莱布尼茨与微积分

莱布尼茨与微积分

今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有像十七世纪下半叶微积分的发明那样被瞧作人类精神的最高

胜利了,如果在某个地方我们瞧到人类精神的纯粹的与唯一的功绩,那就正就是在这里。”接下来我将从五个方面来介绍莱布尼茨的生平事迹。

一、人物简介

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646年－1716年),德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴,被誉为十七世纪的亚里士多德。与牛顿先后独立发明了微积分。

二、人物生平

早期(致力于哲学):

1、生于公元1646年7月1日书香之家,父亲道德哲学教授,母亲出身于教授家庭。

2、 8岁时,莱布尼茨进入尼古拉学校,学习拉丁文、希腊文、修辞学、算术、逻辑、音乐以及《圣经》、路德教义等。

3、 1661年,15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律。

4、 1663年5月,她以《论个体原则方面的形而上学争论》一文获学士学位。

晚期(致力于自然科学):

1、 1667年2月,莱布尼茨发表了她的第一篇数学论文《论组合的艺术》

2、 1672年,莱布尼茨作为一名外交官出使巴黎,深受惠更斯的启发,决心钻研高等数学,并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作,开始微积分的创造性工作。

3、 1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小与切线的新方法,它也适用于分式与无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》,就是最早的微积分文献。

4、 1686年发表她的第一部积分学论文《深奥的几何与不可分量及

无限的分析》,提出摆线方程

y=这篇论文中⎰

第一次出现在印刷板物上。

5、 1713年,莱布尼茨发表了《微积分的历史与起源》一文,总结了自己创立微积分学的思路,说明了自己成就的独立性。

6、公元1716年11月14日,由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后,莱布尼茨孤寂地离开了人世,终年70岁。

三、个人成就

(一)微积分的创立

1.创立了很多微积分符号

1675年到1677年她创造出了,,dx dy ⎰这些符号,用dx 表示相邻两

个x 的差;dy 表示相邻两个y 的差,也就是函数的微分;用dy dx

表示成切线的斜率;⎰代替了以前的与号“omn ”(⎰就是sum 的第一个字

母);ydx ⎰表示面积。

2、 给出了dy 的演算法则

加法与减法:如果 v x y w z =-++,则 dv dx dy dw dz =-++

乘 法:,y vx dy xdv vdx ==+

除 法: 2

v vdy ydv d y y ⎛⎫±= ⎪⎝⎭m ,等。 3、微积分基本定理

莱布尼兹在手稿中阐述:给定一条曲线,其纵坐标为y ,求该曲线下

的面积。

她假设可以求出一条曲线(她称之为割圆曲线),它的纵坐标为z ,

使得:dz y dx

= 即dz ydx = 。她发现曲线的面积ydx dz z ==⎰⎰ ,莱布尼兹通常假设曲线z 通过原点。这就将求面积的问题转化成了反切线的问

题,即要求曲线的面积只需要找到一条曲线,使它的切线的斜率为

dz y dx

=,如果实在区间(),a b 上,则只需用在()0,b 的面积减去()0,a 的面积便得到()()b

a ydx z

b z a =-⎰。

问题的关键:

没有发现微分与积分就是互逆的两种运算,而这正就是微积分建立的

关键所在。只有确立了这一基本关系,才能在此基础上构建系统的微

积分学 。 微积分创建工作的完成:

1、莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求

极大极小的奇妙类型的计算》,就是最早的微积分文献。对微积分的

创建有着划时代的意义。

2、莱布尼茨从几何问题出发,运用分析学方法引进微积分概念、得

出微积分运算法则。

3、莱布尼茨创建巧妙简洁的微积分符号 ,对微积分的发展有极大

影响 。

4、1713年,莱布尼茨发表《微积分的历史与起源》一文,总结了自

己创建微积分的历程。

牛顿、莱布尼兹创立微积分的比较:

牛顿坚持唯物论的经验论,特别重视实验与归纳推理。她在研究经典

力学规律与万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,,因此

牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值

等问题的方法———流数法。“牛顿的研究采用了最初比与最后比的方法。她认为流数就是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就就是在初生的瞬间的比值,消失量的最后比就就是量在消失的瞬间的比值。”这个解释太模糊了,算不上精确的数学概念,只不过就是一种直观的描述。最初比与最后比的物理原型就是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中的每一瞬间具有的速度就是自明的,牛顿就就是从这个客观事实出发提出了最初比与最后比的直观概念。这样她就给出了极限的观点。

莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”与“求积问题”,她从微分三角形认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值;求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之与或无限薄的矩形之与。莱布尼兹认识到求与与求差运算就是可逆的。莱布尼兹用无穷小的思想给出了微积分的基本定理,并发展成为高阶微分。莱布尼兹在微积分的研究过程中,连续性原则成为其工作的基石,而连续性原则就是扎根于她哲学中无限的本质的思想。

一、牛顿与莱布尼兹创立微积分的相同点:

1、都使微积分不再就是几何学的延伸,建立在符号运算的基础上,具有一般性,使之成具有广泛应用的学科;

2、把求积问题归结为微分问题的逆问题,从而建立了微积分基本定理;

3、把微积分建立在实无穷小的基础上,后来她们为回避无穷小运算上