数学建模装箱问题
数学建模之锁具装箱问题
P181 锁具装箱1.某厂生产一种弹子锁具，每个锁具有n个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4}这4个数（单位略）中任取一个，限制至少有一个相邻的槽高之差等于3，且至少有3个不同的槽高，每个槽的高度取遍这4个数且满足上面这两个限制时生产出一批锁（例如，当n等于3时，3个槽高为1，4，2的锁符合要求，而3个槽高为1，4，4的锁不满足要求）。
求一批锁的把数。
解：取不同的n的值，通过matlab编程，求出对应的锁的把数（1）当n=3时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;amax=max([a1,a2,a3]');amin=min([a1,a2,a3]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendends输出结果：s =8所以当每个锁具有3个槽时，满足要求的这批锁的把数为8把。
（2）当n=4时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1for j4=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;a4=j4;amax=max([a1,a2,a3,a4]');amin=min([a1,a2,a3,a4]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin)+( amax-a4)*(a4-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3),abs(a3-a4)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendendends输出结果：s =64所以当每个锁具有4个槽时，满足要求的这批锁的把数为64把。
2023年第三届长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题
2023年第三届长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题题目：快递包裹装箱优化问题一、问题描述随着电子商务的快速发展，快递行业也日益繁荣。
在快递包裹的打包和运输过程中，如何实现高效、节约和环保成为了亟待解决的问题。
本题将围绕快递包裹的装箱优化展开讨论。
二、问题分析1. 问题分析：首先，我们需要对题目的要求进行深入理解。
题目要求我们针对给定的快递包裹，设计一个装箱优化方案，以满足节约空间、提高运输效率以及环保等要求。
这涉及到的问题包括但不限于：如何合理安排包裹的空间布局，如何减少不必要的空间浪费，以及如何考虑环保因素等。
2. 数学建模：为了解决这个问题，我们可以采用数学建模的方法。
首先，我们需要对每个包裹的尺寸和重量进行测量和统计。
然后，我们可以使用线性规划或整数规划的方法来建立模型，以确定如何将包裹放入一个或多个箱子中，以便最大化利用空间并最小化运输成本。
在这个过程中，我们还需要考虑到环保因素，比如包装材料的可回收性和可降解性等。
3. 算法设计：在确定了数学模型后，我们需要设计相应的算法来求解这个问题。
我们可以采用启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法或蚁群算法等，来寻找最优解或近似最优解。
这些算法可以在较短的时间内给出较为满意的解决方案。
4. 结果分析：最后，我们需要对算法的结果进行分析和评估。
我们可以比较优化后的装箱方案与原始方案在空间利用率、运输成本和环保方面的差异，以验证优化方案的有效性和优越性。
三、解决方案1. 数据收集：首先，我们需要收集相关的数据。
这包括每个快递包裹的尺寸、重量、价值以及箱子的尺寸、重量限制、成本等信息。
这些数据可以通过实际测量或从快递公司获取。
2. 建立模型：然后，我们使用数学建模的方法来建立装箱优化模型。
在这个模型中，我们可以定义决策变量（如每个箱子的尺寸和重量）、目标函数（如最大化空间利用率或最小化运输成本）和约束条件（如箱子的尺寸和重量限制）。
3. 算法设计：接下来，我们设计相应的算法来求解这个优化问题。
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题摘要本文针对包装箱的运输问题，建立了关于使得平板车空间浪费最小的一般数学模型与方法。
即使得空间浪费最小的最优解，属于优化类模型。
利用线性规划原理对问题进行分析求解，建立数学模型。
首先，将7种包装箱的厚度和重量分别设成相应的未知数，方便在题中的代入求解。
由此再进一步的研究。
对于问题，假设出各辆铁路平板车所载的7种包装箱的数目。
并考虑到铁路平板车，对所载包装箱的高度、重量等要求，利用所设未知数和已知的条件限制建立约束条件。
再对铁路平板车得空间浪费最少建立目标函数。
由此，可建立线性规划数学模型，对本文问题进行求解。
