数学学科2020年安徽省普通高中学业水平考试纲要
安徽普通高中学业水平合格
安徽普通高中学业水平合格
安徽省普通高中学业水平合格性考试是为了检验学生的学科基础知识和基本技能，确保学生达到高中毕业要求的水平测试。
根据《教育部办公厅关于部分实施高中新课程新教材省份教学内容和考试命题依据说明的通知》（教基厅函〔2020〕29号），安徽省2023年合格性考试内容为《普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订）》规定的必修课程内容。
该考试科目包括语文、数学、外语（含小语种，下同）、思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学、信息技术、通用技术，其中语文、数学、外语、思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学分值均为100分，信息技术和通用技术合卷分值为100分。
考试方式为机考或纸笔考试，具体安排根据实际情况而定。
考试时间为每年的3月份和12月份，报名时间为考试前一个月。
考生需要在规定的时间内完成报名并参加考试，成绩达到合格线以上即为合格。
该考试是高中学业水平的重要组成部分，成绩合格是高中毕业的必要条件之一。
此外，成绩合格也是参加高考的必备条件之一，对于想要参加重点大学自主招生或是有其他特殊需求的考生来说，也需要取得合格性考试的成绩。
2019年安徽省普通高中学业水平考试纲要2数学学科word版
2019 年安徽省普通高中学业水平考试纲要数学一、编写说明数学学科高中学业水平考试纲要是依据教育部2003 年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）的基本内容和要求，以及省教育厅有关高中学业水平考试的要求，结合我省普通高中新课程实验的教学实际制定的.本纲要对我省2019 年普通高中数学学业水平考试的性质与目标、考试内容与要求、考试形式与试卷结构等作出明确要求和具体说明.因此，本纲要是2019 年我省普通高中学生学业水平考试数学学科命题的依据，是考查高中学生的数学水平是否达到高中数学课程标准规定的毕业和升学要求的基本依据，也是普通高中数学教学质量评价的依据之一.二、考试性质与目标（一）考试性质数学学业水平考试是根据国家要求，全面评估我省普通高中学生数学基础性学习的省级水平考试. 考试着眼于引导高中学生获得作为未来公民所必要的数学素养，为终身学习和有个性的发展提供必要的数学准备. 数学试题应具有较高的信度、效度和区分度；避免需要用特殊背景知识进行解答的试题，避免偏题、怪题；联系实际的试题应符合高中学生的生活体验.（二）考试目标及水平层次1. 知识与技能目标数学知识是指《课程标准》所规定的五个必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想和方法，还包括按照一定的程序进行计算、数据处理方面的基本技能.对知识的要求分为A（了解）、B（理解）、C（掌握）三个层次（详见“三、考试内容与要求”），这些层次的含义是：A（了解）：对所列知识的内容有初步的、感性的认识，知道这一知识是什么，能按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别它.B（理解）：要求对所列知识内容有较深刻的理解性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对相关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.C（掌握）：要求能够对所列知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并加以解决.2. 能力目标数学学业水平考试侧重考核学生对基础知识、基本技能的掌握程度，同时也重视考查数学能力. 主要考查空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，考查提出、分析和解决数学问题（包括简单的实际问题）的能力以及数学表达和交流的能力.（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.（2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质，并将其用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力：根据已获得的正确数学命题和已知的事实，能运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断，解决实际问题.（6）应用意识：能理解对问题的陈述材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分析，将实际问题抽象为数学问题，构造数学模型；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表达和说明.（7）创新意识：能独立思考，发现问题，提出问题，应用所学的数学知识、思想和方法，选择有效的手段分析信息，提出新的解决问题的思路，并加以解决. 三、考试内容与要求本纲要对“知识与技能”“过程与方法”“情感态度与价值观”三个方面的考查目标分别列出具体内容及要求.对知识与技能考试的具体内容及要求按必修模块分列，有知识条目及水平层次、说明两个部分.知识条目指考试的内容，水平层次指该知识条目应达到的知识与技能的考试目标层次.知识条目和水平层次列表描述，表中知识条目在对应的水平层次栏中，“√”为该知识条目在学业水平考试中可能达到的最高水平，“说明”是对一些在考查要求上易失控的知识内容加以限制的阐述.（一）知识与技能目标考试内容及要求1（1）不要求将集合与其他知识（如数列、排列、组合等）进一步综合提高.（2）画指数函数和对数函数的图象，仅限底数为 2, 3,10, 1 , 1.2 3 （3）对 f [ϕ(x )] 这一类复合函数的抽象记号不作要求.（4）利用函数性质比较大小，仅要求会用同名函数的某一性质进行比较.（5）幂函数的性质，仅要求结合函数 y = x , y = x 2 , y = x 3 , y = 1, y = x 2 的图象进x行了解.（6）对函数的定义域和值域，仅要求会求一些简单函数的定义域和值域. （7）对具体函数的反函数不作要求.必修2续表说明：（1）对空间几何体的表面积、体积公式的推导不作要求.（2）对空间两条直线所成的角仅限于特殊角或在立方体模型内的角.必修3（2）对线性回归方程的系数公式不作要求.（3）对计算基本事件数和几何概型的概率不作过高要求.必修4说明：（1）利用三角函数的单调性比较大小，仅限于在两个同名函数之间进行. （2）对解有关三角函数的不等式不作要求.（3）对函数y= A sin(ωx + ϕ) 的单调区间问题不作要求.（4）对和差化积、积化和差、半角公式不作要求.（5）对三角恒等变换繁琐或技巧性较高的问题不作要求.必修5续表（1）对于递推公式给出的数列，仅要求根据递推公式写出数列的前几项. （2）对其他数列求前n 项和不作要求.（3）对含有字母（参数）需要讨论的一元二次不等式解法不作要求.（4）不等式证明仅限于应用不等式的基本性质和基本不等式a + b≥ 2(a > 0, b> 0) ，比较大小的分类讨论不作要求. （5）线性规划问题，仅限于二元线性目标函数.（二）过程与方法目标考试内容及要求对“过程与方法”的考查蕴含在解决数学问题的过程之中，主要体现在解决 问题的过程中把握方法、形成能力、发展应用意识和创新意识上.（三）情感态度与价值观目标考试内容及要求对于“情感态度与价值观”的考查将渗透在解决数学问题的过程中，主要体 现在试题的数学教育价值上，也应体现在中国优秀传统文化的教育价值上，还有 通过解决问题，观察学生是否有锲而不舍的精神和科学的方法与态度.四、例证性试题（一）知识与技能A （了解）必修 11. 已知集合 A = {1, 2,3}, B = {0, 2}, 则 A B = （ ） A.{1, 3}【答案】CB .{1，2，3}C .{2}D .{0，1，2，3}【说明】考查集合的交集的概念及运算.2. 下列函数是偶函数的是（ ） A ． f (x ) = x【答案】CB ． f (x ) = 1xC ． f ( x ) = x 2D ． f (x ) = sin x【说明】考查函数奇偶性的定义及判断.3. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ）A. y = -3x + 2B. y = x 2C. y =D. y = x【答案】C【说明】考查函数单调性的定义及判断方法，简单函数的单调性. B （理解）4.函数 f (x ) = x 3 + x -e （ e = 2.71828 ）零点所在的区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)【答案】B【说明】考查函数零点的概念、零点所在区间的判断方法以及方程的根与函数 零点的关系.5.函数 f (x) = -x2 + 2x - 3在区间[0,+∞) 上（）A．有最大值- 2【答案】AB．有最大值- 3C．有最小值- 2 D．有最小值- 3【说明】考查二次函数的单调性以及最值问题.6. 函数y = 2- x 的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【说明】考查分段函数、指数函数图象，考查分类讨论思想.C（掌握）7. 设a = log 6,b = log 5, c = log1，则（）3 3 2 3A．c > a > b B．b > a > c C．