2019年北京市怀柔区初三数学二模试题及详细解析

2019年北京市怀柔区九年级下学期综合练习（二）
数学试题及参考答案2019.6
一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 下列各式计算正确的是
A．235
25
a a a
+=B．23
a a a
⋅=C．623
a a a
÷=D．235
()
a a
=
2. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，不是轴对称图形的是
A．B．C．D．3．如下图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=25°，那么∠2的度数为A．10 B．15° C．20° D．65°
4. 已知232
a a
-=，那么代数式)1
(2
)2
(2+
+
-a
a的值为
A．-9 B．-1 C．1 D．9
5. 如下图所示，某同学的家在A处，星期日她到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮
助她选择一条最近的路线
A．A→C→D→B B．A→C→F→B
C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B
6. 在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的
是
A.
1
y B.
2
y C.
3
y D.
4
y
x
y
y4
y3
y2
y1
O
1
2
7
．下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
AB=10m ，
，
设树顶端到地面的高度DC 为x m ，根据以上条件，可以列出求树高的方程为
A ．(10)x x =-cos56°
B ．(10)x x =-tan56°
C ．10x x -=tan56°
D ．(10)x x =+sin56°
8．下面的两个统计图是中国互联网信息中心发布的第43次《中国互联网络发展状况统计报告》的内容，上图为网民规模和互联网普及率，下图为手机网民规模及其占网民比例.根据统计图提供的信息，下面推断不合理的是
C
D
B A
A B D
C
αβ
α=45°
β=56°
3
A.2008:2018年，网民规模和手机网民规模都在逐年上升
B.相比其它年份，2009年手机网民占整体网民的增长比例最大
C.2008年手机上网人数只占全体国民的9％左右
D.预计2019年网民规模不会低于63％ 二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. 若代数式1
1
x x -+的值为0，则实数x 的值为 .
10. 写出一个．．
a <<的整数a 的值为 ． 11. 如图，在O e 中，直径AB ⊥GH 于点M ，N 为直径上一点， 且OM=ON ，过N 作弦CD ，EF.则弦AB ，CD ，EF ，GH 中最短的是 .
12. 北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2019年1月份
各区域的PM2.5浓度情况如下表：
从上述表格随机选择一个区域，其2019年1月份PM2.5的浓度小于51微克/立方米的概率是 ．
13. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(1)2y x =+-平移后得到抛物线
231y x =+.请你写出一种平移方法 .
14. 已知每个正方形网格中正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是以
格点为圆心，半径为1的圆弧围成的，则阴影部分的面积是 .
15.为打造世界级原始创新战略高地的综合性国家科学中心，经过延伸扩建的怀柔科学城，已经从怀柔区延伸到密云区，两区占地面积共100.9平方公里，其中怀柔区占地面积比密云占地面积的2倍还多3.4平方公里，如果设科学城怀柔占地面积为x 平方公里，密云占地面积是y 平方公里，则计算科学城在怀柔和密云的占地面积各是多少平方公里，依题意可列方程组为 .
4
16. 下面是一位同学的一道尺规作图题的过程. 已知：线段
a ，
b ，c.
求作：线段x ，使得a ：b=c ：x.x.。

他的作法如下：
①以点 O 为端点画射线 OM ，ON ； ②在 OM 上依次截取 OA=a ，AB=b ； ③在 ON 上截取 OC=c ；
④联结 AC ，过点 B 作 BD∠AC ，交 ON 于点D ．
所以：线段CD 就是所求的线段 x ．
这位同学作图的依据是 . 三、解答题(本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：011123tan 30(2019)()2
π--︒+--. 18．解方程：
1322x x x
+=--. 19．如图，E 为AB 中点，CE ⊥AB 于点E ，AD=5，CD=4，BC=3，
求证:∠ACD=90°．
20．研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随
着老师讲课时间的变化而变化的.讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标数y 随时间x 变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）.当0≤x≤10
E
D
C
B
A
45x(时间:分)
y(指标数）
40483920
O 20
105
5
时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段. 根据图象回答问题：
（1）课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是 （2）结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约
第 分钟到第 分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态.
