《曲线与方程》精品课件 公开课课件

一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°, 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 思维启迪 连结QP交AB于R,则R是矩形APBQ 的中心.因而可选R的坐标为中间变量，先求R 的轨迹方程,再将Q的坐标代入R的坐标中即可.
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解题示范
解 如图所示，设AB的中点为R,坐标为（x1，y1），
Q点坐标为（x，y），
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5.已知两定点A（-2，0），B（1，0）,如果动点
P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形
的面积等于
（B ）
A.
B.4
C.8
D.9
解析 设P（x，y），则由|PA|=2|PB|
得(x+2)2+y2=4［(x-1)2+y2］,
即（x-2）2+y2=4，故P点的轨迹是以（2，0）为
方程的曲线.
3
2.求动点的轨迹方程的一般步骤 （1）建系——建立适当的坐标系. （2）设点——设轨迹上的任一点P（x，y）. （3）列式——列出动点P所满足的关系式. （4）代换——依条件式的特点，选用距离公式、
斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简. （5）证明——证明所求方程即为符合条件的动
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题型二 利用定义法求轨迹方程 【例2】一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆
x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程， 并说明它是什么样的曲线. 思维启迪 利用两圆的位置关系—相切这一性 质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再 从关系分析满足何种曲线的定义.
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解 方法一 如图所示，设动圆圆心为M（x，y），
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解 设点M的坐标为（x,y）, ∵M是线段AB的中点， ∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）. ∴ PA =（2x-2，-4），PB =（-2，2y-4）. 由已知 PA· PB =0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0， 即x+2y-5=0. ∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.
半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的
方程分别配方得：（x+3）2+y2=4,(x-3)2+y2=100,
当动圆与圆O1相外切时，
有|O1M|=R+2.
①
当动圆与圆O2相内切时，
有|O2M|=10-R.
②
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将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|， ∴动圆圆心M（x,y）到点O1（-3,0）和O2（3,0） 的距离和是常数12， 所以点M的轨迹是焦点为O1（-3,0）、O2（3,0）, 长轴长等于12的椭圆. ∴2c=6，2a=12，∴c=3，a=6，∴b2=36-9=27， ∴圆心轨迹方程为 x2 y2 1, 轨迹为椭圆.
36 27
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方法二 由方法一可得方程
(x 3)2 y2 (x 3)2 y2 12,
移项再两边分别平方得：
2 (x 3)2 y2 12 x.
两边再平方得3x2+4y2-108=0，整理得
x2 y2 1, 36 27
所以,动圆圆心的轨迹方程是 x2 y2 1,轨迹是椭圆. 36 27
6
2.方程x2+xy=x的曲线是
A.一个点
B.一条直线
（ C）
C.两条直线
D.一个点和一条直线
解析 方程变为x（x+y-1）=0，
∴x=0或x+y-1=0.
故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.
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3.已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P（x,y） 满足 PA · PB =x2-6，则点P的轨迹是 （ D ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析 PA =（-2-x，-y）， PB =（3-x，-y）， 则 PA· PB =（-2-x）（3-x）+（-y）2=x2-6， 化简得y2=x,轨迹为抛物线.
2
2
得x0=
Fra Baidu bibliotek
1
2 2
x
，y0=（1+
2 ）y.
因为|AB|=1+
2
，即x
2 0
+y
2 0
=（1+
2 ）2，
26
2
所以1
2 2
x
[(1
2) y]2 (1
2)2,
化简得 x2 y2 1. 2
∴点P的轨迹方程为 x2 y2 1. 2
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思想方法 感悟提高
方法与技巧 1.弦长公式:直线y=kx+b与二次曲线C交于P1（x1,y1）
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探究提高 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求 的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方 程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥 曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列 出等式，化简求得方程.
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知能迁移2 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:（x-3）2 +y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆 心M的轨迹方程. 解 如图所示，设动圆M与圆 C1及圆C2分别外切于点A和点 B，根据两圆外切的充要条件， 得 |MC1|-|AC1|=|MA|， |MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|， 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.
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基础自测
1.f（x0，y0）=0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）
=0上的
（ C）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系，
∵f（x0，y0）=0可知点P（x0,y0）在曲线f（x,y）=0上， 又P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上时，有f（x0，y0）=0， ∴f（x0，y0）=0是P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0 上的充要条件.
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探究提高 （1）本题中的等量关系还有kPA·kPB= -1，|AB|=2|PM|.但利用kPA·kPB=-1时，应分直 线l1斜率存在和不存在两种情况,应用|AB|=2|PM| 时，运算较繁. （2）求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯 粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上.
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知能迁移1 已知动点M到定点A(1,0)与定直线l:x=3 的距离之和等于4,求动点M的轨迹方程. 解 如图所示,设M（x,y）是轨迹上
与P2(x2,y2)得到的弦长为
P1P2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2 1 k 2 (x1 x2 )2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
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2.求轨迹的方法 （1）直接法： 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 （如距离与角）的等量关系，或这些几何条件简 单明了且易于表达,我们只需把这种关系转化为 x、y的等式就得到曲线的轨迹方程. （2）定义法： 其动点的轨迹符合某一基本轨迹（如直线与圆 锥曲线）的定义，则可根据定义采用设方程， 求方程系数得到动点的轨迹方程.
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4.已知定点P（x0，y0）不在直线l:f(x,y)=0上，则
方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条
（ B）
A.过点P且垂直于l的直线
B.过点P且平行于l的直线
C.不过点P但垂直于l的直线
D.不过点P但平行于l的直线
解析 ∵P（x0，y0）不在直线l上,∴f（x0，y0）≠0. ∴方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的直线与l平行. 又f（x0，y0）-f（x0，y0）=0. ∴点P（x0，y0）在方程f（x，y）-f（x0，y0）=0 表示的直线上，即直线过P点.
语文
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§7.4 曲线与方程 基础知识 自主学习
要点梳理 1.曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上 的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了 如下关系： （1）曲线上点的坐标都是 这个方程的解 . （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 . 那么这个方程叫做曲线的方程 ，这条曲线叫做
[2分]
则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，
又因为R是弦AB的中点，依垂径
定理有
Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=
36-（x
2 1
+y
2）.
1
又|AR|=|PR|= (x1 4)2 y12 ,
所以有（x1-4）2+y
2 1
=36-（x
2 1
+y 2）. 1
即x
2 1
+y
2 1
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知能迁移3 已知长为1+ 2 的线段AB的两个端点 A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且
AP = 2 PB .求点P的轨迹C的方程. 解 设A2（x0，0），B（0，y0），P（x，y），
AP 2 PB, 2
又 AP =（x-x0，y）， PB =（-x，y0-y），
所以x-x0=- 2 x，y= 2 （y0-y）
点轨迹方程.
4
3.两曲线的交点 （1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐
标应该是两个曲线方程的公共解 ，即两个曲线方 程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几 组解，两条曲线就有几个交点，方程组 无解，两 条曲线就没有交点. （2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所 组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题， 就是求由它们的方程所组成的方程组的实数 解问题.
任意一点,作MN⊥l于N. 则|MA|+|MN|=4，即 (x 1)2 y2 =4-|x-3|. 当3≤x≤4时， (x 1)2 y2 =7-x. 即y2=-12(x-4) (3≤x≤4). 当0≤x≤3时， (x 1)2 y2 =x+1, 即y2=4x (0≤x≤3). ∴M的轨迹方程是y2=-12(x-4) (3≤x≤4) 和y2=4x(0≤x≤3).
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失误与防范 1.求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，
一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程； 当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线 方程. 2.求曲线轨迹方程时，常常要设曲线上任意一点 的坐标为（x,y）,然后求x与y的关系.
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3.在求轨迹方程五种类型中，单从思维角度应该 分为两个方面：一是用定义法,（从已知曲线类 型、或从距离关系中）能判断到曲线类型时,再 用待定系数法求曲线方程；二是,当未知曲线类 型时用其它四种方法求曲线方程.
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在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何 性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹是 否满足圆锥曲线的定义. 定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同处在于： 此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类 型，再利用待定系数法求轨迹方程. （3）代入法（相关点法）： 当所求动点M是随着另一动点P（称之为相关点） 而运动.如果相关点P所满足某一曲线方程，这时 我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关 点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化 为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关 点法或坐标代换法.
-4x1-10=0.
[4分] [8分]
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因为R为PQ的中点，所以x1
x4 2 , y1
y0. 2
代入方程x
2 1
+y
2 1
-4x1-10=0，得
x
4
2
y
2
4
x
4
10
0.
2 2
2
整理得x2+y2=56.
[10分]
这就是Q点的轨迹方程.
[12分]
24
探究提高 相关点法也叫坐标转移（代入）法，是 求轨迹方程常用的方法.其题目特征是：点A的运动 与点B的运动相关,且点B的运动有规律（有方程）， 只需将A的坐标转移到B的坐标中,整理即可得A的轨 迹方程.
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这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2. 根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支 （点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里 a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹 方程为 x2 y2 1 (x≤-1).
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题型三 相关点法(代入法)求轨迹方程 【例3】（12分）已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的
4.仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择的 求轨迹方法,哪些类型、哪些已知条件适合哪一 种方法，要融会贯通，不可乱用方法！
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定时检测
一、选择题
1.如果命题“坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上”
不正确.那么，以下正确的命题是
圆心，以2为半径的圆.
∴所围成的图形的面积等于 ·22=4 .
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题型分类 深度剖析
题型一 直接法求轨迹方程 【例1】如图所示，过点P（2，4）
作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x 轴于A，l2交y轴于B，求线段AB 中点M的轨迹方程. 思维启迪 设M（x，y），则A、B两点坐标可 用x,y表示，再利用 PA· PB =0,建立等式即可.