教学案例.杨辉三角与二项式系数性质

二项式系数的性质(第一课时)

学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标

（一）知识与技能

1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.

2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观

1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.

2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．．

●教学重点：二项式系数的性质

●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n r n r r n n n

n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r

n n

n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r

r n

T C a b -+= 二、引入

通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时，

n b a )(+二项式系数，如下表所示：

表1

此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年

11

01C

C 02

C 12

C 2

2C 0

3

C

13

C

23

C

33

C

1

4C 0

4

C 3

4C 2

4C 4

4C 05

C

15

C

25

C

35

C

45

C

55

C

下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质

三、探究

观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】

•1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中

•2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 •3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1

②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释）

【提示】设这一数为

r

C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知：

③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

④中间的数值最大

2、二项式系数的函数观点

n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n .

从函数角度看，r

n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝

当n=5及n=6时，分别作出其图象

图1 图2

据图可分析出函数r

n C r f =)(，图象的对称轴是2

n r =

3、二项式系数的性质

据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．

直线2

n

r =

是图象的对称轴． [典型问题] .已知5

15C =a ，9

15C =b ，那么10

16C =__________；

【2】增减性与最大值

∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k

----+-+==⋅

L ， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，11

12

n k n k k -++>⇔<

， Ⅰ.当21

+≤n k 时，二项式系数逐渐增大．

当2

1+≥n k 时，二项式系数逐渐增大

根据对称性可知，在中间取得最大值； Ⅱ.当n 是偶数时，中间一项2n n

C 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项12n n

C -，12n n

C

+取得最大值．

[典型问题]

2．在9)(b a +的展开式中，二项式的系数最大是第____项，最大值为____ 3.若n b a )(+的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则___=n 4n

x x )1(2

3+

展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( )

【3】各二项式系数和[．赋值法．．．]．

∵1(1)1n r r n

n n x C x C x x +=+++++L L ，

令1x =，则0122n r n

n n n n n C C C C C =++++++L L [组合数公式]

[典型问题]

5.111C

+

3

11C

+…+

1111

C

=____ =+++++++++++++1

1

211101210n n n n n n n

n n n C C C C C C C C ΛΛ；

四、经典例题

例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式01()()n n n r n r r n n

n

n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-L ，