a > b > c D．a > c > b 【答案】C【说明】考查对数函数的概念和性质.8. 在股票交易过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y = f (x) ，另一种是平均价格曲线y = g(x) .如f (2) = 3 表示股票开始交易后2 小时的即时价格为3 元；g(2) = 3 表示2 小时内的平均价格为3 元，下列四个图中，实线表示y = f (x) 的图象，虚线表示y = g(x) 的图象，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【说明】考查函数图象在实际问题中的意义. 9．某企业拟生产甲,乙两种产品,根据市场调研预测,甲产品的利润y 与投资额x 的算术平方根成正比,其关系如图一；乙产品的利润y 与投资额x 成正比,其关x系如图二.（1）分别将甲,乙两种产品的的利润 y 表示为投资额 x 的函数关系式；（2）如果企业将筹集到的 160 万元资金全部投入到甲,乙两种产品的生产中, 试问:怎样分配这 160 万元的投资才能使该企业获得最大利润,最大利润是多少?【答案】（1）根据题意得，甲,乙两种产品的利润 y 表示为投资额 x 的函数关 系式分别为： y = 4 x 和 y = 1 x .4（2）可设投入到甲产品 x 万元，则投入到乙产品 (160 - x ) 万元，总利润为z 万 元，则 z = 4 x + 1(160 - x ) ，4令 = t ， t ∈[0,4 10] ，所以 z = 4t + 1 (160 - t 2 ) = - 1(t - 8)2 + 564 4 故当 t = 8 ，即 x = 64 时 z max = 56所以当投入到甲产品 64 万元，乙产品 96 万元时该企业能获得最大利润，且 最大利润为 56 万元.【说明】利用二次函数模型来解决实际问题，考查函数的应用意识.A （了解）必修 21．若直线 a ∥平面α ，则下列说法正确的是（ ）A. 平面α 内的所有直线都与直线 a 异面B. 平面α 内的所有直线都与直线 a 平行C. 平面α 内不存在直线与直线 a 平行D. 直线a 与平面α 没有公共点【答案】D【说明】考查直线与平面平行的概念.2．点P(2, 0) 到直线2x - y +1 = 0 的距离是（）C. 1D. 55 5【答案】B【说明】考查平面内点到直线的距离公式.3．下列如图放置的几何体中,俯视图一定为正方形的是正方体三棱锥四棱锥三棱柱A. B. C. D.【答案】A【说明】考查空间几何体的三视图以及空间想象能力.B（理解）4．在同一直角坐标系中，表示直线y = ax 与y = x + a 正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【说明】考查直线的方程和其图象的位置特征.5．已知直线l , m , n 与平面α , β ，则下列命题错．误．的是（）A. 若m∥l，n ∥l，则m∥nB. 若m⊥α ，m∥β，则α⊥βC. 若m∥α ，n∥α ，则m∥nD. 若m⊥β ，α ⊥β ，则m∥α 或m ⊂ α【答案】C【说明】考查空间直线与平面平行或垂直等位置关系，空间想象能力和推理 论证能力.6．直线 ax - y +1 = 0 与直线 x + 2 y -1 = 0 垂直，则实数 a =.【答案】2【说明】考查直线与直线的位置关系.7．等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球S 正方体 (填“>、<或=”). 【答案】<【说明】考查正方体和球的表面积及体积公式. C （掌握）8. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直 角三角形的三棱锥为“鳖臑”（bi ē n ào ）.如图，现有三棱锥A - BCD ， AB ⊥ 平面BCD ， BD ⊥ CD . （1）证明：三棱锥A - BCD 为鳖臑； （2）若 E 为 AD 上一点，点 P ，Q 分别为线段BC ，BE D的中点，证明：直线 PQ ∥平面ACD ． 【答案】证明：（1） AB ⊥ 平面BCD ∴AB ⊥ BD , AB ⊥ BC , AB ⊥ CD ， ∴△ABD ，△ABC 都是直角三角形， 又DC ⊥ BD ，从而△ BCD 是直角三角形 CD ⊥ AB ,CD ⊥ BD ， AB BD = B ∴CD ⊥ 平面 ABD∴CD ⊥ AD ，从而△ ACD 是直角三角形∴ 三棱锥A - BCD 为鳖臑. （2）连接 EC ，由已知， PQ ∥ EC D又 EC ⊂ 平面 ADC ， PQ ⊄ 平面ADC ∴ 直线 PQ ∥平面ADC 【说明】考查空间点、线、面的位置关系，线面平行、线面垂直的判定和性 质.考查学生空间想象能力，推理论证能力.5-m9．已知关于x，y 的方程C: x2 + y2 - 2x - 4y + m = 0 .（1）当m 为何值时，方程C 表示圆；（2）若圆C 与直线l: x + 2 y- 4 = 0 相交于M , N 两点，且| MN |=求m 的值.【答案】（1）方程C 可化为：(x -1)2 + ( y - 2)2 = 5 - m 显然当5 - m > 0 即m < 5 时方程C 表示圆.（2）圆的方程化为(x -1)2 + ( y- 2)2 = 5 - m圆心C（1，2），半径r =则圆心C（1，2）到直线l: x + 2 y- 4 = 0 的距离为d12 + 2215| MN |=4 1则| MN |2，由r 2 = d 2 + (1| MN |)2 得2 25 - m =1)2 +2)2 , 解得m = 4 .【说明】考查圆的一般方程中各项系数满足的条件，圆的一般方程和标准方程的互化以及点到直线的距离公式.A（了解）必修31．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，出现两次正面向上的概率为（）A．1B．1C．1D．12 3 4 8【答案】C【说明】考查基本事件、古典概型的意义和计算.2．某单位共有职工150 名，其中高级职称45 人，中级职称90 人，初级职称15 人．现采用分层抽样的方法从中抽取容量为30 的样本，则从高、中、初级职工=甲乙9 0 75 3 1 0 1 1 22 2 0 1 2中抽取的人数分别为（ ）A. 9，18，3B. 10，15，5C. 10，17，3D. 9，16，5 【答案】A【说明】根据抽取的现实情境提出问题，考查分层抽样的概念. B （理解）3. 甲、乙两名篮球队员近期参加了 6 场比赛，得分情况如茎叶图所示，则他 们得分的中位数分别是（） A .10,16B .12,16C .10,12D .12,12【答案】B【说明】考查茎叶图及中位数的概念.4．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑 色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点 取自黑色部分的概率是（ ）A ． 14 C ． 12B ．π 8 D ．π 4【答案】B【说明】本题主要考查几何概型的概念与计算. 5．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 （ ）A ．11B ．10C ．9D ．7【答案】C【说明】给出程序框图，考查程序框图的三种 逻辑结构和简单推理能力. C （掌握）6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济 收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农 村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（）A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A【说明】本题主要考查饼图在统计中的意义与应用.A （了解）1． cos 210 的值是（ ）必修 4A. 12 【答案】D B. - 1 2C. 32- 32【说明】考查特殊角的三角函数值.2．已知正方形 ABCD 的边长为 1，则 DB ⋅ BC = （ ）B. C ．1 D ．-1【答案】D【说明】考查平面向量数量积的定义.3．若扇形所在圆的半径为 1，扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这 个扇形的圆心角是，扇形的面积为 .【答案】π - 2 π-1 2- 个 【说明】考查扇形中的圆心角、扇形的弧长和面积的计算公式. B （理解）4．点 A (x , y ) 是 300 角终边上异于原点的一点，则 y的值为（ ）xA. 3B. - 33 3【答案】B【说明】考查任意角的三角函数的定义.5．设向量 a = (1, 0), b = (1 , 1) ，则下列结论中正确的是( )2 2A .| a |=| b |B . a ⋅ b. a - b 与 b 垂直 D . a ∥ b 3【答案】C【说明】考查向量平行、垂直的判定方法和模长及数量积的坐标运算.6．已知 cos( π α ) = 4 ,α ∈(0, π) ，那么 cos(π -α ) =（ ）2 5 2 A ．3 B ． - 3 C ．4 D ． - 45 5 5 5 【答案】B【说明】考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系. C （掌握）7．函数 f (x ) = sin 2x cos 2x 的最小正周期是.【答案】 π2【说明】考查二倍角公式及三角函数的周期性.8．