b0 0a
整理得 x y 1 ab
截距式方程
x y 1 ab
截距式方程
都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗?
当 B 0 时, y A x C , BB
它表示平面直角坐标系中一条不垂直于 x 轴的直线.
当 B 0 时,有 x C , A
它表示平面直角坐标系中一条与 x 轴垂直的直线.
直线方程的一般式
关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)
直线方程的点斜式和斜截式是什么？ 适用条件是什么？
点斜式方程: y-y0 = k(x-x0) 条件：k 是直线的斜率，(x0 ，y0 )是直线上的一个点 斜截式方程: y = k x +b 条件：k 是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程 能否用“公式”直接写出来呢？
表示是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.
例 2.已知直线经过点 A(4, 3) ,斜率为 2 . 3
求直线的点斜式方程,并化为一般式方程.
解:由已知及点斜式方程得 y 3 2 (x 4) 3
化为一般式方程为 2x 3y 1 . 0
例 3.已知三角形三个顶点分别是 A(3,0）,B(2, 2),C(0,1) ,
直线方程的两点式
已知直线 l 上两点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) （其中 x1 x2 , y1 y2 ）， 如何求直线 l 的方程呢？
由 A,B 两点的坐标算出直线的斜率
k y2 y1 ， x2 x1
由点斜式方程得
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x x1) ，
可化为 y y1 x x1 ． y2 y1 x2 x1
注意：
（１） 其中 a 为直线在 x 轴上的截距， b 为直 线在 y 轴上的截距；
（２）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式吗?
过点 P(x0 , y0 ) 与 x 轴不垂直的直线方程都可 写成点斜式形式 y y0 k(x x0 ) , 它可化为 kx y kx0 y0 0 的形式
求这个三角形三边各自所在直线的方程.
解:因为直线 AB 过 A(3, 0）,B(2, 2) 两点， 由两点式方程得 y 0 2 0 ，
x (3) 2 (3)
整理得 2x 5y 6 0 这就是直线 AB 的方程．
直线过两点 A,C ，由两点式 0
这就是直线 AC 的方程． 直线 BC 的斜率是 k 1 (2) 3 ，过点 C(0,1) ，
02 2
由点斜式方程得 y a1 3 (x 0) ． 2
整理得 3x 2 y 2 0 ，这就是直线 BC 的方程．
例４．已知直线 l 的方程为 x 3y 4 0 ． 求直线 l 的倾斜角． 解：直线l 的斜率 k 3 ，
（A）2x－3y＝0;
（B）x＋y＋5＝0;
（C）2x－3y＝0 或 x＋y＋5＝0 （D）x＋y＋5 或 x－y＋5＝0
3．直线 kx y 1 3k, 当 k 变动时，所有直线都通过定点（ C ）
（A）（0，0） （C）（3，1）
（B）（0，1） （D）（2，1）
3 设直线 l 的倾斜角为 ，则
tan 3 (0 180)
3
由于 k 0 ，所以 0 90 ，
故直线 l 的倾斜角为 30 ．
1．直线 x +6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是（ B ）
(A) 2, 1 3
(B) 2, 1 3
(C) 1 ,3 2
(D)－2，－3
2．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ C ）
过点 P(x0 , y0 ) 且垂直于 x 轴的直线方程为 x x0 ,
它可化为 x 0 y x0 0 . 均为 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式．
任何关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)
这个方程称为直线方程的两点式．
例1． 求经过两点 P(a, 0),Q(0,b) 的直线 l 的方程
（其中 ab 0 ）．
解：因为直线 l 经过两点 P(a, 0), Q(0, b) ，
所以直线的两点式方程为
y0 xa b0 0a
整理得 x y 1 ab
截距式方程
x y 1 ab
截距式方程
都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗?
当 B 0 时, y A x C , BB
它表示平面直角坐标系中一条不垂直于 x 轴的直线.
当 B 0 时,有 x C , A
它表示平面直角坐标系中一条与 x 轴垂直的直线.
直线方程的一般式
关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)