高等数学随堂讲义傅里叶级数习题课

傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
1 π x 0 例1 设 f ( x ) 则其以 2 π 为周期的 2 1 x 0 x π
1 l a n f ( x ) cos nπ x dx l l l ( n 0 ,1 , 2 ) 傅里叶级数 1 l nπ x bn f ( x ) sin d x l l l ( n 1,2 )
傅里叶展开
收敛定理 设f (x)是以2l 为周期的周期函数,如果它满足:
傅里叶级数在 x π 处收敛于何值.
1 π x 0 在 [ π , π ] 上展开为 例2 函数 f ( x ) 1 0 x π 傅里叶级数， 写出其和函数 s ( x ).
2 例3 设 f ( x ) π x x ( 0 x π), 又设 s ( x ) 是 f ( x ) 在 ( 0 , π )
π π [ π , π ] 上的偶函数，f x f x 例9 设 f ( x ) 是 2 2 试证 f ( x )的傅里叶系数b n 0 , a 2 n 0 .
( x ) ( x ) 例10 若 ( x ) 和 ( x )为 [ π , π ] 上的连续函数，
例5 将f ( x ) 2 | x | ( 1 x 1 ) 展开成以2为周期的
1 傅里叶级数，并由此求级数 2 的和. n 1 n π x 补2 将 f ( x ) 0 x 2 π 展开为以2 π 为周期的 2 1 n1 傅里叶级数，并由此求级数 ( 1) 的和. 2n 1 n 1
第九讲 傅里叶级数习题课
傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习
傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习
傅里叶级数
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1 定义在 [ π , π ] 上
周期延拓
以2π为周期 的三角级数
f(x)
以2 π 为周期 奇函数
其中 a n 2

1
0
f ( x ) cos n π x d x , ( n 0 ,1, 2 , ) ,
5 求 s . 2 补1 设 f ( x ) x 2 ( 0 x 1 ), s ( x ) bn sin n π x , x ,
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点,
则f (x) 的傅里叶级数收敛,并且: 当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时,级数收敛于
1 f (x ) f (x ) 2


傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习
（三）傅里叶系数的特征
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
例8 若 f ( x ) 在 [ π , π ] 上满足 f ( x π ) f ( x ) 试证 f ( x )的傅里叶系数 a 0 a 2 n b 2 n 0 . 补3 若 f ( x ) 在 [ π , π ] 上满足 f ( x π ) f ( x ) 试证 f ( x )的傅里叶系数a 2 n 1 b 2 n 1 0 .
其中 bn 2

1
n1
0
f ( x ) sin π x d x , ( n 1, 2 , ) ,
1 求 s . 2
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
1 π a n 0 f ( x ) cos nx dx π π ( n 0 ,1 , 2 ) 傅里叶级数 π 1 2 π b傅里叶系数 f ( x ) sin nx dx 正弦级数 n 0 π π ( n 1,2 )
傅里叶级数
定义在 [ , ] 上
定义在 [ π , π ] 上
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
以2π为周期 的三角级数
傅里叶级数
以2l为周期的 三角级数
a0 nπ x nπ x (a n cos bn sin ) 2 n1 l l
百度文库变 量 代 换
f(x)
以 2l 为周期
内以 2 π 为周期的正弦级数展开式的和函数，求当
x ( π , 2 π) 时 s ( x ) 的表达式.
1 x 0 x 2 例4 设 f ( x ) 1 2 2x x1 2 a0 s ( x ) a n cos n π x , x , 2 n 1
2 例6 将 f ( x ) x 在 [ π , π ]上展开成傅里叶级数，

1 并由此求级数 2 的和. n 1 ( 2 n 1) 例7 将 f ( x ) s in ax ( a 0 )在 ( π , π )上展开成傅里叶级数.
注 注意分情况讨论.

二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
傅里叶级数
f(x)
1 π a n f ( x ) cos nx dx 周期延拓 π π 以2 π 为周期 ( n 0 ,1 , 2 ) 傅里叶级数 周期延拓 1 π 奇函数 (偶函数) bn π f ( x ) sin nx dx 正弦级数 π (余弦级数) 奇延拓 偶延拓 ( n 1,2 ) 定义在 [ 0 , π ] 上
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1
以2π为周期 的三角级数
f(x)
1 2 a n f ( x ) cos nx dx 周期延拓 0 以2 为周期 ( n 0 ,1 , 2 ) 傅里叶级数 1 f ( x ) sin nx dx 正弦级数 奇函数 (偶函数) bn 0 (余弦级数) ( n 1,2 )
问 ( x ) 的傅里叶系数 a n , bn 与 ( x ) 的傅里叶系数 n , n 有什么关系?