利用LINGO编程进行求得最优解,即得到最优设计方案：第一辆平板车载C1种类型的包装箱0件，C2种类型的包装箱5件，C3类型的包装箱2件，C4种类型的包装箱5件，C5种类型的包装箱2件，C6种类型的包装箱1件，C7种类型的包装箱2件；另一辆平板车载C1种类型的包装箱6件，C2种类型的包装箱2件，C3种类型的包装箱6件，C4种类型的包装箱0件，C5种类型的包装箱0件，C6种类型的包装箱0件，C7种类型的包装箱4件；这样的装载能使得两辆平板车的使用高度达到20.4米，空间利用率达到100%。
关键词：最小浪费空间、长度、重量、数量。
一、问题重述有 7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以kg 计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），问:应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小？试建立此问题的数学模型。
二、模型假设2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响。
3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性。
4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；三、符号定义说明i a : 表示第i 类包装箱的厚度 i b ：表示第i 类包装箱的重量 i c ：表示第i 类包装箱i x ：表示在其中一辆车上装第i 类包装箱x 件 i y ：表示在另一辆车上装第i 类包装箱y 件 （i=1,2,3,4,5,6,7）四、问题分析七种包装箱的重量和W= =89t ，而两辆平板车只能载240=80t ，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。
数学建模过程(讨论问题-锁具装箱问题)
§1.4.2 模型假设
一、意义： 假设是简化实际问题的必须手段。 假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且条
理更加清晰。
做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。 二、作用： 1、简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标更紧密 的相关因素及其关系。 2、使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是对实际问 题的近似刻划，这种数学形式应该符合数学的要求，不能显示 出任何逻辑破绽。
2. 原则:
1）深入理解问题的含义和背景。 2）确立解决该问题的最高层目标。 3）从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高目
标的各个子层。
4）坚持抓主要因素和主要关系的原则 二、符号设定 符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模型
过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号都
是相对独立地首先设定的。
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201
锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽高度从{1，2，3，4，5，6} （单位略）中任取一个数，由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限 制：至少有3个不同的数；相邻两个槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所 有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前的工艺 条件下，对于同一批锁是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5个槽的高度中 有4个相同，另一个槽的高度差1，则可能互开；在其它情形下不可能互开。
二、模型求解 模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行.
1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给出求解过 程。 2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算法计算出 问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结 构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是， 不借助于计算机，求解工作一般无法完成。