将函数 y = sin( 2x + ϕ) 的图象沿 x 轴向左平移 π单位后，得到一个偶函数8的图象，则ϕ 的一个可能取值为( )3π π πB. C ． 0 D ． - 4 4 4【答案】 B【说明】考查正弦函数的图象和性质以及函数图象变换.9．已知函数 f (x ) = 2sin(2x - π) .4（1）求函数 f (x ) 的最小正周期 T ；A.- ≤ x ≤ . （2）若 x [ π , 3π]，求函数 f (x ) 的最大值，并求此时x 的值． ∈ -8 8 【答案】（1）由题意可知：最小正周期 T = 2π= π ，2（2） π 3π π π π，∴- ≤ 2x - ≤ ，8 8 而函数 y = sin t 在 t2 4 2 [ π , π] 是单调递增函数，即当 x ∈ -2 2 [ π , 3π]时， f (x ) 为单调递增函数，∈ -8 8 ∴ f (x ) = f (3π ) = 2 ，此时 x = 3π max8 8【说明】考查三角函数的周期和最值问题，三角函数图象与性质的运用.A （了解）必修 51．已知数列{a n }中， a 1 = 2, a n +1 = 2a n -1 ，则 a 3 = .【答案】5 【说明】考查数列的概念和数列的递推公式. 2．不等式 (x -1)(x + 5) < 0 的解集为( ) A. (-∞, -5) (1, +∞) 【答案】BB. (-5,1)C. (1, +∞)D. (-1,5)【说明】考查一元二次不等式的解法，考查数形结合思想.3．在△ ABC 中，角 A , B ,C 所对边分别为 a , b , c .= 2b sin A ，则 ∠B 为 ( )π ππ5ππ2 πB. C. 或 D. 或 3 6 6 63 3【答案】D【说明】考查利用正弦定理求解三角形. 4. 不等式 x + y - 2 ≥ 0 表示的平面区域是A.B.C.D.A.⎨⎩)2 【答案】B【说明】考查二元一次不等式所表示的平面区域.B（理解）5．下列不等式中成立的是（）A.若a > b ，则ac2 > bc2B.若a > b ，则a2 > b2C.若a < b < 0 ，则a2 < ab < b2D.若a < b < 0 ，则1>1a b【答案】D【说明】考查不等式的基本性质与比较大小的基本方法.⎧x + y -1 ≥ 0,6．设x, y 满足约束条件⎪x - y -1 ≤ 0,⎪x - 3y + 3 ≥ 0,则z = x + 2 y 的最大值为（）A. 8B. 7C. 2D.1【答案】B【说明】考查二元一次不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划.7. 已知x > 0, y > 0 ，且x + 2 y = 8 ，则xy 的最大值为.【答案】8【说明】考查基本不等式在求最值中的应用.C（掌握）8．若数列{a n}满足：对任意的n∈N*(n≥3)，总存在i,j∈N*，使a n =a i +a j(i ≠ j,i <n ,j<n )，则称{a n}是F 数列.现有以下数列{a n}：①a n=n；②a n =n；③an= ( 5 +1 n-12；其中是 F 数列的有（）A.①B.②C.①②D.①③【答案】D【说明】考查数列的概念以及学生的分析推理能力.9．在一座20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60，塔底的俯角为45 ，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是m.【答案】20(1【说明】本题是一道高度测量的应用性问题，考查利用正弦定理和余弦定理n 1 2 3 nn n n +1 nn 解决实际问题.10．已知数列{a } 满足： a + 22 a + 32 a + + n 2a = n 2 （1）求 a 1 ， a 2 ；（2）求数列{a n } 的通项公式；+ n （ n ∈ N *）. （3）记 S 为数列{a a }的前 n 项和（ n ∈ N *），求证： 2 ≤ S < 4 . 【答案】（1）当 n = 1 时， a 1 = 2 ； 当 n = 2 时， a + 22 a = 22 + 2 ，则 a = 1.1 2 （2）当 n ≥ 2 时， a + 22 a + 32a 2+ + n 2a = n 2 + n①123n2222a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 + + (n -1) a n -1 = (n -1) + (n -1)② ①—②得： n 2a = 2n ，则 a n = 2，③ n2 *n = 1 时， a 1 = 2 也满足③式，所以 a n = （ n ∈ N ）.n4 1 1（3）由（2）可知， a a 1 = = 4( - ) .n n +n (n +1) n n +1因此， S = 4(1- 1) + 4(1 - 1) + 4(1 - 1) + + 4(1 - 1 ) = 4(1- 1) ，n2 23 34 n n +1 n +1因为 n ≥ 1，所以 0 < 1 ≤ 1，n +1 2因此 - 1 ≤ - 1 < 0 ，即 1 ≤ 1- 1 < 1 ，2 n +1 2 n +1则 2 ≤ 4(1- 1) < 4 ，故 2 ≤ S < 4 .n +1 n【说明】考查数列的基本思想与基本方法，突出考查求数列通项、裂项法求和，考查运算求解能力、推理论证能力和综合运用知识解决问题的能力.（二）对“过程与方法”的考查蕴含在解决数学问题的过程中1．在平面几何中，由直线围成的最简单的封闭图形是三角形，类推到立体几 何，由平面围成的最简单的封闭图形是四面体，它们有类似的性质.在三角形中有:（1）任何一个三角形有一个外接圆；（2）三角形两边之和大于第三边. 类比三角形的这个性质，请你提出四面体的命题.【答案】（1）任何一个四面体都有一个外接球.（2）任何一个四面体的三个 侧面面积之和大于底面面积.【说明】本题以立体几何与平面几何某些性质的相近，引导学生通过类比， 猜想四面体相应的性质，体会由平面到空间的类比策略，长度 →面积，圆 →球等， 通过类比的过程体会科学的思维方法.2．已知圆 C : x 2 + y 2 - 4y = 0 ，直线 l : y = kx +1 . （1）求圆 C 的标准方程；（2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时 k 的值.【答案】（1）圆 C 的标准方程为： x 2 +( y - 2)2 = 4 .（2）方法 1：圆心 C 到直线 l1，由勾股定理得：弦长为k = 0 时等号成立. 方法 2：因为直线 l 经过定点 A （0,1），如图所示，当直线 l 与 CA 垂直时，弦长最短.此时k = 0 .【说明】考查圆的方程、直线与圆的位置关系,综合考查数形结合的思想和运 用圆的性质解决与圆相关的问题的能力与意识.3．某电子科技公司于 2018 年底建成了太阳能电池生产线，自 2019 年 1 月份 产品投产上市一年来，该公司的营销状况所反映出的每月获得的利润 y （万元） 与月份 x 之间的函数关系式为：⎧⎪26x - 56,1 ≤ x ≤ 5且x ∈ N *y = ⎨⎪⎩210 - 20x , 5 < x ≤ 12且x ∈ N *．（1）2019 年第几个月该公司的月利润最大？最大值是多少万元？前x 个月的利润总和 （2）若公司前 x 个月的月平均利润 w （ w = ）达到最大时，x公司下个月就应采取改变营销模式、拓宽销售渠道等措施，以保持盈利水平. 求 w （万元）与 x （月）之间的函数关系式，并指出这家公司在 2019 年的第几个月就 应采取措施.⎨，【答案】（1）因为y = 26x - 56 (1 ≤ x ≤ 5, x ∈ N* ) 单增，当x = 5 时，y = 74 （万元）；y = 210 - 20x (5 < x ≤12, x ∈N* ) 单减，当x = 6 时，y = 90 （万元）.所以利润y 在6 月份取最大值，且最大值为90 万元.-30x +x( x-1)⋅ 26（2）当1≤ x ≤ 5, x ∈N* 时，w = 2 = 13x - 43 .x当5 < x ≤12, x ∈N* 时，110 + 90(x - 5) +( x- 5)( x- 6)⋅ (-20)w = 2 = -10x + 200 -640.x x⎧13x - 43,1 ≤ x ≤ 5且x ∈ N*所以w =⎪⎪-10x + 200 -⎩640x, 5 < x ≤ 12且x ∈ N*当1 ≤ x ≤ 5 时，w ≤ 22 ；当5 < x ≤ 12 时，w = 200 -10(x +64) ≤ 40 ，当且仅当x = 8 时取等号，x从而x = 8 时，w 达到最大.故公司在第9 月份就应采取措施.【说明】考查函数的简单应用、简单的数学建模能力以及分段函数最值的求法，还考查综合运用数学知识解决实际问题的能力和应用意识.通过解决此类问题，体验用函数模型解决实际问题的过程与方法，发展创新意识和数学应用意识.4．如图，在长方体AC1中，AB = AD =, AA1= 2 ,AC 与BD 交于点O , E 为AA1的中点，连接BE, DE .（1）求证：A1C ∥平面EBD ；（2）求直线EO 与平面ABCD 所成的角的大小.【答案】（1）证明：由题意知，O 为AC 的中点，E 为AA1的中点，所以，EO 为∆AA1C 的中位线，从而A1C ∥EO又A1C ⊄ 平面EBD , EO ⊂ 平面EBD所以A1C ∥平面EBD .1B（2）因为EA ⊥ 平面ABCD ，所以∠EOA 就是直线EO 与平面ABCD 所成的角.