植树问题

植树问题

一、考情分析

通过近几年的国考来看，植树问题虽然并不像行程问题、利润问题那样年年都会考查。但是总是会出现一些植树问题与其他问题相结合的题目，同时在省考中还是会经常出现很多植树问题，并且在近几年的省市考试中得到了延伸，考题中开始出现锯木头、爬楼梯等各类植树问题的变形。大家同样需要重视这类问题。

二、基础知识

什么是植树问题呢？我们给定了一段路线上，然后每隔一定的距离种一棵树，同时给出植树的方式（比如端点是否植树）、相邻两棵树之间的距离、路的总长度，就可以求出共需要种多少树，这类问题就是植树问题。

植树问题中经常涉及到的几个概念有：路长、株距和棵数。我们通过下面这个例子来认识一下植树问题以及相关概念。

在长为20米的路上种树，每隔5米种一棵，问要种多少棵？

对于这种问题，我们可以画个图来说明一下：

在这里面，“路长”顾名思义，就是整个道路的长度，也就是这个题目里面的那个“20米”，“株距”指的是相邻两棵树之间的距离，也就是题目中的“5米”，“棵数”就是指树木的数量，看图很明显知道，就是5棵数。

大家需要记住这三个概念：路长、株距和棵数。因为接下来讲解的所有内容都跟这三个概念相关。

三、植树问题基本类型

植树问题从大的方面来分类，可以分成封闭路线和开放路线两大类的问题，而开放路线又可以分成三种不同的情况。所有的植树问题都是跟这四种问题相关，我们现在来一一介绍这些类型。

（一）封闭路线植树问题

应用公式：棵数=路长÷株距

路长=株距×棵数

株距=路长÷棵数

例题1：在圆形的花坛周围植树，已知周长为50米，如果每隔5米种一棵树的话，一共可以种多少棵？

A.9

B.10

C.11

D.12

【答案详解】这是一道典型的封闭性植树问题，首尾重合。棵树就等于总段数=路长÷株距，因此选B。做封闭性植树问题时，无论是圆形、三角形还是方形封闭，都是一样的解法，不要被图形迷惑。

（二）两端植树的开放路线植树问题

应用公式：棵树=路长÷株距+1

路长=株距×（棵数-1）

株距=路长÷（棵数-1）

例题2：在一条公路的两边植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为每隔2.5米种1棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米？

A.700

B.800

C.900

D.600

【答案详解】开放路线两端均植树问题。本题的突破口在于树苗的数量一定。设公路长为a米，利用公式“棵树=路长÷株距+1”，每隔3米种一棵树时，公路两边植树的数量为2（a÷3＋1）；每隔2.5米种一棵树时，公路两边植树的数量为2（a÷2.5＋1）。可列方程2（a÷3＋1）+5=2（a÷2.5＋1）-115，解得a=900。

（三）只有一端种树的开放路线植树问题

应用公式：棵数=路长÷株距

路长=株距×棵数

株距=路长÷棵数

例题3：从图书馆到百货大楼有25根电线杆，相邻两根电线杆的距离都是30米，从图书馆到百货大楼距离是多少？（图书馆门口没有一根电线杆）

A.750

B.720

C.680

D.700

【答案详解】“图书馆门口没有一根电线杆”，说明是“只有一端植树”型。利用公式解题，总路长=段数×株距=棵树×株距=25×30=750米。

（四）两端都不种树的开放路线植树问题

应用公式：棵数=路长÷株距-1

路长=株距×（棵数+1）

株距=路长÷（棵数+1）

例题4：有两座楼间距500米，若在两座楼间每隔25米种一棵树，则共需种多少棵树？

A.19

B.20

C.21

D.22

【答案详解】“两端都不植树”类型。根据公式，棵数=段数-1。所以共需种500÷25-1=19棵树。

四、植树问题典型变形

现在的公务员考试难度越来越大，考查植树问题的时候不再只是单纯考查大家种树了，他们更希望大家还能够锯锯木头，爬爬楼梯，我们现在可以来看看，这些东西跟种树是完全一样的。

（一）锯木头问题

一根木料有两个端点，n段有2n个端点，每锯一次增加两个端点。故一根木料要锯成x 段，需要增加（2x-2）个端点，即只需锯（x-1）次，相当于两端不植树的不封闭路线植树的问题。

例题5：有3根相同的木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需要3分钟，全部锯开需多少时间？

A.20

B.15

C.18

D.23

【答案详解】植树问题的变形。一根木料需锯3-1=2次，所以共需3×2×3=18分钟。（二）爬楼梯问题

一幢n层的高楼，从底层到顶层需要走（n-1）层的楼梯，相当于两端都植树的不封闭植树问题。

若爬完一层休息一次，则从底层到顶层需要休息（n-2）次。

例题6：从一楼走到五楼，爬完一层休息30秒，一共要210秒，那么从一楼走到七楼，需要多少秒？

A.318

B.294

C.330

D.360

【答案详解】从一楼走到五楼一共爬了4层，因此需要休息3次，休息了30×3=90秒；那么爬到五楼所需时间为210-90=120秒，爬一层楼需要120÷（5-1）=30秒。

从一楼走到七楼一共需要休息5次，共费时（7-1）×30+5×30=330秒。

再强调一次，一幢n层的高楼，从底层到顶层需要走（n-1）层的楼梯，相当于两端都植树的不封闭植树问题。

若爬完一层休息一次，则从底层到顶层需要休息（n-2）次。

（三）打木桩问题

一段路打了n个木桩，每一根木桩就相当于一棵树，一般来说，木桩要求在路的两端都要打上一根，因此，打木桩问题就相当于两端都植树的不封闭植树问题。

例题7：某工地从一条直道的一端到另一端每隔3米打一个木桩，一共打了49个木桩。现在要改成4米打一个木桩，那么可以不拔出的木桩共有多少个？

A.8

B.9

C.11

D.13

【答案详解】直道的总长=段数×间距=（49－1）×3=144米。

依题意，不拔出来的木桩距离起点的距离必须能被3和4整除，3和4的最小公倍数是12，即从起点开始每隔12米有一个木桩可以不拔出，144÷12=12，故有12＋1=13根木桩不用