54知识讲解_空间点线面的位置关系(提高)
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空间点线面的位置关系
编稿:孙永钊 审稿:
【考纲要求】
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义; (2)了解可以作为推理依据的公理和定理;
(3)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】
【考点梳理】
考点一、平面的基本性质
1、平面的基本性质的应用
(1)公理1:可用来证明点在平面内或直线在平面内;
(2)公理2:可用来确定一个平面,为平面化作准备或用来证明点线共面; (3)公理3:可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线,三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论:
(1)经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; (2)经过两条相交直线,有且只有一个平面;
空间点线面位置关系
三个公理、三个推论 平面 平行直
异面直相交直公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离
直线在平面内
直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直概念
垂斜
空间直线 与平面 空间两个平面
两个平面平行
两个平面相交
三垂线定理 直线与平面所成的角
(3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 (1)点共线问题
证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。
(2)线共点问题
证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上。
要点诠释:证明点线共面的常用方法
①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;
②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合。
考点二、直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
⎧⎧⎪⎨
⎨⎩⎪
⎩相交直线共面直线平行直线
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点O 作直线a ’
∥a,b ’
∥b,把a ’
与b ’
所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)
②范围:02
π⎛⎤ ⎥⎝⎦
,
要点诠释:证明两直线为异面直线的方法:
1、定义法(不易操作)
2、反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。
3、客观题中,也可用下述结论:
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:
考点三、直线和平面、两个平面的位置关系
1、直线和平面的位置关系
位置关
系
直线a 在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点
符号表示aα
⊂a A
α=
I//
aα
图形表
示
2、两个平面的位置关系
位置关系图示表示法公共点个数
两平面平
行
//
αβ0
两平面相
交斜交a
αβ=
I
有无数个公共
点在一条直线
上
垂直
αβ
⊥
a
αβ=
I
有无数个公共
点在一条直线
上
考点四、平行公理、等角定理
平行于同一条直线的两条直线互相平行。(但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行,可能相交,也可能异面)
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 要点诠释:
(1)以空间几何体为载体,考查逻辑推理能力; (2)通过判断位置关系,考查空间想象能力; (3)应用公理、定理证明点共线、线共面等问题; (4)多以选择、填空的形式考查,有时也出现在解答题中。
【典型例题】
类型一、异面直线的判定
例1已知空间四边形ABCD.
(1)求证:对角线AC 与BD 是异面直线;
(2)若AC ⊥BD,E,F,G,H 分别这四条边AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形EFGH 的形状; (3)若AB =BC =CD =DA,作出异面直线AC 与BD 的公垂线段.
【证明】(1)(反证法)假设AC 与BD 不是异面直线,则AC 与BD 共面, 所以A 、B 、C 、D 四点共面 这与空间四边形ABCD 的定义矛盾 所以对角线AC 与BD 是异面直线
(2)解:∵E,F 分别为AB,BC 的中点,∴EF//AC,且EF=2
1
AC. 同理HG//AC,且HG=
2
1
AC.∴EF 平行且相等HG,∴EFGH 是平行四边形. 又∵F,G 分别为BC,CD 的中点,∴FG//BD,∴∠EFG 是异面直线AC 与BD 所成的角. ∵AC ⊥BD,∴∠EFG=90o
.∴EFGH 是矩形.
(3)作法取BD 中点E,AC 中点F,连EF,则EF 即为所求.
【点评】在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题,取中点往往是很有效的方法,特别是遇到等腰三角形的时候。
举一反三:
【变式】如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点。问: