(新)高中常见数学模型案例

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

高中常见数学模型案例

中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出:“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”,“数学建模是数学学习的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种:

一、函数模型

用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用,两个变量或几个变量,凡能找到它们之间的联系,并用数学形式表示出来,建立起一个函数关系(数学模型),然后运用函数的有关知识去解决实际问题,这些都属于函数模型的范畴。

1、正比例、反比例函数问题

例1:某商人购货,进价已按原价a 扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。

分析:欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式,关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。

若设新价为b ,则售价为b (1-20%),因为原价为a ,所以进价为a (1-25%)

解:依题意,有25.0)2.01()25.01()2.01(⋅-=---b a b 化简得a b 4

5=,所以x a bx y ⋅⋅==2.0452.0,即+∈=N x x a y ,4

2、一次函数问题

例2:某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地,在B 地停留1h 后,再以50km/h 的速度返回A 地,把汽车离开A 地的路x (km )表示为时间t (h )的函数,并画出函数的图像。

分析:根据路程=速度×时间,可得出路程x 和时间t 得函数关系式x (t );同样,可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量,从B 地返回时速度为负值,重点应注意如何画这两个函数的图像,要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。

解:汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是:⎪⎩

⎪⎨⎧∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ,图略。

速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是:⎪⎩

⎪⎨⎧∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ,图略。

3、二次函数问题

例3:有L 米长的钢材,要做成如图所示的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全等小矩形组成的矩形,试问小矩形的长、宽比为多少时,窗所通过的光线最多,并具体标出窗框面积的最大值。

解:设小矩形长为x ,宽为y ,则由图形条件可得:l y x x =++911π

∴x l y )11(9π+-=

要使窗所通过的光线最多,即要窗框面积最大,则:

)44(32)442(644])11([322622

222

2ππππππ+++-+-=+-+=+=l l x x lx x xy x s ∴当π

+=442l x 时,)44(9)22(9)11(πππ+-=+-=l x l y 即:π

-=2218y x 此时窗框面积S 有最大值)44(322m ax π+=l s 。 可见,一般的设自变量为x ,函数为y ,并用x 表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,也就是建立数学模型。

二、数列模型

数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。在高一年级教材中就有这类数学问题,下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。

例4:某银行设立了教育助学贷款,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息,如果贷款10000元,两年还清,月利率为0.4575%,那么每月应还多少钱呢?

分析与假设:按照规定,偿还贷款既要偿还本金,还要支付利息。在上述问题中,到贷款两年(即24个月)付清时,10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢?引导学生通过填表来回答:

通过对例子的分析,与学生交流使学生认识到:到期偿还贷款的含义即各月所付款连同到贷款付清时所生利息之和,等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和,计算每月应付款额。

2423004575.110000004575.1004575.1⨯=+++x x x

可以发现,上述等式是一个关于x 的一次方程,且等号左边括号内是一个首项为1,公比为1.004575的等比数列的前24项的和,于是:

2424

004575.110000004575

.11004575.11⨯=--⋅x 即2424004575.11)004575.11(004575.110000--⨯⨯=x 解之得91.440≈x

提出问题:如果采用上述分期付款方式贷款a 元,m 个月将款全部付清,月利率为r ,那么每月付款款额的计算公式是什么?

显然问题转化为建立关于x 的方程。设采用分期付款方式贷a 元,m 个月将款全部付清,月利率为r ,每月付款x 元,那么: 把右边求和,得r

r x r a m m ]1)1[()1(-+=+, 所以:1

)1()1(-++=m m

r r ar x 万元。 三、初等概率模型

古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性,而且要求样本空间为有限集,但实际问题中却经常会碰到无限样本空间的情形,对于无限样本空间的情形,常可转化为几何概率来解决。

例5:将n 个球随机地放入n 个盒子中去,求每个盒子恰有一个球的概率。

分析与求解:因为每一个球都可以放进n 个盒子中的任一个盒子,共有n 种不同的放法,n 个球放进n 个盒子就有n ×n ×…×n=n

n 种不同的放法,而每种放法就是样本空间中的一个元素,所以样本空间中元素的总数为n n 个。现在来求每个盒子恰有一个球时,球的不同放法的种数。

第一个球可以放进n 个盒子之一,有n 种放法;第二个球只能放进余下的(n-1)个盒子之一,有(n-1)种放法,…,最后一个球只可以放进唯一余下的盒子,所以n 个球放进n 个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球,共有!n 种不同的放法,因而所求得概率为: n n

n

A A P =)(。 几何概率所描述的随机试验满足:试验的样本空间是一个可度量的几何区域(这个区域可以是一维、二维甚至n 维);试验中每个基本事件发生的可能性都一样,即样本点落入某一个可度量的子集A 的可能性与A 的几何测度成正比,而与A 的形状及位置无关。如下面的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。

例7:两位网友相约见面,约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会,他们约好当其中一人先到后,一定要等另一人20分钟,若另一人仍不到则离去,试问这两位朋友能相遇的概率为多少?(假定他们到达约定地点的时间是随机的,且都在约定的一小时内) 解:以x 、y 分别表示两人到达的时刻,则两人相遇必须满足下列条件:∣x -y ∣≤20,两人到达时刻的所有可能结果可用边长为60的正方形区域上的任意点(x ,y )表示,该正方()()

()()122(1)11...11m m m a r x rx r x r x r x --+=+++++++++

相关文档
最新文档