二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合--面积问题

➢ 知识点睛

1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________．

2.研究背景图形：

①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．

② ___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3．二次函数之面积问题的常见模型

①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：

若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时，

PQ ∥AB ．

AB 平分PQ

．

➢ 例题示范

例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA =OC ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式．

（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值． （3）若点E

在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F

的坐标；若不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形

【思路分析】

读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．

再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】

解：（1）由2

23y ax ax a =+-

(3)(1)a x x =+-

可知(30)A -，

，(10)B ，， ∵OA OC =，

∴(03)C -，

， 将(03)C -，

代入2

23y ax ax a =+-， 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】

（1）整合信息，分析特征：

由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在

1

()

2

APB B A S PM x x =⋅⋅-△

直线AC 下方的抛物线上运动，即-3

注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ． 【过程示范】

如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ，易得:3AC l y x =--

设点P 的横坐标为t ，则2

(23)P t t t +-，

， ∵PQ ∥y 轴， ∴(3)Q t t --，，

∴223(23)3(30)Q P PQ y y t t t t t t =-=---+-=---<<， ∴2139

()(30)222

ACP C A S PQ x x t t t =⋅-=---<<△ ∵3

02

-

<， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线32

t =-， ∴当32t =-

时，ACP S △最大，为278

． 第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征：

以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：

要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线． 画图求解：

先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．

①AB 作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF ∥AB 且EF =AB ，要找EF ，可借助平移．点E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB 拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E 在对称轴上，来找抛物线上的点F ．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F 点坐标，代入抛物线解析式求解． ②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB ，EF 互相平分，先找到定线段AB 的中点，在旋转过程中找到EF 恰好被AB 中点平分的位置，因为E 和AB 中点都在抛物线对称轴上，说明EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F 点坐标． 结果验证：

画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形． 【过程示范】

（3）①当AB 为边时，AB ∥EF 且AB =EF ， 如图所示，设E 点坐标为(-1，m )，

当四边形是□ABFE 时，由(30)A -，，(10)B ，可知，F 1(3，m )， 代入抛物线解析式，可得，m =12， ∴F 1(3，12)；

当四边形是□ABEF 时，

由(30)A -，，(10)B ，可知，F 2(-5，m )，代入抛物线解析式， 可得，m =12， ∴F 2(-5，12)．

②当AB 为对角线时，AB 与EF 互相平分，

AB 的中点D (-1，0)，设E (-1，m )，则F (-1，-m )，代入抛物线解析式，可得，m =4，

∴F 3(-1，-4)．综上：F 1(3，12)，F 2(-5，12)，F 3(-1，-4)． 精讲精练

1.如图，抛物线经过A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．

（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．

（3）在（2）的条件下，连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC

2.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ，D 在y 轴上且OB =OC =3，OA =OD

=1，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．

（3）在直线AD 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AEG S =△？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．

（4）已知点Q 在x 轴上，点P 形，求点Q 的坐标．