第九讲 几何图形的归纳、猜想问题(含答案).doc

中考数学重难点专题讲座

第九讲 几何图形的归纳,猜想,证明问题

【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n 等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。

第一部分 真题精讲

【例1】2010，海淀，一模

如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用

含n 的式子表示）．

C 5C 4

C 3

C 2

C 1

B B B 2B A

【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是

22B AC ∆,33B AC ∆这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先2S 所代表的三

角形的底边2C 2D 是三角形2AC 2D 的底边,而这个三角形和△3AC 3B 是相似的.所以边长的比例就是2AC 与3AC 的比值.

于是

212223S = 接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,

B 点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,

C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出

n D 自然是所在边上的n+1等分点.例如2D 就是2B 2C 的一个三等分点.于是1121

n n n D C n +-=

⋅+(n+1-1是什么意思?为什么要

减

1?)

11122n n n B D C n n S D C +∆=

【例2】2010，西城，一模

在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐

标分别为(20)-，n ，(0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数），则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有n 的式子表示）．

【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔

者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）

(0,n),自然可以写出直线解析式为12

y x n =

+,

斜率12

意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT 三角形一共有2n/2=n

个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是12

?而且这些直角三角形都是全等的,面积均

为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB 的面积自然就是1

22

n n ⋅⋅,所有n

个空白

小三角形的面积之和为

1212

n ⋅⋅⋅,相减之后自然就是所有格点正方形的面积2

n n -,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是2

44n n -.

【例3】2010，平谷，一模

如图，45AOB ∠=︒，过OA 上到点O 的距离分别为1357911...，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1

2

3

4

S S S S ，，，，．则第一个黑

色梯形的面积1S = ；观察图中的规律，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积

n S = ．

A

...

1311975310

【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为45AOB ∠=︒，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。

第一个梯形上底是1，下底是3，所以()11

13242

S =⋅+⋅=.第二个梯形面积()21572122S =

⋅+⋅=,第三个是()31

9112202

S =⋅+⋅=,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n 个梯形的上

底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是n S就是8n-4.

【例4】2010，丰台，一模

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有个．

【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于

A B C D来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有

n n n n

A B C D就是80个.

(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是

10101010

【例5】2010，宣武，一模

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．