由AB = AD =，得AC = 2 ，故AO = 1又由AA = 2 ，E 为AA 的中点，得AE = 1 .1 1在Rt∆AOE 中，tan ∠EOA =AE= 1 ，故∠EOA =πAO4.1所以直线EO 与平面ABCD 所成的角的大小为π4【说明】考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角等基础知识和基本方法，还考查空间想象能力及逻辑推理能力.（三）对“情感态度与价值观”的考查蕴含渗透在解决数学问题的过程中1．某中学的生物兴趣小组为考察一个小岛的湿地生态情况，从码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近小岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠小岛岸边上岛考察，然后又乘汽艇沿原航线匀速返回.设t为出发后的某一时刻，s 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示s = f (t) 的函数关系的为（）A. B. C. D.【答案】当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，s = vt ，图象为一条线段；当汽艇环岛两周时，s 两次增至最大，并减小到环岛前的距离s；当汽艇停靠岸边上岛考察时，s= s ；当汽艇沿原航线返回时，s= s- vt ，图象为一条线段，故选C.0 0【说明】本题创设了一个学生乘汽艇进行生态考察的旅程，能激发学生的探究热情，不断分析和思考现实情境“沿直线匀速开往该岛”“绕小岛环行两周”“停靠小岛岸边……”“……匀速返回”的数学意义和图象表示，使学生在解决问题的过程中真切感受“数学无处不在”的应用价值，在分析解决问题的过程中，提升学生的环保意识和学习数学的兴趣，增强学好数学的信心.2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．24 里B．12 里C．6 里D．3 里【答案】记每天走的路程里数为{a n}，易知{a n}是公比q=的等比数列，由231 a ⎛1- 1 ⎫ 1 26 ⎪ 1 已知得 S 6 = ⎝ ⎭ 1- 1= 378 ,∴a 1 = 192 ,∴a 6 = 192⨯ 5 = 6 ，故选 C . 2 2【说明】这是一道与中国数学传统文化有关的试题，考查了学生的阅读理解 与数学建模的能力，其本质是等比数列的通项及前 n 项和的应用问题.向学生展示 了中国传统文化的魅力，增强了学生的民族自豪感，树立文化自信.五、考试形式与试卷结构1．考试形式采用闭卷书面答卷方式 考试时间 90 分钟，满分 100 分.2．试卷分两卷第Ⅰ卷为选择题，满分 54 分，共 18 道选择题，每题 3 分.第Ⅱ卷为填空题和解答题，满分 46 分，共 7 题.其中 4 道填空题（或简答题）， 每题 4 分，共 16 分；3 道解答题（包括计算、证明、作图等），每题 10 分，共 30 分.3.试卷结构（1）按必修模块分布： 必修 1 20% ± 5%必修 2 20% ± 5%必修 3 20% ± 5%必修 4 20% ± 5%必修 5 20% ± 5%（2）按考试水平分布： A（了解） 30% ± 5%B （理解） 60% ± 5%C （掌握） 10% ± 5%。
2020年安徽省中考数学学业水平测试卷(6月份)解析版
2020年安徽省中考数学学业水平测试卷（6月份）一．选择题（共10小题）1．﹣4的相反数是（）A．B．4C．D．﹣42．下列计算结果是4a5的是（）A．2a2+2a3B．4a6﹣a C．40a10÷a2D．2a2•2a33．受新冠肺炎疫情影响，自2020年2月起，安徽省对各类企业基本养老保险、失业保险、工伤保险三项社会保险的单位缴费部分，免征或减半征收3﹣5个月，合计减收约159.7亿元．数据159.7亿用科学记数法表示为（）A．1.597×106B．1.597×108C．159.7×108D．1.597×1010 4．一个由圆柱和三棱柱组成的几何体如图水平放置，其主（正）视图是（）A．B．C．D．5．已知直线y＝kx+b（k≠0）沿y轴向下平移2个单位后与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于A（﹣3，2），B（n，﹣3）两点，则k+b的值为（）A．0B．1C．2D．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边的中点，则点E到中线CD的距离EF的长为（）A．3B．4C．D．7．某中学为了解“停课不停学”期间学生在家的学习情况，随机抽查了40名学生每天做家庭作业的时间，并将调查结果统计如表，每天做家庭作业的时间（分钟）60708090100110120人数2459875则这40名学生每天做家庭作业的时间的众数和中位数分别为（）A．90，95B．90，90C．100，100D．100，95 8．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．根据2月初发布的中央一号文件，我国目前还有近300万农村贫困人口没有脱贫，假设贫困人口月平均下降率为75%，则4月初我国还未脱贫的农村贫困人口数量约为（）A．17万B．19万C．21万D．23万9．将函数y＝﹣x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5B．3C．3.5D．410．如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝8，E为AB上一点，BE＝8，P为直线CD上的动点，以PQ为斜边作Rt△PDQ，交直线AD于点Q，且满足PQ＝10，若F为PQ的中点，连接CE，CF，则当∠ECF最小时，tan∠ECF的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）11．不等式8﹣3x≤2的解集是．12．因式分解：b﹣4a2b＝．13．如图，等边△ABC与⊙O相切于点C，D为⊙O上一点，以CD为边向⊙O内作等边△CDE，若⊙O的半径为1，CD＝，则∠ACE＝．14．已知正方形ABCD的边长为12，E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿EF折叠，使得点B落在正方形内部（不含边界）的点B′处，DB′的延长线交AB于点G．若点B′在正方形的对称轴上，且满足S△ADG＝S正方形ABCD，则折痕EF的长为．三．解答题15．计算：﹣2×（﹣）﹣1+sin30°﹣．16．《算法统宗》中有一首“以碗知僧”的趣味诗，原文如下：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？译文为：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，恰好把碗用完，请问寺内共有多少个和尚？请解答上述问题．17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点O，A均为网格线的交点．（1）请画出点A关于原点O对称的点B；（2）连接AB，将线段AB绕点O旋转得到线段CD，使得四边形ACBD是以AB为对角线的正方形，请画出正方形ACBD．18.观察以下等式：第1个等式：×＝﹣第2个等式：×＝﹣第3个等式：×＝﹣第4个等式：×＝﹣第5个等式：×＝﹣…按照以上规律，解决下列问题（1）写出第6个等式×＝﹣；（2）写出你猜想的第n个等式×＝﹣（用含n的等式表示），并证明．19.某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的∠ABC为无人机某次空中飞行轨迹，D为BC延长线上一点，点A，B，C，D在同一平面内，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°．若AC＝80米，求AB的长．（结果保留整数，参考数据：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，≈1.73）20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC＝AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF．（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；（2）若，BE＝4，求⊙O的直径．21.为了普及垃圾分类知识，倡导低碳生活的理念，更好地推进垃圾分类工作，某市举办了中学生垃圾分类知识竞赛（百分制，评比准则为：60分及以上为及格；80分及以上为良好；90分及以上为优秀）．为了解甲、乙两校学生对垃圾分类知识的掌握情况，各随机抽取10名学生的竞赛成绩，抽取的部分数据整理如下甲校：90，100，86，89，73，68，54，75，98，x注：乙校成绩在80分及以上的数据是：100，80，88，83，86，94（1）已知本次抽查的甲校学生成绩的优秀率为30%，请判断x对应的成绩是否为优秀，并说明理由；（2）若乙校共有100名学生，请估计乙校学生成绩在85分及以上的人数；（3）已知本次抽查的甲校学生中有3人成绩为优秀，现从本次抽查的甲、乙两校成绩为优秀的学生中任选2人作为志愿者普及和宣传垃圾分类知识，求选到的2人成绩都为100分的概率．