第三章-土体中的应力计算

七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
z K s zp x K s xp xz K s xz p
y
B
x
z
x
z
M
x z s s Ks , K , K F ( B , x , z ) F ( , ) F( m , n ) z x xz B B

【解】(1)先求基底净压力（基底附加应力）
pn，由已知条件，得:
pn=p-γod=140-18×0.5=131kPa

(2)求O点下1m深处地基附加应力σzo。
根据l，b，z的值可得:
l/b=2/1=2
z/b=1/1=1
查表2－2得
Ks=0.1999
所以
σzo=4KSpn=104.75（kPa）
i 1
n
i i
式中，
1、各层土容重地下水位以上取天然容重；
2、地下水位以下砂土取浮容重
3、粘性土液性指数IL大于1时取浮容重； 4、粘性土液性指数IL小于等于0时取天然容重，
5、IL在0～1之间时依最不利原则取天然或浮容重。
§3 土体中的应力计算 §3.2 基底压力计算
上部结构
建筑物设计
基础 地基
E2>E1
B
中轴线附近σz比均质时明显减小的现象 —应力扩散； 应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关； 随H/B的增大，应力扩散现象逐渐减弱。
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz 等值线－应力泡
P
P
球根 应力 球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P

（二）偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载作用
e＜L/6时，基底压力成梯 形分布;
e ＝ L/6 时，基底压力为三角 形分布； e＞L/6时，基底压力pmin＜0， 由于地基与基础之间不能承 受拉力，此时基底与地基局 部脱离而使基底压力重新分 布。


基础边缘的最大压力pmax为
pmax=2Fv／3kb
对HAcQ，HAdS两块面积：
l/b=2/0.5=4; z/b=1/0.5=2
查表2－2，得Ks2=0.1350，
则：
σzH=2(Ks1-Ks2) pn=26.2(kPa)
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
y
dP
L
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
z
B
0

afgh cegi dfgi z (K begh K K K )p s s s s
h
i
d
g f
a
b
c
e
习题
如图所示，矩形基底长为4m、 宽为2m，基础埋深为0.5m， 基础两侧土的重度为18kN/m3， 由上部中心荷载和基础自重 计算的基底均布压力为 140kPa。试求基础中心O点 下及边缘A点下、基础外H点 下z＝1m深度处的竖向附加 应力。
角点下的垂直附加应力 ——C氏解的应用
B
z K hph
L z K h F( B , L , z ) F( , ) F(m , n ) B B
ph
L
z
z
z
矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数
查表3-4
§3 土体中的应力计算
--B氏解的应用
§3.3 地基中附加应力的计算
Ks查表获得
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算 三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
2. 任意点的垂直附加应力—角点法 角点法 角点下垂直附加 应力的计算公式
B
C
A
D
叠加原理
地基中任意点的附加应力 两种情况：
a.矩形面积内 A B D z (K s Ks KC K s s )p b.矩形面积外
§3.4 基底压力计算
•大小 •方向 •分布
荷载条件
基础条件 基底压力
•刚度 •形状 •大小 •埋深
ຫໍສະໝຸດ Baidu
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
§3 土体中的应力计算
二.基底压力分布
条形基础，竖直均布荷载
§3.4 基底压力计算
基础抗弯刚度EI=0 → M=0；
基础变形能完全适应地基表面的变形;
基础上下压力分布必须完全相同，若不 同将会产生弯矩。 弹性地基，绝对刚性基础 抗弯刚度EI=∞ → M≠0； 反证法: 假设基底压力与荷载分布相同， 则地基变形与柔性基础情况必然一致； 分布: 中间小, 两端无穷大。
小结
P z K 2 z
§3.3 地基中附加应力的计算
z Kp
•K=F（底面形状；荷载分布；计算点位置） •K ——竖直集中荷载作用下 •Ks ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下 •Kt ——矩形面积三角形分布荷载作用角点下 •Kh ——矩形面积水平均布荷载作用角点下 •Kzs——条形面积竖直均布荷载作用时 •Kzt——条形面积三角形分布荷载作用时 •Kzh——条形面积水平均布荷载作用时 •K0 ——圆形面积均布荷载作用时园心点下 •KzL——条形面积梯形分布荷载作用时 (表3-1) (表3-2) (表3-3) (表3-4) (表3-5) (表3-7) (表3-8) (表3-9) (图3-26)
式中


(四)圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力
设圆形面积基 底的半径为ro， 其上作用均布 荷载pn，则圆 中心O点下任 意深度 z 处 M 点 的竖向附加应 力 σ z 为
式中竖向附加应力系数
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
五. 矩形面积水平均布荷载作用下的附加应力计算
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
z x zx
2p z
3
p
( x 2 z 2 ) 2 2p x 2 z ( x z ) 2p xz
2 2 2 2
x
z
y
x
z
M
( x 2 z 2 ) 2
y x z
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
有效应力——由土骨架传递（或承担）的应力。 孔隙应力——由土中孔隙流体水和气体传递 （或承担）的应力。 对于饱和土体，由于孔隙应力是通过土中孔隙 水来传递的，它不会使土体产生变形，土体的 强度也不会改变。 孔隙应力分为：静孔隙应力和超静孔隙应力。



