频域滤波

频域滤波概述

假定原图像f(x,y)，经傅立叶变换为F(u,v)，频域增强就是选择合适的滤波器函数H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行调整，然后经逆傅立叶变换得到增强的图像g(x,y)。该过程可以通过下面流程描述：

频域滤波原理：

可以通过选择合适的频率传递函数H(u,v)来突出f(x,y)的某一方面的特征，从而得到需要的图像g(x,y)。

频域滤波技术中的关键时要设计一个适当的滤波系统传递函数H(u,v)。凡要保留的频率分量对应的H(u,v)=1或K，凡要抑制或衰减的频率分量对应的H(u,v)=0.

频域增强的处理方法：

（1）用（-1）x+y ×f(x,y)进行中心变换

（2）计算出它的傅立叶变换F(u,v)

（3）选择一个变换函数H(u,v)，大小通常和F(u,v)一样都是M*N 的，计算H(u,v) F(u,v)

计算过程为H 的第一个元素乘以F 的第一个元素，H 的第二个元素乘以F 的第二个元素。F 通常为复数，H 的每个分量乘以F 中的实部和虚部。

（4）计算出它的反傅立叶变换

（5）用（-1）x+y 乘以上面结果的实部，得目标图像

H(u,v)被称为滤波器，也叫做传递函数

空间滤波与频域滤波关系： 空间滤波器与频域滤波器的尺寸问题

前述的所有函数均具有相同的尺寸M ×N 。在实际中，指定一个频域滤波器，进行反变换会得到一个相同尺寸的空域滤波器。

如果两个域中滤波器尺寸相同，那么通常频域中进行滤波计算更为有效，更为直观，但空域中更适用更小尺寸的滤波器，更为高效。 几种常见的频域滤波器：

1 理想的低通滤波器：定义：以D0为半径的圆内所有频率分量无损的通过，圆外的所有频率分量完全衰减。D0又称为截止频率。

),(),(),(*),(v u H v u F y x h y x f

由于中心化了,频率矩形的中心在(M/2, N/2)处，此时距离为D(u,v)=[(u-M/2)2+(v-N/2)2]1/2

理想低通滤波器存在模糊和振铃现象。

2n阶巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器

一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth低通过滤器

（BLPF ）的变换函数如下：

由于中心化了,频率矩形的中心在(M/2, N/2)处，此时距离为D(u,v)=[(u-M/2)2+(v-N/2)2]1/2

n 阶巴特沃斯低通滤波器和理想圆形低通滤波器相比：

（1）没有明显的跳跃 被滤频率和通过频率之间没有明显的截断

（2）模糊程度少 模糊大大减少。因为包含了许多高频分量。

（3）尾部含有较多的高频，对噪声的平滑效果不如ILPF 。 3 高斯Gaussian 低通滤波器(GLPF)

二维高斯滤波器可以表示为：

当D0=D(u,v)时，滤波器下降到他最大值的0.607处

其图形如下：

[]

n D v u D v u H 20/),(11),(+=

高斯Gaussian低通滤波器(GLPF)的性质：

（1）高斯滤波器的傅立叶反变换生成的空间域也是高斯的，因此完成没有振铃现象

（2）与阶数为2的BLPF相比，在同一个D0时，其通带要宽些（GPLF 的剖面线没有二阶BLPF的剖面线紧凑），这样平滑效果要差些。

低通滤波用于去噪：

4高通滤波器

由前面低通滤波可知，衰减傅立叶变换的高频成份将使图像模糊。由于在灰度级的边缘和其它地方的急剧变化与高频有关，图像锐化能够在频率域用高通滤波器处理实现，衰减低频部分不会扰乱傅里叶变换的高频信息。

高通滤波器的传递函数由下面关系式获得：

高通滤波器: 理想高通滤波器IHPF；巴特沃思高通滤波器BHPF；高斯高通滤波器GHPF；

二维理想高通滤波器(IHPF)定义：

与低通滤波器相对，IHPF 将以D0 为半径的圆周内的所有频率置为0，而毫不衰减地通过圆周外的任何频率。

IHPF 也是物理不可实现的，只能通过计算机实现。

和ILPF 一样有振铃现象

N 阶巴特沃思高通滤波器(BHPF)：BHPF 比IHPF 更平滑，它在高低频之间有比较光滑的过渡；BHPF振铃不明显，对微小物体的过滤

比IHPF清晰。

D0越大，保存的低频越少，高频更突出，图象边缘更清晰

高斯高通滤波器(GHPF)：

GHPF 比前2种更平滑，它在高低频之间有光滑的过渡

无振铃效果，对微小物体的过滤更清晰。

频域增强和空域增强对比：

按照原理分析：

空域滤波主要包括平滑滤波器和锐化滤波器。

空域的平滑滤波器对应频域的低通滤波器。平滑滤波器主要滤除不规则的噪声或干扰的影响，从频域看，不规则噪声具有较高频率，所以可以用具有低通能力的频域滤波器来滤除。

空域的锐化滤波器对应于频域的高通滤波。锐化滤波器是要增强边缘和轮廓的强度，从频域角度看，边缘和轮廓具有较高频率，所以可用具有高通能力的频域滤波来增强。

从实现角度看：

空域里图像和模板之间的模板运算是一种卷积运算。根据卷积定理，在频域中图像的傅立叶变换和模板的傅立叶变换之间的对应运算是乘法运算。

频域中低通滤波器的转移函数对应空域中平滑滤波器模板函数的傅立叶变换。

频域中高通滤波器的转移函数对应空域中锐化滤波器模板函数的傅立叶变换。

空域技术和频域技术的对比：

（1）空域和频域的滤波器组成傅立叶变换对。所以，给定一个域内的滤波器，可通过傅立叶变换或傅立叶反变换得到在另一个域内对应的滤波器。

（2）如果两个域内的滤波器具有相同的尺寸，那么借助快速傅立叶变换在频域中进行滤波一般效率更高。但是，在空域内常可以使用较小的滤波器来达到相似的滤波效果，所以计算量也可能会更小。（3）频域设计滤波器比较方便，实际中常在频域设计滤波器，再进行反变换，得到空域中对应的滤波器，再借此结果指导空域滤波器模板的设计。

（4）在频域中分析图像的频率成分与图像的视觉效果间的对应关系