21．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC , AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，作EF ∥AB ，交
AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接CF, CF=EF ．
（1）求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若
BF=tan ∠FBC=1
2
，求EC 的长．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=-x+1与函数x
k
y =
的图象交于A （-2，a ），B 两点．
（1）求a ，k 的值；
（2）已知点P （0，m ），过点P 作平行于x 轴的直线l ，
交函数x
k
y =的图象于点C(x 1，y 1)，交直线
y=-x+1的图象于点D(x 2，y 2)，若21x x > ， 结合函数图象，直接写出m 的取值范围．
23. 如图，AB 是O e 的直径，弦EF ⊥AB 于点C ，点D 是AB 延长线上一点，30A ∠=︒，30D ∠=︒. （1）求证：FD 是O e 的切线；
（2）取BE 的中点M ，连接MF ，若
，
求O e 的半径.
P
F E
D C
B
A
D
A
6
24. 2019年4月23日世界读书日这天，某校初三年级的小记者，就2018年寒假读课外书数量（单位：本）做了调查，他们随机调查了甲、乙两个班的10名同学，调查过程如下，请补充完整.
收集数据 甲、乙两班被调查者读课外书数量（单位：本）统计如下：
甲： 1 9 7 4 2 3 3 2 7 2 乙： 2 6 6 3 1 6 5 2 5 4 整理、描述数据 绘制统计表如下，请补全下表：
分析数据、推断结论
25. 阅读材料:
1903年,英国物理学家卢瑟福通过实验证实,放射性物质放出射线后,这种物质的质量将减少,物质所剩的质量与时间成某种函数关系.镭的质量由0m 缩减到
02
1
m 需1620年, 由021m 缩减到041m 需1620年,由041m 缩减到08
1
m 需1620年,即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量——1620年,一般把1620年称为镭的半衰期.
实际上,所有放射性物质都有自己的半衰期.铀的半衰期为9
104.5 年,蜕变后的铀最后成为铅.科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量,便可以利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间,从而推算出这块岩石的年龄.
根据以上材料回答问题：
(1) 设开始时岩石中含有铀的质量为0m 千克，经过n 个半衰期后，剩余的铀的质量为1m 千克，下表是1m 随n 的变化情况，请补充完整：
7
E D C B
A (3)设铀衰变后完全变成铅，下图是岩石中铅的质量2m 与半衰期n 的函数关系图象，请在同一坐标系中，利用描点法画出岩石中含铀的质量1m 与半衰期n 的函数关系图象：
（4）结合函数图象，估计经过 个半衰期（精确到0.1），岩石中铀铅质量相等.
26. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x y =与抛物线0)
3()(32
≠++-=a x a ax y 交于A ，B 两点，并且OA ＜OB .
（1）当a =1时，求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当2422≤≤OB 时，求a 的取值范围．
27.在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，（BC ＞AD ），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，求CE 的长.
8
28．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω， 如果在图形ω上存在点P ，
Q （P ，Q 可以重合），使得AP =2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．
（1）①点B 到⊙O 的最大值 ，最小值 ；
②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 3（2，2）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；
（2）在直线b +=x y 3
3
上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围；
（3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m+1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙
O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．
9
2019年北京市怀柔区九年级下学期综合练习（二）
参考答案及评分标准
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. x=1 10.2（或3 ） 11. 12.
7
17
13.答案不唯一，例如，将抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线231y x =+. 14. 24
π
-
15.
1
6.平行
于三
角
形一边的直线截其它两边（或两边的
延长
，所得对应线段成比例.
三、解答题(本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.
解：原式 2133
332-+⨯-= …………………………………4分 13-=. ………………………………………………5分
18．解：去分母，得．………………………………………………… 1分 去括号，得． ………………………………………………… 2分 移项，得 ．
合并同类项，得 ．…………………………………………………… 3分 系数化为1，得．……………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为．………………………………………………5分 GH 100.9
2 3.4x y x y +=⎧⎨
=+⎩
13(2)x x -=-136x x -=-361x x -=-25x =5
2x =5
2x =
10
19. 证明：∵E 为AB 中点，CE ⊥AB 于点E ， ∴AC=BC. ……………………………… 2分
∵3BC =，∴3AC =.…………………………3分 又∵5AD =，4CD =，
∴222AC CD AD +=……………………… 4分
∴90ACD ∠=︒.……………………………… 5分
20.（1）10到20分钟时. …………………………… 2分
（2）第4分钟到29分钟时. …………………………… 5分 21．（1）证明：∵AD ∥BC , AE 平分∠BAD ，
∴∠DAE=∠AEB ．∠DAE=∠BAE ． ∴∠BAE=∠AEB ∴AB=BE ．
∵EF ∥AB , AD ∥BC ∴四边形ABEF 是平行四边形，
∴四边形ABEF 是菱形…………………………… 2分 （2）解：作FH ⊥BC 于H ，
∵四边形ABEF 是菱形，BF=4
，∴∠BPE=90°，PB=PF=2
，
∵tan ∠FBC=，∴PE=，BE=5，…………………………… 3分
在RT △BFH 中，∵tan ∠FBC=，∴=, BF=4.