22.2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G资费套餐上线，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元，则每天多售出4台，设该型号5G手机的零售价降低x（元）时，日销售量为y（台）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当零售价为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？23.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D是边AC上一点，AF⊥BD交BC于点E，交BD于点F．（1）如图1，若∠AEC＝∠BDC，AN⊥BC交BD于点M，交BC于点N，连接EM．①求证：BD平分∠ABC；②求∠MEB的度数．（2）如图2，若BE2＝3BC•CE，求证：DE⊥AC．2020年安徽省中考数学学业水平测试卷（6月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣4的相反数是（）A．B．4C．D．﹣4【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣4的相反数是：4．故选：B．2．下列计算结果是4a5的是（）A．2a2+2a3B．4a6﹣a C．40a10÷a2D．2a2•2a3【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则、单项式乘单项式分别化简得出答案．【解答】解：A、2a2+2a3，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B、4a6﹣a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；C、40a10÷a2＝40a8，故此选项不合题意；D、2a2•2a3＝4a5，故此选项符合题意．故选：D．3．受新冠肺炎疫情影响，自2020年2月起，安徽省对各类企业基本养老保险、失业保险、工伤保险三项社会保险的单位缴费部分，免征或减半征收3﹣5个月，合计减收约159.7亿元．数据159.7亿用科学记数法表示为（）A．1.597×106B．1.597×108C．159.7×108D．1.597×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：159.7亿＝159********＝1.597×1010．故选：D．4．一个由圆柱和三棱柱组成的几何体如图水平放置，其主（正）视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看上边是一个三角形，下边是一个矩形，故选：A．5．已知直线y＝kx+b（k≠0）沿y轴向下平移2个单位后与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于A（﹣3，2），B（n，﹣3）两点，则k+b的值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据反比例函数y＝（m≠0）的图象经过A（﹣3，2），B（n，﹣3）两点，求出n＝2．由直线平移的规律得出直线y＝kx+b（k≠0）沿y轴向下平移2个单位后直线的解析式为y＝kx+b﹣2，将A（﹣3，2），B（2，﹣3）代入，求出k、b的值，即可求解．【解答】解：∵反比例函数y＝（m≠0）的图象经过A（﹣3，2），B（n，﹣3）两点，∴m＝﹣3×2＝﹣3n，∴n＝2．直线y＝kx+b（k≠0）沿y轴向下平移2个单位后，得到直线y＝kx+b﹣2，将A（﹣3，2），B（2，﹣3）代入，得，解得，∴k+b＝﹣1+1＝0．故选：A．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边的中点，则点E到中线CD的距离EF的长为（）A．3B．4C．D．【分析】根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出BD＝DC＝AD＝5，利用三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵中线CD，∴AD＝BD＝CD＝5，△BDC的面积＝△ABC的面积＝连接DE，∵E为BC边的中点，∴△DEC的面积＝△BDC的面积＝6，∵△DEC的面积＝，可得：，解得：EF＝，故选：C．7．某中学为了解“停课不停学”期间学生在家的学习情况，随机抽查了40名学生每天做家庭作业的时间，并将调查结果统计如表，每天做家庭作业的时间（分钟）60708090100110120人数2459875则这40名学生每天做家庭作业的时间的众数和中位数分别为（）A．90，95B．90，90C．100，100D．100，95【分析】直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．【解答】解：由图表可得：∵某中学40名学生每天做家庭作业的时间为90分钟的有9人，最多，∴这40名学生每天做家庭作业的时间的众数为：90分；∵40个数据中，第20，21个数据的平均数是中位数，而第20，21个数据分别是90，100，∴中位数为：95分．故选：A．8．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．根据2月初发布的中央一号文件，我国目前还有近300万农村贫困人口没有脱贫，假设贫困人口月平均下降率为75%，则4月初我国还未脱贫的农村贫困人口数量约为（）A．17万B．19万C．21万D．23万【分析】根据题意，可以列出相应的算式，然后计算即可．【解答】解：300×（1﹣75%）2＝300×≈19（万），故选：B．9．将函数y＝﹣x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5B．3C．3.5D．4【分析】令y＝0，则x＝1±，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+，0），翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+m，当x＝4时，y′＝8﹣m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可，即可求解．【解答】解：如下图，函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，故顶点P的坐标为（1，m+1），令y＝0，则x＝1±，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+，0），根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+m，当x＝4时，y′＝8﹣m，当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；①当点A在直线x＝4的左侧时（直线n所处的位置），即1+＜4，解得：m＜8；当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8﹣m，解得：m≥3.5，当m＝3.5时，此时最大值最小为3.5；当函数在x＝4处取得最大值时，即m+1≤8﹣m，解得：m≤3.5，m最大为3.5时，此时最大值为m+1＝4.5，故m＝3.5；②当点A在直线x＝4的右侧时（直线m所处的位置），即1+＞4，解得：m＞8；函数的最大为m+1＞9＞3.5；综上，m＝3.5，故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝8，E为AB上一点，BE＝8，P为直线CD上的动点，以PQ为斜边作Rt△PDQ，交直线AD于点Q，且满足PQ＝10，若F为PQ的中点，连接CE，CF，则当∠ECF最小时，tan∠ECF的值为（）A．B．C．D．【分析】连接DF，延长CF与DQ交于点M，连接EM，过E点作EN⊥CF于点N，由直角三角形斜边上的中线定理可知点F点始终在以D为圆心，5为半径的圆上，故当CF 为以D为圆心，5为半径的圆相切时，∠ECF最小，求出此时的EN和CN的长度便可解决问题．【解答】解：连接DF，延长CF与DQ交于点M，连接EM，过E点作EN⊥CF于点N，∵F是PQ的中点，∠PDQ＝90°，∴DF＝＝＝5，当CF为以D为圆心，5为半径的圆相切时，∠ECF最小，此时DF⊥CF，∴CF＝＝12，∵∠CDM＝∠CFD＝90°，∠DCF＝∠MCD，∴△CDF∽△CMD，∴，即，∴，∴，∴＝，∴，∵BE＝8，∴AE＝13﹣8＝5，∴S△CEM＝S矩形ABCD﹣S△AEM﹣S△CDM﹣S△BCE＝＝，∴，即，∴EN＝，∵CE＝，∴＝∴tan∠ECF＝．故选：D．二．填空题（共4小题）11．不等式8﹣3x≤2的解集是x≥2．【分析】移项，合并同类项，然后化系数为1即可．【解答】解：移项得：﹣3x≤2﹣8，合并同类项得：﹣3x≤﹣6，系数化为1得：x≥2，故答案为x≥2．12．因式分解：b﹣4a2b＝b（1﹣2a）（1+2a）．【分析】直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：b﹣4a2b＝b（1﹣4a2）＝b（1﹣2a）（1+2a）．故答案为：b（1﹣2a）（1+2a）．13．如图，等边△ABC与⊙O相切于点C，D为⊙O上一点，以CD为边向⊙O内作等边△CDE，若⊙O的半径为1，CD＝，则∠ACE＝15°．【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCB＝90°，过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝CD＝，推出OH＝CH，得到∠OCH＝∠HOC＝45°，根据等边三角形的性质得到∠DCE＝∠ACB＝60°，于是得到结论．