数学建模装箱问题
2 对于每个物品 Jj 总是放在能容纳它的具 有最小标号的箱子
计算复杂性为 Onlogn
但精度比NF 算法更高
§3 装箱问题的近似算法
Theorem 3 4
zFF (I ) 7 . zopt (I ) 4
7 17 1 4 10 20
Theorem 3 5 对任意实例 I ;
个箱子中第一个物品,因此这两个箱子中物品的总长度
大于 C ;所以前 2k 个箱子中物品的总长度大于 Ck
n
这与 w i
i1
考虑实例
I
Ck
:C
=矛1,盾w .1 ,w 2 , ,zzw o Np4 FtN ((II )) 1 2 ,22 ,1 N 从 ,1 2 ,而 2 1 N ,RN,F1 2 ,2 1 2 N .
若 B2 能放得下;则 J3 放入 B2 , 否则启用 B3, J3 放入 B3
第八章 装箱问题
一般地;J1,…，Jj 已放入 B1,…，Bi 箱子，对于 Jj+1, 则依次检查 B1，B2,…，Bi，将 Jj+1 放入首先找到的能 放得下的箱子，如果都放不下，则启用箱子 Bi+1 ，将 Jj+1 放入 Bi+1 ，如此继续，直到所有物品装完为止
第八章 装箱问题
§3 装箱问题的近似算法
一 NF Next Fit 算法 设对物当品前J要1;装J2,的…物，品Jn 的Ji 只长关度心分具别有为最w1大，下w2标,…的，已w使n
箱用子过B的1，箱B子2，B…j 能的否长装均得为下C ，按物品给定的顺序装箱 能 先则将JJi 1放放入入BBj ；1, 如否果. 关w1闭wB2j;JCi 放则入将新J箱2 放子入BBj+11 .… 如果 w 1 w 2 w j C 而 w 1 w 2 w j w j 1 C 则 B1 已放入 J1;J2,…，Jj，将其关闭，将 Jj+1 放入 B2
箱子的摆放问题数学建模
箱子的摆放策略摘要本文针对箱子的摆放的优化铺设问题，采用了循环嵌套式算法，建立了利用率最优化的整数规划模型，使用LINGO、MATLAB求解，并用Excel进行画图，实现了箱子最优摆放与评价。
对于问题一，建立在不允许箱子超出底边的情况下，所能摆放最多箱子的数学模型。
借助于循环嵌套式算法，采用改进后的由外至内逐步优化的模型：首先对各边的外层进行摆放，使其边界利用率最高，再对内层剩余矩形空间进行摆放，一直循环，至内部剩余空间无法放入箱子为止。
用MATLAB编程、求解分析：以此模型摆放，第一种箱子个数为16、第二种箱子个数为4、第三种箱子个数为20。
对于问题二，建立在允许箱子超出上、左、右边的情况下，所能摆放最多箱子的数学模型。
建立由下至上逐步优化模型：以底边为基，将其两边各向外扩充半个长边的长度，先对底边进行摆放，使其边界利用率最高，再向上堆叠，使箱子间无空隙，使面积利用率最大，至上侧最多超出半个箱子边长为止。
用lingo编程、求解分析：以此模型摆放，第一种箱子个数为23、第二种箱子个数为8、第三种箱子个数为28。
对于问题三，我们采用左右对称，箱子横放，向上堆叠，左、右、上边各超出少许的方案。
引入箱子个数、稳定性两个指标，通过线性加权评价的方式，对此方案与模型一进行评价分析。
得出了在在实际情况中，当考虑不同权重的综合指数时，模型一与模型三的摆放方式各有优劣性的结论。
关键词：利用率最高循环嵌套式算法线性加权评价一、问题重述叉车是指对成件货物进行装卸、堆垛和作业的各种轮式搬运车辆。
如何摆放箱子，使得叉车能将最多的货物从生产车间运输至仓库是众多企业关心的问题。
现将箱子的底面统一简化为形状、尺寸相同的长方形，叉车底板设定为一个边长为1.1米的正方形。
要求建立一个通用的优化模型，在给定长方形箱子的长和宽之后，就能利用这个模型算出使得箱子数量最多的摆放方法。
本题需要解决的问题有：问题一：在不允许箱子超出叉车底板，也不允许箱子相互重叠的情况下，构建一个优化模型，并根据题目中提供的三种型号箱子的数据，确定可以摆放的个数及摆放示意图。
三维装箱问题算法
三维装箱问题算法一、问题概述三维装箱问题是一种经典的优化问题，涉及到在有限的空间内放置多个物体，以满足一定的约束条件并最大化空间利用率。
在这个问题中，我们考虑一个三维盒子，其中可以放置一定数量的物体，每个物体都有一定的体积，我们需要找到一种放置方式，使得盒子的剩余空间最小。
二、算法介绍为了解决三维装箱问题，我们可以使用多种算法，其中一种常用的算法是遗传算法。
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机制来寻找问题的最优解。
具体步骤如下：1. 初始化：随机生成一组装箱方案，作为种群。
2. 评估：对每个装箱方案进行评估，计算剩余空间的大小。
3. 选择：根据每个装箱方案的剩余空间大小，选择出适应度较高的方案作为父代。
4. 交叉：对父代进行交叉操作，生成新的子代。
5. 变异：对子代进行变异操作，以增加种群的多样性。
6. 终止条件：当满足终止条件（如达到最大迭代次数或找到满足要求的解）时，停止算法，输出当前最优解。