∴FH=4，BH=8. ∴EH=3.
∵CF=EF,∴EC=2EH=6…………………………… 5分
22.（1）∵直线与函数的图象交于点A （-2，a ）， 把A （-2，a ）代入 解得． ∴A （-2,3）．
把A （-2,3）代入，
解得k = -6．…………… 2分
(2) 画函数图象……………………… 3分
30<<m 或 02<<-m ……………………………5分
23．解：（1）连接OE ，OF ．
1+-=x y x
k
y =
1+-=x y 3=a x k
y =H
P F
E
D
C
B A
O
F
E
D
C
B A
D
C
B
A
11
∵EF AB ⊥，AB 是O e 的直径，∴DOF DOE =∠∠． ∵2DOE A =∠∠，30A ∠=︒，
∴60DOF ∠=︒ ． ……………………………1分 ∵30D ∠=︒.∴90OFD ︒=∠.∴OF FD ⊥. ∴FD 为O e 的切线，……………………………2分 （2）图形如图所示.连接OM .
∵AB 为O e 的直径，∴O 为AB 中点，
90AEB ∠=︒．
∵M 为BE 的中点，∴OM AE ∥，
1
=2
OM AE . ……………………………3分
∵30A ∠=︒，∴30MOB A ∠=∠=︒．
∵260DOF A ∠=∠=︒ ， ∴90MOF ∠=︒. ………………………4分
∴222+OM OF MF =．
设O e 的半径为r ．
∵90AEB ∠=︒，30A ∠=︒，
∴
cos30AE AB ︒=⋅=.
∴OM ． ……………5分
∵FM
222)+r =. 解得=2r ．（舍去负根）
∴O e 的半径为2． …………………………6分 24. …………………………… 2分
（1）12; …………………………… 3分
（2）乙班，乙班的方差较小，说明乙班学生普遍有阅读意识，而甲班方差较大，说明甲班虽然存在一部分读书意识较强的同学，但也存在一部分读书意识淡漠的同学等等.（答案不唯一，只要理由充足即可得分）. …………………………… 6分
D
A
12
G
M
A B
C
D E
25.（1）
…………………………… 1分 （2） …………………………… 3分
（3） 如图…………………………… 4分 （4）1.1…………………………… 6分
26.解：（1），解得x 1=1，x 2
=3
a .与y 轴交于（0,3）
把a =1代入.解得.
令y =0，∴x 1=1，x 2=3.
∴抛物线与x 轴的交点坐标是（1,0），（3,0）. …………………………… 2分 （2）①当a ＞0,OB =时B （4,4）.解得a =
.
当OB =时B （2,2）.解得a =
.∴.
…………………………… 4分
②当a ＜0时，.
∴
或.
…………………………… 6分 27.解：如图，延长DA 至M ，使BM ⊥BE.过点B 作BG ⊥AM ， G 为垂足. …………………………… 1分 ∵AD ∥BC ，BC=CD ，∠D=90°，
∴四边形BCDG 为正方形. ∴BC=BG.
又∵∠CBE=∠GBM ，
∴Rt △BEC ≌Rt △BMG ．…………………………… 3分 ∴BM=BE ，∠ABE=∠ABM=45°，∴△ABE ≌△ABM ，
∴AM=AE=10. …………………………… 5分 设CE=x ，则AG=10-x ，AD=12-(10-x)=2+x ， DE=12-x.在Rt △ADE 中，∵AE 2=AD 2+DE 2
，
∴100=(2+x)2+(12-x)2，∴x 2
-10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6. ∴CE 的长为4或6. …………………………… 7分
016
1
m n
m m ⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=21010)3()(32
≠++-=a x a ax y 0)3()(32≠++-=a x a ax y 32
+-=x x y 4241213
222525
1213≤≤a 2019
611-≤≤-
a 251213≤≤a 2019
611-≤≤-a
13
28.解：（1）①4,2…………………………… 2分 ② A 1…………………………… 3分 （2）∵O 到直线b +=
x y 3
3
的距离是9.∴36±=b ∴3636≤≤-b …………………………5分 （3
）31m ≤≤
或4m ≤≤-………………… 7分。