【解答】解：连接OC，∵BC与⊙O相切于点C，∴∠OCB＝90°，过O作OH⊥CD于H，∴CH＝CD＝，∵OC＝1，∴OH＝＝，∴OH＝CH，∴∠OCH＝∠HOC＝45°，∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠OCE＝15°，∴∠ACE＝90°﹣15°﹣60°＝15°，故答案为：15°．14．已知正方形ABCD的边长为12，E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿EF折叠，使得点B落在正方形内部（不含边界）的点B′处，DB′的延长线交AB于点G．若点B′在正方形的对称轴上，且满足S△ADG＝S正方形ABCD，则折痕EF的长为或5．【分析】由题意S△ADG＝S正方形ABCD，推出AG＝DG＝6，分两种情形：如图1中，当GB′＝B′D时，满足条件．如图2中，当点B′落在AC上时，同法可得．【解答】解：∵S△ADG＝S正方形ABCD，∴AG＝DG＝6，如图1中，当GB′＝B′D时，满足条件，过点B′，作B′H⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠GHB′＝∠A＝90°，∴AD∥HB′，∵GB′＝B′D，∴AH＝GH＝3，∴HB′＝AD＝6，∴BB′＝＝＝3，∴OB＝OB′＝，∵∠OBE＝∠HBB′，∠EOB＝∠BHB′＝90°，∴△BOE∽△BHB′，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝，OE＝，∵∠BEO＝∠BEF，∠BOE＝∠EBF＝90°，∴△EBO∽△EFB，可得BE2＝EO•EF，∴EF＝＝．如图2中，当点B′落在AC上时，同法可得EF＝5，故答案为或5．三．解答题15．计算：﹣2×（﹣）﹣1+sin30°﹣．【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2×（﹣2）+﹣4＝4+﹣4＝．16．《算法统宗》中有一首“以碗知僧”的趣味诗，原文如下：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？译文为：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，恰好把碗用完，请问寺内共有多少个和尚？请解答上述问题．【分析】设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据“共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x的值，再将其代入3x中即可求出结论．【解答】解：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，依题意，得：，解得：，∴3x＝624．答：寺内共有624个和尚．17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点O，A均为网格线的交点．（1）请画出点A关于原点O对称的点B；（2）连接AB，将线段AB绕点O旋转得到线段CD，使得四边形ACBD是以AB为对角线的正方形，请画出正方形ACBD．【考点】LF：正方形的判定；R8：作图﹣旋转变换．【专题】13：作图题；69：应用意识．【分析】（1）根据关于原点对称的性质画出图形即可．（2）根据正方形的判定方法画出图形即可．【解答】解：（1）如图，点B即为所求．（2）如图，正方形ACBD即为所求．18.观察以下等式：第1个等式：×＝﹣第2个等式：×＝﹣第3个等式：×＝﹣第4个等式：×＝﹣第5个等式：×＝﹣…按照以上规律，解决下列问题（1）写出第6个等式×＝﹣；（2）写出你猜想的第n个等式×＝﹣（用含n的等式表示），并证明．【考点】32：列代数式；37：规律型：数字的变化类．【专题】2A：规律型；67：推理能力．【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现规律：分母为序号数分子比序号数大2的数，与比序号数大1的倒数相乘，等于分母为序号数分子比序号数大2的数减去分母为比序号数大1分子比序号数大2的数，按照此规律即可求解；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【解答】解：（1）第6个等式×＝﹣；（2）猜想的第n个等式×＝﹣（用含n的等式表示），证明：×＝×＝×（1﹣）＝﹣×＝﹣，故等式成立．故答案为：×＝﹣；×＝﹣．19.某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片，如图所示的∠ABC为无人机某次空中飞行轨迹，D为BC延长线上一点，点A，B，C，D在同一平面内，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°．若AC＝80米，求AB的长．（结果保留整数，参考数据：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，≈1.73）【考点】T8：解直角三角形的应用．【专题】55E：解直角三角形及其应用；67：推理能力．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，易求得∠A＝48.3°，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠A＝48.3°，∵sin∠A＝，cos∠A＝，∴CE＝AC•sin48.3°≈60，AE≈AC•cos48.3°≈53.6，∵∠B＝30°，∴BE＝CE≈103.8，∴AB＝AE+BE≈157．答：AB的长约为157米．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC＝AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF．（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；（2）若，BE＝4，求⊙O的直径．【考点】L7：平行四边形的判定与性质；M5：圆周角定理．【专题】55C：与圆有关的计算；69：应用意识．【分析】（1）想办法证明AD∥FG，AF∥BC即可解决问题．（2）首先证明AF＝CD＝DG，推出BG：DG＝2：3，利用平行线分线段成比例定理求出AE，AC，利用勾股定理求出BC，CD即可解决问题．【解答】（1）证明：连接CE．∵AC＝AE，∴＝，∴AD⊥CE，∵CF是直径，∴∠CEF＝90°，∴FG⊥CE，∴AD∥FG，∵CF，AD是直径，∴∠ACD＝∠CAF＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴AF∥BC，∴四边形ADGF是平行四边形．（2）解：∵∠AOF＝∠COD，∴＝，∴AF＝CD，∵四边形ADGF是平行四边形，∴AF＝DG，∵AF：BC＝3：8，∴BG：DG＝2：3，∵EG∥AD，∴＝＝，∵BE＝4，∴AE＝AC＝6，∴AB＝10，BC＝＝＝8，∵CD＝DG，BG：DG＝2：3，∴CD＝GD＝3，BG＝2，∴AD＝＝＝3．21.为了普及垃圾分类知识，倡导低碳生活的理念，更好地推进垃圾分类工作，某市举办了中学生垃圾分类知识竞赛（百分制，评比准则为：60分及以上为及格；80分及以上为良好；90分及以上为优秀）．为了解甲、乙两校学生对垃圾分类知识的掌握情况，各随机抽取10名学生的竞赛成绩，抽取的部分数据整理如下甲校：90，100，86，89，73，68，54，75，98，x注：乙校成绩在80分及以上的数据是：100，80，88，83，86，94（1）已知本次抽查的甲校学生成绩的优秀率为30%，请判断x对应的成绩是否为优秀，并说明理由；（2）若乙校共有100名学生，请估计乙校学生成绩在85分及以上的人数；（3）已知本次抽查的甲校学生中有3人成绩为优秀，现从本次抽查的甲、乙两校成绩为优秀的学生中任选2人作为志愿者普及和宣传垃圾分类知识，求选到的2人成绩都为100分的概率．【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；X6：列表法与树状图法．【专题】543：概率及其应用；67：推理能力．【分析】（1）根据甲校抽取的10名学生中有3名优秀，再根据抽查的甲校学生成绩的优秀率为30%，即可得出x的成绩不是优秀；（2）用乙校的人数乘以学生成绩在85分及以上的人数所占的百分比即可；（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和选到的2人成绩都为100分的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵90分及以上为优秀，甲校学生成绩的优秀率为30%，∴在90，100，86，89，73，68，54，75，98，x中，有90、100、98是优秀，∴x对应的成绩不是优秀；（2）∵在乙校中抽查中，成绩在85分及以上的人数有4人，分别是100、88、86、94，∴乙校学生成绩在85分及以上的人数所占的百分比是＝，∴乙校学生成绩在85分及以上的人数有：100×＝40人；（3）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中选到的2人成绩都为100分的有1种，则选到的2人成绩都为100分的概率是．