函数的拐点及求法

7
函数的单调性与曲线的凹凸性
例1
求曲线 y (x 2)5 3 5 x2 的拐点及凹凸性.
9
解 定义域为 (,)
(3steps) (1) y
5 ( x 2)2 3 3
10 9
x,
y
10 1 ( x 2)1 3
9
( x 2)1 3
.
(2) 令y 0, 得 x1 3, y不存在的点 x2 2.
(3) 列表
x ( ,2) 2 (2,3)
3
(3, )
f ( x) 不存在
0
f (x)
拐点 (2, 20)
9
拐点
(3,4)
8
第五节 函数凸性和图形的描绘
曲线凸性的判别法 曲线的拐点及其求法 曲线的渐近线 函数作图
1
第三章 微分中值定理与导数的应用
函数的单调性与曲线的凹凸性
一、曲线凸性的判别法
(concave and convex)
1.定义 如何研究曲线的弯曲方向
y
C
B
A
O
x
2
函数的单调性与曲线的凹凸性
y
y f (x)
•
y
y f (x)
•
O x1
x2 x
图形上任意弧段 位于切线的下方
O x1
x2 x
图形上任意弧段 位于切线的上方
定义1 如果f (x)在(a,b)内各点都有切线，在切点 附近如果曲线弧总位于切线上方（下方）
那末称f ( x)在(a, b)内的图形是 凹(凸)的.
3
函数的单调性与曲线的凹凸性
2. 凸性的判别法
y
B
y f (x)
A
y
B
y f (x)
A
Oa
bx
Oa
bx
f ( x) 递增 f ( x) 0 f ( x) 递减 f ( x) 0
定理2
如果f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内具有
二阶导数, 在 (a, b)内, 若f ( x) 0 ( 0), 则f ( x)
在[a, b]上的图形凹是 (凸) 的.
4
函数的单调性与曲线的凹凸性
例1判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x,
当x 0时，y 0, 曲线 在(,0]为上凸的；
y y x3
•
O
x
当x 0时，y 0,曲线 在[0,)为下凸的.
注 点(0,0)是曲线由上凸 变 下凸 的分界点.
5
函数的单调性与曲线的凹凸性
四、曲线的拐点及其求法
(inflection point) 1.定义
连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的 拐点.
几何上
拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
y y x3
O
x
6
函数的单调性与曲线的凹凸性
2. 拐点的求法 由例1可知求曲线的拐点，实际上是找 y f (x0 )
取正值与取负值的分界点，即 f (x0 ) 0的根可 能为曲线的拐点 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. 设函数f ( x)在x0的邻域内 二阶可导, 且f ( x0 ) 0 (x0为二阶导数不存在的点) (1) x0两近旁f ( x)变号, 点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.