极值法解决物理问题

正确使用极值法解决物理问题

在平时的教学中，常遇到“极值”问题，但多数教师都是通过数学方法进行分析.不仅要求学生具有较好的物理基础，更需具有较高的数学应用能力，如果教师能教给学生灵活运用物理的思想和方法去解决问题，这对提升学生的物理思维和物理素养不无裨益.

一、中考原题

如图1 所示，两个完全相同的量筒里分别盛有质量

相等的水和酒精，A 、B 两点到量筒底部的距离相等，则A 、B 两点受到液体的压强A p 和B p 的大小关系是( ).

A. A B p p >

B.

A B p p < C. A B p p = D.无法比较

学生1(常规法):假设液体的总重力都为G ，液体密度分别为A 和B ，且A B >，量筒的横截面积均为S ,A 、B 两点距量筒底的距离都为h ，图2中，A 、B 两点以上液体的重力，即阴影部分液体的重力分别为A G 和B G ，则

A A A A A A G G F G G gSh G p gh S S S S S ρρ--=====-下①

B B B B B G G F G G gSh G p gh S S S S S ρρ--=====-B 下 ② 由①②两式及A B ρρ>得A B p p <.

学生2(极值法): A 、B 两点距底部的距离相同，具有随意性，可假设A 、B 两点在甲容器的液面高度上(如图3)，此时0,A p =0B p >，所以A B p p <.

从以上两种方法可以看出，在解决物理问题时，当一个物理量或物理过程发生变化时，运用“极值法”对其变量作合理的延伸，把问题推向极端，往往会使问题化难为易，达到“事

半功倍”的效果.那么如何正确使用极值法呢?

二、极值法正确使用过程分析

如图4所示，甲、乙两个质量相等的均匀实心正方体放在水平地面上，已知铜的密度大于铁的密度，若沿水平方向分别截去体积相等的部分，则剩余部分对水平面的压强p 甲和p 乙的大小关系是( )

A. p p >乙甲

B. p p <乙甲

C. p p =乙甲

D.都有可能

极值法:假设将甲全部消去，则剩余部分对水平面的压强p 甲=0和0p >乙，因此，该题选择B.事实果真如此吗?

假设G G G ==乙甲，边长分别为a 和b ，且a a b <，密度分别为甲和乙，且ρρ>乙甲截去的体积均为V ，则剩余部分对水平面的压强222G gV g G p V a a a ρρ-==-甲甲甲③, 222G gV g G p V b b b ρρ-==-乙乙乙④,由22G G a b

>,22g g a b ρρ>乙甲，画出③④两式的压强一截去体积图像如图6所示.

由图6来看，当截去一定的体积时，剩余部分对水平面的压强p 甲和p 乙有可能相同(M 点)，即由③④两式相等2222g g G G V V a a b b ρρ-=-乙甲，解得2222

()G b a V gb ga ρρ-=-乙甲.当截去的体积2222()G b a V gb ga ρρ-<-乙甲时，p p >乙甲.当截去的体积2222()G b a V gb ga

ρρ-=-乙甲时，p p =乙甲.

当截去的体积22222()G b a a V gb ga ρρ->>-乙甲时，p p <乙甲.所以该题正确答案为D. 正确使用极值法:假设截去的体积趋向为0，则剩余部分对水平面的压力基本相同，所以压强p p >乙甲;若将甲全部消去，则剩余部分对水平面的压强p p <乙甲，中间必然存在截去一定体积时p p =乙甲.因此，该题选D.

为何例1采用极值法时不用考虑另一极端呢，根据①②两式，可画出压强一高度图像，如图7所示，由图像可以看出，A 、B 两点受到液体的压强A p 和B p 都随高度h 的增大而减小，A p 先减小到0，并且始终A B p p <.

由前面的分析可以看出，使用极值法解决物理动态变化问题时，是否需要考虑两极端，取决于所求物理量随动态变化物理量变化而变化时，是否有确定的大小关系.如果有确定的大小关系只需考虑一个极端，否则，就需要考虑两极端.当然，在不知道是否需要考虑另一极端的情况下，我们可以对两极端都进行考虑，再进行判断.

三、极值法应用实例

如图8所示电路，电源电压保持不变，1R 为定值电阻，2R 为滑动变阻器(2R 最大阻值大于定值电阻1R ).

当开关S 闭合后

(1)滑动变阻器的滑片P 向右端滑动过程中，电压表示数将( ).

A.增大

B.不变

C.减小

D.无法判断

(2)滑动变阻器的滑片P 向右端滑动过程中，滑动变阻器2R 消耗的电功率将( ).

A.增大

B.不变

C.减小

D.先增大后减小

第(1)问，当滑片P 处在滑动变阻器最左端时，变阻器接入电路的电阻为零，相当于电压表接在一根导线的两端，故示数为零.由2R 最大阻值大于定值电阻1R ，可假设2R 最大阻值，当滑片P 滑动到最右端时，电压表示数接近电源电压，达到最大值.因此，电压表的示数由无变有，由小变大，该问选择A.

第2问，当滑片P 处在滑动变阻器最左端时，电压表示数为零，滑动变阻器消耗的功率也为零;当滑片P 滑动到最右端时，仍假设2R 最大阻值，电压表示数接近电源电压，由

2/

得到，此时滑动变阻器消耗的功率→0.由此可以判断出滑动变阻器消耗的功率必P U R

然先变大后减小.因此，该题选D.

用极值法解决物理问题时，不仅给学生解决问题多提供一条思路，还可以让复杂的问题简单化，特别是做客观题时往往会取得事半功倍的效果.但如果搞不清极值法的正确使用方法，就会出现错误的结果.