22.2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G资费套餐上线，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元，则每天多售出4台，设该型号5G手机的零售价降低x（元）时，日销售量为y（台）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当零售价为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？【考点】HE：二次函数的应用．【专题】124：销售问题；533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；536：二次函数的应用；66：运算能力；69：应用意识．【分析】（1）由每天可以售出8台，当零售价每降低50元，则每天多售出4台，可得出y关于x的函数表达式，再根据每天可以售出8台，日销售利润为4000元，得出x的取值范围．（2）设日销售利润为w元，则根据利润等于每台的利润乘以销售量，可列出w关于x 的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得出当x为何值时，w取最大值，从而得出相应的零售价，则问题得解．【解答】解：（1）由题意得：y＝8+×4，即y＝x+8．∵每天可以售出8台，日销售利润为4000元，∴每台利润为：4000÷8＝500（元）．∴0≤x≤500．∴y关于x的函数表达式为y＝x+8（0≤x≤500）；（2）设日销售利润为w元，根据题意得：w＝（﹣x）（x+8）＝﹣x2+32x+4000＝﹣（x﹣200）2+7200．∴当x＝200时，w最大为7200，∴4000﹣200＝3800（元）．∴当零售价为200元时，日销售利润最大，最大利润为7200元．23.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D是边AC上一点，AF⊥BD交BC于点E，交BD于点F．（1）如图1，若∠AEC＝∠BDC，AN⊥BC交BD于点M，交BC于点N，连接EM．①求证：BD平分∠ABC；②求∠MEB的度数．（2）如图2，若BE2＝3BC•CE，求证：DE⊥AC．【考点】SO：相似形综合题．【专题】152：几何综合题；69：应用意识．【分析】（1）①想办法证明∠BAE＝∠BEA，推出BA＝BE即可解决问题．②证明∠MEB＝∠BAM即可解决问题．（2）过点E作EJ⊥BC交AC于J，过点B作BT⊥BC交CA的延长线于T，连接ET，BJ交于点O．证明△TBE∽△BEJ，∠BOT＝90°，证明△TBO∽△TEB，可得TB2＝TO •TE，证明△TBJ∽△TDB，可得TB2＝TJ•TD，推出TO•TE＝TJ•TD，再证明△OTJ∽△DTE可得结论．【解答】（1）①证明：如图1中，∵AF⊥BD，∴∠AFD＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADB+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADB，∵∠AEC＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADB＝∠BAF，∴BA＝BE，∵BF⊥AE，∴BF平分∠ABC．②解：如图1中，∵AN⊥NC，∴∠ANC＝∠BAC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠CAN＝30°，∠BAN＝60°，∵BA＝BE，∠ABM＝∠EBM，BM＝BM，∴△ABM≌△EBM（SAS），∴∠BEM＝∠BAM＝60°．（2）证明：过点E作EJ⊥BC交AC于J，过点B作BT⊥BC交CA的延长线于T，连接ET，BJ交于点O．∵∠TBC＝∠JEC＝90°，∠C＝60°，∴TB＝BC，JE＝EC，∵BE2＝3BC•EC＝BC EC＝BT•EJ，∴＝，∴△TBE∽△BEJ，∴∠BTE＝∠JBE，∵∠JBE+∠JBT＝90°，∴∠BTE+∠JBT＝90°，∴∠BOT＝90°，∵∠BTO＝∠ETB，∠TOB＝∠TBE＝90°，∴△TBO∽△TEB，可得TB2＝TO•TE，∵∠BAJ＝∠BEJ＝90°，∴∠BAJ+∠BEJ＝180°，∴A，B，E，J四点共圆，∴∠ABJ＝∠AEJ，∵∠BFE＝∠BEJ＝90°，∴∠AEJ+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DBC＝90°，∴∠AEJ＝∠DBC＝∠ABJ，∴∠TBJ＝∠TBA+∠ABJ＝60°+∠ABJ，∠TDB＝∠DBC+∠C＝60°+∠DBC，∴∠TBJ＝∠ADB，∵∠BTJ＝∠BTD，∴△TBJ∽△TDB，可得TB2＝TJ•TD，∴TO•TE＝TJ•TD，∴＝，∵∠OTJ＝∠ETD，∴△OTJ∽△DTE，∴∠TDE＝∠TOJ＝90°，∴ED⊥AC．。
2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案
2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学真题卷（答案在最后）本试卷共三大题，25小题，满分为100分.共4页.考试时间为90分钟.一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B = {}1,2,3，故选：D2.设命题:p x ∃∈R ，10x -≥，则命题p 的否定为（）A.R x ∀∈，10x -≤B.R x ∀∈，10x -<C.R x ∃∈，10x -≤D.R x ∃∈，10x -<【答案】B 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为：R x ∀∈，10x -<．故选：B ．3.已知i 为虚数单位，()1i i 5i a +=+，则实数a 等于（）A.1-B.1C.5- D.5【答案】C 【解析】【分析】化简方程可得i 5i a -=+，由此可求a .【详解】因为()1i i 5i a +=+，即2i i 5i a +=+，可得i 5i a -=+，所以5a =-.故选：C.4.已知2= a，b =，a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（）A.π4B.34π C.6π D.56π【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的定义求解．【详解】由已知2cos ,2a b a b a b ⋅===，又,],0π[a b ∈ ，∴π,4a b = ，故选：A ．5.如图，在长方体，1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，AB =，则异面直线CD 与11A C 所成的角的大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角．【详解】∵11//CD C D ，∴111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，在直角111AC D中，11111,A D AD C D AB ====，11111113tan 3A D A C D C D ∠==，所以11130AC D ∠=︒，所以异面直线CD 与11A C 所成的角是30︒，故选：A ．6.下列函数为奇函数的是（）A.2y x =B.e xy = C.tan y x= D.ln y x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数的性质，直接判断函数的奇偶性.【详解】A.2y x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，故A 错误；B.e x y =是非奇非偶函数，故B 错误；C.tan y x =是奇函数，故C 正确；D.ln y x =的定义域是()0,∞+，是非奇非偶函数，故D 错误.故选：C7.已知扇形的半径是1cm ，圆心角为2，则该扇形的面积是（）A.21cmB.22cm C.24cm D.28cm 【答案】A 【解析】【分析】根据扇形的面积计算公式可得.【详解】由扇形的面积公式，可得2211··2·1122S r α===，故选：A.8.已知:p a b >，33:q a b >，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可.【详解】因为3y x =在R 上单调递增，所以当a b >时，33a b >成立，反之当33a b >时，a b >成立，所以p 是q 的充要条件.故选：C9.从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：mm ），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（）A.5.40B.5.42C.5.44D.5.46【答案】A 【解析】【分析】根据众数的定义求解.【详解】根据众数的定义可得，该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值5.40.故选：A.10.为了得到函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果.