三、算法实现下面是一个简单的遗传算法实现示例，使用Python语言编写：```pythonimport numpy as np# 定义适应度函数def fitness(solution):remaining_space = np.prod(solution) -np.prod(np.delete(solution, axis=0))return remaining_space# 初始化种群population = np.random.randint(low=1, high=10, size=(pop_size, 3)) # 迭代进化for generation in range(max_generations):# 评估种群中每个装箱方案的适应度fitness_values = np.apply_along_axis(fitness, axis=1,arr=population)# 选择适应度较高的方案作为父代parents = np.argmax(fitness_values, axis=0)# 进行交叉和变异操作offspring = crossover(population, parents)population = offspring + np.random.randint(low=-1, high=1, size=offspring.shape, dtype=np.int32)# 输出当前最优解和最优解的适应度值if generation % print_freq == 0:best_solution = np.argmin(fitness_values)best_fitness = fitness_values[best_solution]print(f"Generation {generation}: Best solution:{best_solution}, Best fitness: {best_fitness}")# 判断是否达到终止条件，如果是则输出最终结果if best_fitness <= optimal_fitness:break```以上代码实现了一个简单的遗传算法，通过交叉和变异操作生成新的种群，并在每一代选择适应度较高的方案作为父代进行繁殖，最终得到最优解。
装箱设计问题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2011 年 07 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要题目要求及有关数据我们可以把平板车装包装箱问题看成线性规划的问题进行处理，首先我们把求浪费空间最小转化为求装包装箱空间最大的问题，同时我们取每种包装箱的数量为变量，然后我们根据每一种包装箱的厚度列出每一辆车的装货时占用的空间，我们先把两辆车看成一个整体，求出两辆车占用的空间之和，然后再把这个整体分成两部分，也就是求每一辆车上所装包装箱的种类和数量。
这样我们就可以以占用两辆车的空间之和作为目标函数MAX S。
根据题意装在每一辆车上的包装箱总厚度不能超过平板车的长度；装在每一辆车上的总重量不能超过每一辆平板车的最大载重量；还有对第5、6、7类包装箱占用的空间不能超过题目中的要求；同时，装在两辆车上的同类包装箱的总件数不能超过题目给的件数，并且变量要取正整数。
在这些约束条件之下对目标函数进行求解，我们使用LINGO软件进行编程求解，最后得到装包装箱的总的最大空间为2039.9cm，即浪费的最小空间为0.1cm。
数学建模例题：锁具装箱
2. 排序
将待装箱的锁具按照体积从小到大或数量 从少到多进行排序。
4. 优化
根据所采用的算法（贪心算法、遗传算法 或模拟退火算法），对装箱的结果进行优 化，以提高空间利用率或寻找最优解。
3. 装箱
按照排序后的顺序，逐个将锁具放入箱子 中，如果箱子的剩余容量不足以放入当前 锁具，则将该锁具放入下一个箱子。
问题的目标
• 锁具装箱问题的目标是寻找一种 最优的装箱方案，使得在满足每 个箱子装载数量限制的前提下， 所有箱子的装载总重量最小化。 具体来说，我们需要确定每个箱 子中锁具的数量和种类，以便在 满足总重量限制的条件下最小化 装箱成本。同时，还需要考虑到 锁具的体积和形状，以确保箱子 能够充分利用空间，避免浪费。
和相应的箱子尺寸。
优缺点分析
优点：
混合整数规划方法能够综合考虑锁具 的固定需求和装箱体积最大化两个目
标，得到最优解。
该方法具有通用性，可以应用于其他 类似的装箱问题，只需根据实际情况 调整模型参数即可。
缺点：
由于锁具的形状和尺寸差异较大，对 于某些特殊形状的锁具，可能难以找 到合适的装箱方案。
在实际操作中，还需要考虑装箱成本、 运输便利性等因素，这些在本例中未 作考虑。
算法复杂度分析
时间复杂度
贪心算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待装箱的锁具数量；遗传算法的时间复杂 度为O(t*n*m)，其中t为迭代次数，n为锁具数量，m为种群规模；模拟退火算法的时
间复杂度为O(t*n)，其中t为迭代次数，n为锁具数量。
空间复杂度
