同济高等数学第一章第一节课件
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2.逆映射与复合映射 逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的 xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即 g : Rf X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？ (3) f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x[- , ] , f (x)sin x . 2 2 2 2
( f g )(x) f [ g ( x)] f (sin x) 1- sin 2 x |cos x| .
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三、函数
1.函数概念
定义 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
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几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集.
所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集.
所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.
子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子 集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.
提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行, 所 研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集.
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集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. •(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
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二、映射
1.映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY. •需要注意的问题 (2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yRf, 元素y的原像不一定是唯一的 ; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf Y, 不一定RfY .
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满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. •若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (3) f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x[- , ] , f (x)sin x . 2 2 2 2
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二、映射
1.映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY. •需要注意的问题 (1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使 对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.
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集合的表示 •列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由元素具有某种性质 P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为 M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
说明: Rf 是在几何上 R的一个真子集 , 这个映射表示将平面上一个圆心在原点 . 的单位圆周上的点投影到 对于Rf中的元素y, 除yx 轴的区间 0外, 它的原像不是唯一的 [-1, 1]上. . 如y4的原像就有x2和x-2两个.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. [a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
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例4 设有映射 g : R[-1, 1], 对每个xR, g(x)sin x,
映射 f : [-1, 1][0, 1], 对每个 u[-1, 1], f (u) 1- u 2 .
则映射g和f构成复映射f o g: R[0, 1], 对每个xR, 有
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直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点 的集合, RR常记作R2.
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3.区间和邻域 有限区间
例 3 例 3 设 f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x[- , ] , 2 2 2 2 f(x)sin x . f 是一个映射, 定义域 D f [- , ] , 值域 R f [-1, 1]. 2 2
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满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. •若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2. (2)设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对 每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
§1.1 映射与函数
一、集合 二、映射
三、函数
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一、集合
1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
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2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
去心邻域 。 U(a, ){x|0<|x-a|<}.
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二、映射
1.映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY. • y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x), •元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; •集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即DfX. •X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即 Rf f(X){f(x)|xX}.
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3.区间和邻域 无限区间 [a, ){ x|ax}, (-, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x}, (-, b){ x|x<b}, (-, ){ x| |x|<}.
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邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设>0, 则称 U(a, )(a-, a){x| |x-a|<} 为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半 径.
说明: 记号 函数的记号是可以任意选取的 f和f(x)的区别 : 前者表示自变量 , 除了用 和因变量 f 外, y 还可用“ 之间的对 ” 为了叙述方便 , 常用记号“ f(x), xDx ”或“ f(y x ), xg D ” 应法则 、“ F”、“ , 而后者表示与自变量 ”等 , 此时函数就记作 x对应的函数值 yg(x)、 . yF(x)、y(x 来表示定义在 D 上的函数 , 这时应理解为由它所确定的函数 f) . 等. 但在同一问题中 , 不同的函数应选用不同的记号 首页 上页 返回 下页 结束 . 铃
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2.逆映射与复合映射 复合映射 设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映 射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映 射成f[g(x)]Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的 映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: XZ, (f o g)(x)f[g(x)], xX . 说明: 映射 g和f构成复合映射的条件是 : g的值域Rg必须包 映射的复合是有顺序的 , f o g有意义并不表示 gof也 含在 f的定义域内 , RgDf . 否则 不能构成复合映射 有意义 . 即使它们都有意义 , f o, g 与g o f也未必相同..
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2.逆映射与复合映射 逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的 xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即 g : R f X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？ (1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2. (2)设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对 每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
2.逆映射与复合映射 逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的 xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即 g : Rf X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？ (3) f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x[- , ] , f (x)sin x . 2 2 2 2
( f g )(x) f [ g ( x)] f (sin x) 1- sin 2 x |cos x| .
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三、函数
1.函数概念
定义 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
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几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集.
所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集.
所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.
子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子 集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.
提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行, 所 研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集.
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集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. •(AB)CACBC的证明 x(AB)CxABxA且xB xAC且xBC xACBC, 所以(AB)CACBC.
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二、映射
1.映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY. •需要注意的问题 (2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yRf, 元素y的原像不一定是唯一的 ; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf Y, 不一定RfY .
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满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. •若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (3) f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x[- , ] , f (x)sin x . 2 2 2 2
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二、映射
1.映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY. •需要注意的问题 (1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使 对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.
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集合的表示 •列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A{a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由元素具有某种性质 P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为 M{x | x具有性质P }. 例如M{(x, y)| x, y为实数, x2y21}.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
说明: Rf 是在几何上 R的一个真子集 , 这个映射表示将平面上一个圆心在原点 . 的单位圆周上的点投影到 对于Rf中的元素y, 除yx 轴的区间 0外, 它的原像不是唯一的 [-1, 1]上. . 如y4的原像就有x2和x-2两个.
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例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y0}. 例2 设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.
数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. [a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
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例4 设有映射 g : R[-1, 1], 对每个xR, g(x)sin x,
映射 f : [-1, 1][0, 1], 对每个 u[-1, 1], f (u) 1- u 2 .
则映射g和f构成复映射f o g: R[0, 1], 对每个xR, 有
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直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点 的集合, RR常记作R2.
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3.区间和邻域 有限区间
例 3 例 3 设 f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x[- , ] , 2 2 2 2 f(x)sin x . f 是一个映射, 定义域 D f [- , ] , 值域 R f [-1, 1]. 2 2
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满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. •若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; •若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则 称f为X到Y的单射; •若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2. (2)设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对 每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.
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一、集合 二、映射
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一、集合
1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.
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2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集.
去心邻域 。 U(a, ){x|0<|x-a|<}.
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二、映射
1.映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY. • y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x), •元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; •集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即DfX. •X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即 Rf f(X){f(x)|xX}.
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邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设>0, 则称 U(a, )(a-, a){x| |x-a|<} 为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半 径.
说明: 记号 函数的记号是可以任意选取的 f和f(x)的区别 : 前者表示自变量 , 除了用 和因变量 f 外, y 还可用“ 之间的对 ” 为了叙述方便 , 常用记号“ f(x), xDx ”或“ f(y x ), xg D ” 应法则 、“ F”、“ , 而后者表示与自变量 ”等 , 此时函数就记作 x对应的函数值 yg(x)、 . yF(x)、y(x 来表示定义在 D 上的函数 , 这时应理解为由它所确定的函数 f) . 等. 但在同一问题中 , 不同的函数应选用不同的记号 首页 上页 返回 下页 结束 . 铃
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2.逆映射与复合映射 复合映射 设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映 射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映 射成f[g(x)]Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的 映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: XZ, (f o g)(x)f[g(x)], xX . 说明: 映射 g和f构成复合映射的条件是 : g的值域Rg必须包 映射的复合是有顺序的 , f o g有意义并不表示 gof也 含在 f的定义域内 , RgDf . 否则 不能构成复合映射 有意义 . 即使它们都有意义 , f o, g 与g o f也未必相同..
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2.逆映射与复合映射 逆映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的 xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射 g, 即 g : R f X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域为Rf , 值域为X . 讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？ (1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2. (2)设X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : XY, 对 每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.