第2节 地基中的自重应力
地面
z
cz
cx
cy

假设土体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力 为：

cz = z
自重产生的水平应力将在土压力计算部分 介绍。


若地基由多层土所组成
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
i 1
n
i i
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
三、倾斜偏心荷载作用下的基底压力

倾斜偏心合力R分解为 : Fv=Rcosβ Fh ＝Rsinβ



Fv的基底反力同前讲
Fh的基底反力计算式

ph= Fh／lb
倾斜偏心合力R分解 Fv=Rcosβ Fh ＝Rsinβ Fv的基底反力同前讲 Fh的基底反力计算式 ph= Fh／b
一、附加应力基本解答
与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。 将持力层下面的土层称为下卧层。 土体的应力按引起的原因分为自重应力和附加 应力.


自重应力——由土体自身重量所产生的应力。
附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土 中应力。

按土体中土骨架和土中孔隙(水、气)的应力 承担作用原理或应力传递方式可分为有效应 力和孔隙应（压）力。
§3 土体中的应力计算
二.基底压力分布
弹塑性地基，有限刚度基础
§3.4 基底压力计算
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基 粘性土地基
— — — —
接近弹性解 马鞍型 抛物线型 倒钟型
当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布.
二、刚性基础下基底压力分布

（一）中心荷载下的基底压力

§3 土体中的应力计算
十. 影响土中应力分布的因素
1. 非线性和弹塑性 应力水平较高时影响较大 2. 非均匀性—成层地基 (1)上层软弱，下层坚硬的成层地基
§3.3 地基中附加应力的计算
B
成层 H
均匀 E1
中轴线附近σz比均质时明显增大的现象 —应力集中； 应力集中程度与土层刚度和厚度有关； 随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。 (2)上层坚硬，下层软弱的成层地基 H 成层
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 附加应力 影响因素 计算方法 分布规律 基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。 暂不考虑上部结构的影 响，使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
地基沉降变形
§3 土体中的应力计算
一. 影响因素

（一）竖向集中力 作用下地基附加应 力：半无限空间体 弹性力学基本解
由布辛内斯克解答 得σz的表达式

3F z z 5 2 R
3

由图中的几何关系，得
R r2 z2
3P z3 3 1 P z 2 2 5/ 2 2 (r z ) 2 [( r / z ) 2 1]5 / 2 z 2
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dP pdxdy
3dP z 3 3p z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
dP
p
y
x
B
L
z
B
0

L
0
d z z (p, m, n)
z K sp
z
M
m=L/B, n=z/B
z
L z K s F(B, L, z ) F( , ) F(m, n) B B
查表4-12 条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
八. 条形面积其它分布荷载作用下的附加应力计算
表 3－ 6
九. 圆形面积均布荷载作用时圆心下的附加应力计算
z K 0p
K 0 F(r / z )
R--圆形面积的半径
查表3-9
§3 土体中的应力计算
L
0
d z z (p t , m, n)
pt
z K t pt
L z K t F( B , L , z ) F( , ) F ( m , n ) B B
z
M
B
x
z
查表3-3
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数

（三）矩形面积基底受水平荷载
作用时角点下的竖向附加应力
第三章
土体中的应力计算
§3 土体中的应力计算
基本假设 1.连续性假设
2.线弹性假设 3.各向同性假设
§3 土体中的应力计算 z §3.1 应力状态及应力应变关系
一. 土力学中应力符号的规定
地基：半无限空间
zx
y yz
o ∞ x ∞ ∞ y
xy
x
z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z

（3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。
l /b=2/2=1 z/b=1/2=0.5
根据l，b，z的值可得
查表2－1可得 Ks=0.2315 所以 σzA=2 Kspn=60.65（kPa）

（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。
对HGbQ，HSaG两块面积： l/b=2.5/2=1.25; z/b=1/2=0.5 查表2－2得Ks1=0.2350
3P z 3 z 5 2 R
式中
P z K 2 z
为竖向集中力作用竖向附加应力系 数（查表）。
§3 土体中的应力计算
P z K 2 z
特点
§3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 K 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2
§3 土体中的应力计算
一. 土力学中应力符号的规定
摩尔圆应力分析
§3.1 应力状态及应力应变关系
zx
材料力学
z +
正应力
剪应力
-
zx
土力学
z
xz
+
x
拉为正 压为负
顺时针为正 逆时针为负
xz
x
压为正 拉为负
逆时针为正 顺时针为负
第1节 概述

支撑建筑物荷载的土层称为地基。
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
二. 水平集中力作用下的附加应力计算－西罗提课题
Ph
o
x
α
x
r
M’ β z M y
z
R
zx
xy
x
y
y yz
2
z
3Ph xz z 2 R 5
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算