贪心算法的空间复杂度为O(n)，需要存储待装箱的锁具列表；遗传算法和模拟退火算 法的空间复杂度分别为O(m)和O(1)，其中m为种群规模。
数学建模过程(讨论问题-锁具装箱问题)(精选)22页PPT
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
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50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！Biblioteka
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题是指将一批物品放置到有限的几个箱子中，使得每个箱子的利用率最高且所使用的箱子数量最少。
这是一个经典的数学优化问题，可以通过以下步骤进行建模：
1. 定义变量：假设有 n 个物品需要装箱，第 i 个物品的体积为 vi，第 j 个箱子的容积为 cj，定义决策变量 xi,j 表示将第 i 个物品放入第 j 个箱子中（取值为0或1）。
2. 约束条件：每个物品只能被放入一个箱子中，即∑j xi,j = 1，同时每个箱子的容积不能超过其限制，即∑i vi xi,j ≤ cj。
3. 目标函数：目标是最小化使用的箱子数量，因此可以定义目标函数为∑j ∑i xi,j。
4. 模型求解：该问题可以转化为混合整数线性规划问题，可以使用商业软件（如Gurobi、CPLEX等）求解，也可以使用启发式算法（如遗传算法、模拟退火等）进行求解。
需要注意的是，该问题存在多项式时间内可解的算法，但是在实际应用中，由于数据规模较大，通常需要使用近似算法或者启发式算法进行求解。
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题是指在物流运输过程中，如何合理地将货物装箱以最大限度地利用装载空间，并确保货物的安全和稳定。
这是一个复杂的问题，需要综合考虑货物的形状、尺寸、重量、数量以及运输工具的限制等因素。
数学建模可以帮助我们在物流装箱问题中找到最优的解决方案。
首先，我们可以将货物的形状和尺寸抽象为几何体，如长方体、圆柱体等。
然后，通过数学方法计算每个货物的体积，并根据运输工具的限制，确定每个装箱的容量。
接下来，我们可以将问题转化为一个优化问题，即如何在有限的容量内，最大化装载的货物总体积。
在数学建模过程中，我们可以利用线性规划、整数规划、动态规划等方法来求解最优解。
通过确定目标函数和约束条件，我们可以使用数学模型来找到最佳的装箱方案。
同时，我们还可以考虑一些实际问题，如货物的稳定性、避免堆叠过高、减少装卸时间等因素，来综合评估每个装箱方案的可行性。
此外，随着科技的发展，人工智能和机器学习等技术也可以应用于物流装箱问题的数学建模中。
通过对大量历史数据的分析和学习，我们可以提前预测不同类型货物的运输需求，并自动优化装箱方案，提高装箱效率和节省运输成本。
总之，物流装箱问题数学建模是一个复杂且具有挑战性的问题。
通过运用数学方法和相关技术，我们可以找到最优解决方案，提高装箱效率，减少物流成本，提升物流运输的整体效益。
长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题
长三角高校数学建模竞赛快递包裹装箱优化问题随着电子商务的迅速发展，快递行业成为中国物流行业中的重要组成部分。
快递包裹的及时送达和安全运输是快递企业必须面对的重要挑战之一。
针对如何在有限的空间中最大化地装载包裹，优化装箱方案已成为快递企业的一项重要课题。
本文将重点讨论长三角高校数学建模竞赛中的快递包裹装箱优化问题。
快递包裹装箱问题涉及到如何在有限的空间中合理地摆放不同尺寸和重量的包裹，以便最大化地利用空间并保证包裹的安全运输。
在实际应用中，我们可以将快递箱视为一个三维的容器，而包裹则是不同形状和大小的物体。
装箱优化问题可以归结为如何在给定的容器和包裹条件下，找到最优的摆放方案，使得总体积最小化或者总重量最小化。
对于快递包裹装箱优化问题，我们可以采用数学建模的方法来解决。
首先，我们需要确定一个合适的目标函数，它可以衡量不同装箱方案的优劣。
对于总体积最小化的问题，我们可以将目标函数定义为所有包裹体积的和。
对于总重量最小化的问题，我们可以将目标函数定义为所有包裹重量的和。
在确定目标函数之后，我们可以建立一个数学模型来描述这个优化问题。
在数学模型中，我们需要定义相关的变量和约束条件。
变量可以表示每个包裹的位置和方向，而约束条件则可以限制包裹之间的相互位置以及与容器的边界的关系。
例如，我们可以定义一个二维数组来表示容器的布局，其中每个元素表示一个位置，0表示空位置，1表示有包裹。
我们还可以引入一些约束条件来控制包裹的位置和方向，例如，每个包裹的底部必须在一个平面上，不能旋转等。
在实际应用中，我们可以采用启发式算法来求解这个优化问题。
启发式算法是一种基于经验和直觉的求解方法，它可以在合理的时间内找到一个较好的解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
