有理数简便运算与技巧之欧阳家百创编
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
有理数简便运算与技巧
欧阳家百(2021.03.07)
有理数是代数的入门,又是难点,是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时,若能根据题目的特征,注意采用运算技巧,不但能化繁为简,而且会妙趣横生,新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类
将同类数(如正数或负数)归类计算。
例1 计算:()()()
-+++-++-。
231324
解:原式()()()()
=+++-+-+-
312234
⎡⎤
⎣⎦
=-。
3
二、凑整
将和为整数的数结合计算。
例2 计算:36.54228263.46
+-+。
解:原式()
=++-
36.5463.462282
=。
40
三、对消
将相加得零的数结合计算。
例3 计算:()()()
5464332
+-++++-+-。
解:原式()()()
=-+++-+-++
4453263
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
=。
9
四、组合
将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算:551155
21012249186---+。 解:原式55511125
210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524
=-。 五、分解
将一个数分解成两个或几个数之和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算:111125434236
-+-+。
解:原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212
=+=。 例6 计算:20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解:原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯
0=。
六、转化
将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算:()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。 解:原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
25=-。
七、变序
运用运算律改变运算顺序。
例8 计算:()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭
解:原式412.50.1315
⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭ 13131=-⨯=-。
例9 计算:38871159158⎛⎫⎛⎫--
⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。 解:原式8881559158
⎛⎫=---
⨯ ⎪⎝⎭ 13=-。 八、约简
将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
例10 计算:()()61112.50.125 1.250.6215284⎛⎫-⨯⨯-⨯÷⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
。 解:原式()()62.50.125 1.25521110.621284
-⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯。 九、逆用 正难则反,逆用运算律改变次序。
例11 计算:2283
210.2555214⎛⎫⎛⎫÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。 解:原式258715122144⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14
=。 十、观察
根据0、1、1-在运算中的特性,观察算式特征寻找运算结果为0、1或1-的部分优先计算。
例12 计算:()()20091312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。 解:33.75304
-=,()200911-=-。
∴原式()011=+-=-。 妙用字母解题
在我们学习的过程中,常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题,令人望而生畏,无从着手.这时,如果我们仔细观察数据特点,探究数据规律,巧妙利用字母代替数字,将会收到化繁为简,化难为易的效果.
例1 计算
11111111111111232004232003232004232003⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 分析:本题显然不能用常规方法直接计算,观察式子的4个小部分,我们发现各部分的相同项很多,如果把相同部分用一个字母来代替,则可使运算大大简化.
解:设1111232003a ++++
=,111232003b +++=. 则原式1120042004b a a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12004200420042004a
b a b -=-==. 评注:本题是分数计算题,若直接计算是很繁很难的,本题巧用整体思考,妙用字母代替数就简单多了,这充分说明了用字母表示数的作用.
例2 计算17.4837174.8 1.98.7488⨯+⨯+⨯.
分析:本题若直接进行计算也未尝不可,但通过观察发现:17.48,174.8,8.74之间有着特殊的关系,若设17.48a =,则174.810a =,
8.742a =,这样,原式可化为含字母a 的代数式,我们只需合并同类项,然后将a 的取值代入进行求值即可,计算量明显减小. 解:设17.48a =,则174.810a =,8.742a =,则原式可化为()371944371944100a a a a a ++=++=,将17.48a =代入,得原式1748=. 评注:通过观察数字特点,运用字母代替数,使计算过程简化,收到了事半功倍的效果.