这些算法都可以通过不断地调整包裹的位置和方向来搜索最优解。
快递包裹装箱优化问题是一个复杂而实际的问题，它涉及到多个变量和约束条件。
通过数学建模和启发式算法，我们可以找到一个较好的装箱方案，以最大化地利用空间并保证包裹的安全运输。
集装箱问题数学建模
集装箱问题数学建模
集装箱问题是一个经典的组合优化问题，目的是在给定一组箱子和一组承载它们的集装箱船舶的情况下，找到一种最佳的装载方案，以最大化船舶的装载量。
为了建立数学模型，我们需要定义以下变量和约束条件：
1. 变量：
- x(i,j): 集装箱i在船舶j中的装载数量，其中i=1,2,...,n，
j=1,2,...,m
2. 目标函数：
- 最大化船舶的总装载量，可以表示为 sum( x(i,j)*v(i) )
3. 约束条件：
- 每个集装箱只能被装载到一个船舶中，即 sum( x(i,j) ) <= 1，对所有i=1,2,...,n
- 每艘船舶的装载量不能超过其承载能力，即
sum( x(i,j)*w(i) ) <= c(j)，对所有j=1,2,...,m
其中，v(i)表示第i个集装箱的体积，w(i)表示第i个集装箱的
重量，c(j)表示第j艘船舶的承载能力。
以上模型可以使用整数规划方法求解，也可以使用启发式算法（如遗传算法、蚁群算法等）进行近似解求解。
如果问题还有其他特定的约束条件（如集装箱之间的相对位置
关系、船舶的航行能力等），还需要根据实际情况进行调整和加入相应的约束条件。
数学建模之锁具装箱
锁具装箱摘要（第06组）本文针对锁具如何装箱问题，建立了模型，并对其进行了分析和评价。
首先根据排列组合知识，用Matlab编程列举出所有符合条件的锁具，得到一批锁具的个数为5880，可装58箱。
就如何装箱及销售问题，本文根据如何对每一批锁具进行装箱和标记才能是消费者的满意度最高的模型，再具体分析实际销售情况，建立了按槽高进行序贯销售的模型。
即先把槽高和为偶数的锁具按字典序列排序装箱，之后装槽高和为奇数的锁具，并对每一个锁具进行编号，计算锁具“安全”距离的极小值为2562，即42.7箱，得到序贯销售时团体顾客最大购买量为42箱时不会出现互开现象。
顾客抱怨互开程度可用所购的一箱或二箱锁具中平均有多少对可能互开来衡量。
本文运用计算机模拟，得到平均一箱中可以互开的个数为2.33，平均两箱中可以互开的个数为9.41。
关键词：排列组合，数学模型，互开，奇偶，概率一、问题重述某厂生产一种弹子锁具，该锁具的锁匙共有5个槽，每个槽可取6种不同的高度,分别以1-6的整数表示。
在生产中要求每把锁匙的5个槽至少具有3种不同的高度且相邻两槽的高差不能是5。
满足上述条件的互不相同的锁具称为一批。
由于工艺条件的限制，当两把锁匙对应的5个槽的高度有4个相同，另一个槽的高差为1时,两锁具可能互开,否则不能互开。
在锁具出厂时，工厂对锁具按批进行随意装箱，每60付装1箱。
当遇到购买量较大时团体顾客时(买几箱到几十箱)，由于装箱的随意性，容易引起他们对锁具互开现象的抱怨，现要求解决以下几个问题：（1）每批锁具有多少个,可装多少箱；（2）为售销部门提供一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标记，出售时如何利用这些标记，从而使团体顾客不再或减少抱怨；（3）当团体顾客的购买量不超过多少箱时，可以保证一定不会出现互开的情形；（4）按原来的随意装箱方法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度，并对购买一、二箱者给出具体结果。
二、问题假设（1）随机装箱对锁具来说是等可能概率。
数学建模——码头货轮集装箱装卸的优化问题2
码头货轮集装箱装卸的优化问题摘要集装箱“货币化”已成为发展趋势，而港口发展渐渐滞后于集装箱的吞吐量，研究集装箱装卸的优化问题能有效扩大港口生产力，提高港口经济效益。
本文将建立集卡线路规划模型和岸桥、集卡与龙门吊协同优化模型，通过禁忌搜索算法进行求解，并通过青岛港的数据对模型进行实证分析。
对于提高装卸效率，降低装卸成本这一问题，我们将其分解为线路规划、协同优化和模型检验三个子问题进行分析。
针对问题一，我们建立了集卡线路规划模型。
通过对青岛港前湾港集装箱码头（QQCT）的航拍图和雷达图进行分析，画出了码头泊位到堆场的平面图，按照相应的比例尺，得到实际码头与堆场间的距离、各堆场间的相互距离。
通过集卡行驶的速度，计算得到集卡从码头到堆场的时间、集卡在各堆场之间行驶的相互时间和集卡从堆场返回码头的时间。
集卡在运输过程中，要尽量减少空集卡的行驶，即运送集装箱返回的途中携带需要装运到船上的集装箱。
利用第一阶段的禁忌搜索算法，当所需装卸集装箱位置确定后，最短的行驶路线也就计算出来。
针对问题二，我们建立了桥吊、集卡和龙门吊的协同优化模型。
问题一计算的集卡最佳线路分配结果，继续作为桥吊、集卡和龙门吊协同优化的条件。
第二阶段的禁忌搜素算法分析出最合适的桥吊、集卡与龙门吊的比例，桥吊在不等待集卡的情况下效率高。
通过协同优化，得到最高效率的设备分配比例。
针对问题三，我们汇总了附件中所有集装箱的装卸数据，对模型进行检验分析。
以青岛前湾港区为例，通过带入实际数据，得到如下比例关系，即桥吊：集卡：龙门吊为2:10:5。
2辆桥吊工作时配备10辆集卡，5辆轮式龙门吊；3辆桥吊工作时配备15辆集卡，7辆龙门吊；如此分配使相对成本与效率达到最大化。
本文的亮点在于：利用港口的雷达图和航拍图，绘制了港口的分布平面图，分析更贴近实际；以集卡线路规划为突破口，并以此为条件，建立了以集装箱类型为依据的集卡一站式服务（岸桥到堆场的线路标准化）；对数据的分类处理，使计算简洁；协同了集卡、桥吊、龙门吊，采用两个阶段的禁忌搜索算法，将集装箱的装与卸混合在一起计算，比原来对集卡、桥吊，集卡、龙门吊等部分优化更加贴近实际，大大提升了港口的运行效率，并且降低的了成本。
装卸问题数学建模
装卸问题数学建模一、问题背景。
想想，在港口，每天都有大量的货物需要装卸。
这就涉及到好多问题，比如怎么安排工人和装卸设备，才能让装卸效率最高，花费的时间和成本最少？这就需要用到数学建模来帮找到最好的方案。
比如说，一个港口有不同种类的货物，像集装箱、散货啥的，每种货物的装卸难度和所需时间都不一样。
而且港口还有不同类型的装卸设备，像吊车、叉车这些，它们的工作效率和适用的货物类型也各不相同。
那怎么合理安排这些设备和工人去装卸货物，就是要解决的问题。
二、模型假设。
在开始建模之前，得先做一些合理的假设，这样能让问题简单化，更容易找到解决办法。
假设1：装卸设备和工人的工作效率相对稳定。
就好比吊车，它在正常工作状态下，每次吊起货物的时间和吊起的重量基本是固定的。
不会一会儿快一会儿慢，这样就能根据它的稳定效率来安排工作。
假设2：货物的装卸顺序可以灵活安排。
比如说，在不违反一些特殊规定的情况下，可以先装这个集装箱，也可以先装那个，只要最后能把所有货物都顺利装卸完就行。
假设3：不考虑突发状况。
像设备突然坏掉、工人突然生病请假这些突发情况，先不考虑。
先把正常情况下的方案制定好了，之后再根据实际情况做调整。
三、模型建立。
接下来，就根据这些假设来建立数学模型。
目标函数。
的目标就是让装卸总时间最短，或者总成本最低。
比如说，总时间可以用每种货物装卸时间的总和来表示。
如果装一个集装箱需要10分钟，装10个集装箱那就是10×10 = 100分钟。
约束条件。
不过，这也不是随便安排就行的，有一些限制条件。
比如说，设备的数量是有限的。
港口可能只有5台吊车，那安排工作的时候就不能超过这个数量。
再比如说，工人的工作时间也是有限的，一天工作8小时，那超过这个时间就不行。
举个例子哈，假设有两种货物A和B，有两种装卸设备甲和乙。
甲设备装卸A货物效率高，10分钟能装1件；装卸B货物就慢一点，20分钟装1件。
乙设备反过来，装A货物20分钟1件，装B货物10分钟1件。
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§1 装箱问题的描述 BP 的应用举例 ：
Go back
1.44? 7 ? 10.08 ? 10
1、下料问题 轧钢厂生产的线材一般为同一长度 , 而用
户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸 , 如何根据用
户4、提生出产的流要水求线，的用平最衡少问的题线材给截定出流所水需节的拍定C货, ；如何设置 2最、少二的维工作BP站，玻（璃按厂一生定产的出紧长前宽约一束定）的沿大着的流平水板线玻将璃任, 但务用 分户配所到需各玻工璃 作的 站长 上宽. 称可为能带有附许加多优差先异约，束如的何根B据P 用. 户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货 ;
C/2
? ? 又?是?Q最优每这IL3(中解个就a)每的物 需? 个I一品 要1 ?物个需II1品下单2 ??长界独Im2度放a.个x至入?????箱0少,一?????子(为个j? I.3箱waj子,? (，I2
C
?
a j? I2
wj )) I1
C I
2
?? ????????I
3
? 它不能与 I1 中的物品共用箱子 , 但可能与 I2 中的
改进显简由然单于的B穷Pxii是举? 1搜N, P索x-iCj法?问，0 题减(i，?少所j搜),以n索y求i工?解作wC考i量, 虑i,.j
一是尽可能 如? 1:: 分n 支.
? 定是界它法的；一二个是最启优发m解i式n （. z近? ?似nzop）yti ?算i?法1Cwi.
n
i ?1
C((BBPP)) s.t. ? wj xij ? Cyi i ? 1 : n (1)
3、计B算P 机是的容存量贮限问制题的工如厂要选把址大问小题不的同特的例共之一10.MB 的
文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1. 44 MB ,
已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB , 而且一个文件
不能分成几部分存贮，如何用最少的磁盘张数完成 .
第八章 装箱问题
§2 装箱问题的最优解值下界
装箱问题的其他一些提法 ：
1、在装箱时，不仅考虑长度，同时考虑重量或面积、 体积 etc . 即二维、三维、 …装箱问题；
2、对每个箱子的负荷限制不是常数 C ; 而是 Ci , i ? 1 : n. 3、物品J 1，J 2，…，J n 的负荷事先并不知道，来货是
随到随装；即 在线（On-Line ）装箱问题；
问 L(a ) ？? L1 Corollary 3.1
未必！ 如 (wj ? a, j ? 1 : n)
? ? 记 L2 ? max L(a ) 0 ? a ? C 2 , a 为整数
则 L2 是装箱问题的最优解的一个下界，且 L2 ? L1 .
Proof : L2 为最优解的下界是显然的 .
(若证明 L(0) ? L1 ，则可得 L2 ? L1 )
则装箱问题的整数线性规划模型为 ：
(BP)
n
? min z ? yi
n
i ?1
? s.t.
wj xij ? Cyi i ? 1 : n (1)
j ?1
n
? xij ? 1
j ? 1 : n (2)
i?1
yi ? 0 or 1, xij ? 0 or 1 i, j ? 1 : n.
第八章 装箱问题
上述装箱问题是这类问题最最早优被目研标究可如的何，提也？是提 法上最简单的问题，称为一维装箱问题 . 但 BP? NP? C.
物品共用箱子 ，由于放 I2 中物品的 I2 个箱子的剩余
总长度为 C ? I2 C ? ? wj j? I2
在最好的情形下， C 被 I3 中的物品全部充满，故剩
下总长度 w ?
? wj
j? I3
?C
将另外至少与???CIw2
??中个的附物品加如的何？箱子
?
.
§2 装箱问题的最优解值下界
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§1 装箱问题的描述
由于 wi < C，所以 BP 的最优解的箱子数不超过 n . 设约的束物条品y件总i ?（负???101荷）箱不否表子超则示B过：i 被一C使旦；用箱i ?子1 :Bni ;被使用，放入 Bi
约束条x件ij ?（???102）物否表品则示J：j 放每入个箱物子品Bi恰中好放i,入j ?一1个: n箱. 子中 .
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第八章 装箱问题
第八章 装箱问题
§1 装箱问题的描述 §2 装箱问题的最优解值下界 §3 装箱问题的近似算法
第八章 装箱问题
装箱问题（ Bin Packing ）是一个经典的组合优化 问题，有着广泛的应用，在日常生活中也屡见不鲜 .
则
? ? L(a) ?
I1
?
I2
?
max
? ??0, ??
?( ? ? ??
j?
I3
wj
?
(
I2
C?
wj ))
j? I2
C
?? ????????
是最优解的一个下界 .
第八章 装箱问题
C
Proof : 仅考虑对 I1,I2,I3中物品No的te:装w箱可能. 小C-于a 零
Q I1 U I2 中物品的长度大于 C/2 ,
?a ? 表示不小于 a 的最小整数.
?? ??
Theorem 3.2
设 a 是任意满足 0 ? a ? C 2的整数,对 BP 的任一实例 I ,
? ? ? ? 记 I1 ? 物品 j wj ? C ? a , I2 ? 物品 j C ? a ? wj ? C 2 ,
? ? I3 ? 物品 j C 2 ? wj ? a ,
§1 装箱问题的描述
设有许多具有同样结构和负荷的箱子 B1，B2，… 其数量足够供所达到目的之用 . 每个箱子的负荷（可为 长度、重量 etc.）为 C ,今有 n 个负荷为 wj，0 < wj < C j = 1，2，…，n 的物品 J 1，J 2，…，J n 需要装入箱内 . 装箱问题：
是指寻找一种方法，使得能以最小数量的箱子数将 J 1，J 2，…，J n 全部装入箱内 .
j ?1
n
? xij ? 1
j ? 1 : n (2)
i?1
yi 0??0 yoi r? 11,, 0xi?j ?xi0j ?o1r 1 i, ji,?j1?:1n: . n.
§2 装箱问题的最优解值下界
?? n ?
? wi ?
Theorem 3.1
BP
最优值的一个下界为
L1
?
? i?1 ?C
?. ?