【详解】对于A ，得πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭满足题意；对于B ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不满足题意；C ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意；D ，得π2cos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意.故选：A.11.函数()()lg 2f x x =-的零点是（）A.2B.3C.2,0D.()3,0【答案】B 【解析】【分析】令()0f x =，解方程可得结论.【详解】令()0f x =，可得()lg 20x -=，所以21x -=，故3x =.所以函数()()lg 2f x x =-的零点是3.故选：B.12.如图，在ABC V 中，2BO OC =，则AO 等于（）A.1133AB AC +B.1233AB AC +C.2133AB AC +D.2233AB AC +【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果.【详解】因为2BO OC =，所以()2AO AB AC AO -=- ，即得2132,33AO AC AB AO AC AB =+=+ .故选：B.13.抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M =“点数不大于2”，事件N =“点数大于1”，则下列结论中正确的是（）A.M 是不可能事件B.N 是必然事件C.M N ⋂是不可能事件D.M N ⋃是必然事件【答案】D 【解析】【分析】根据事件的定义判断．【详解】事件M 是点数为1或2，事件N 是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，M N ⋂是点为2，是随机事件，是可能发生的，M N ⋃是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件，故选：D ．14.函数23,0log ,0x x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用函数图象与x 非正半轴的交点个数及在(0,)+∞上单调性判断即可.【详解】当0x >时，函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，排除AB ；当0x ≤时，由0y =，得0x =或1x =-，此时函数图象与x 非正半轴有2个交点，排除C ，选项D 符合题意.故选：D15.从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a ，b ，则使log a b 为整数的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.【详解】由条件可知，得到不同的对数为2log 42=，2log 83=，4log 382=，41log 22=，82log 43=，81log 23=，共6个对数，其中为整数的有2个，所以概率2163P ==.故选：B16.设函数()f x 是定义域为R 的偶函数，若()f x 在区间[]2,1--上单调递减，则（）A.()()12f f ->-B.()()11f f -<C.()()12f f >-D.()()12f f <【答案】D 【解析】【分析】结合函数的单调性比较()()1,2f f --，结合偶函数性质可得()()()()11,22f f f f -=-=，由此确定结论.【详解】因为函数()f x 在区间[]2,1--上单调递减，21-<-，所以()()21f f ->-，A 错误；因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，所以()()()()11,22f f f f -=-=，B 错误；所以()()21f f >，()()21f f ->，D 正确，C 错误.故选：D.17.已知两条直线l ，m 与平面α，则下列结论中正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若l α⊥，//m α，则l m ⊥C.若//l α，m l ⊥，则m α⊥D.若l α⊥，m l ⊥，则//m α【答案】B 【解析】【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可.【详解】对于A ：若//l α，//m α，则//l m 或l 与m 相交或异面，故A 错误；对于B ；因为//m α，则存在直线a α⊂，使得//m a ，又l α⊥，所以l a ⊥，则l m ⊥，故B 正确；对于C ：因为//l α，m l ⊥，则m α⊥或//m α或m 与平面α相交（不垂直）或m α⊂，故C 错误；对于D ：因为l α⊥，m l ⊥，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B18.已知函数()22xxf x -=-，()22xxg x -=+，下列关于函数()f x 和()g x 的三个结论：①()g x 的值域是[)2,+∞；②存在0R x ∈，使得()03f x =，()04g x =；③任意x ，R y ∈，都有()()()()f x y f x y f x g y ++-=.其中所有正确结论的编号是（）A.①B.①②C.①③D.②③【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式判断①，联立方程，再结合122xx-=，判断②，根据指数运算，即可判断③.【详解】①()222x x g x -=+≥=，当22-=x x ，即0x =时等号成立，故①正确；②联立223224x x x x--⎧-=⎨+=⎩，解得：722x=，122x -=，显然这样122x x -=矛盾，故②错误；③()()2222x yx y x y x y f x y f x y +----+++-=-+-，()()()()22222222x x y y x y x y x y x y f x g y --+--+--=-+=+--，所以()()()()f x y f x y f x g y ++-=，故③正确.故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.2cos 3π=________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】结合诱导公式和特殊角三角函数结论求解.【详解】2πππ1cos cos πcos 3332⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：12-.20.已知()2,1a = ，(),2b x =- ，若a b ⊥ ，则x =________.【答案】1【解析】【分析】根据向量垂直坐标表示列方程求x 即可.【详解】因为()2,1a = ，(),2b x =- ，a b ⊥ ，所以220x -=，所以=1故答案为：1.21.某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n 人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则n =________.【答案】300【解析】【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n 人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人，则每个学生被抽到的概率为1001600p =，可得114401600176016n =++，解得300n =（人），故答案为：300.22.如图，城市A 在观察站B 的北偏东40︒方向上且相距20km ，在观察站C 的北偏西20︒方向上相距30km .则观察站B 和C 相距________km.【答案】【解析】【分析】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，利用余弦定理求.BC 【详解】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理可得2222·cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠，所以21400900220307002BC =+-⨯⨯⨯=，故BC =故答案为：.三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.23.已知函数()1sin 2f x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.【答案】（1）πT =；（2）π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解；（2）结合正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间，再求其与π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦交集即可.【小问1详解】因为()1sin 2f x x =+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，Z k ∈，则ππππ44k x k -+≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点.（1）求证：1BD AC ⊥；（2）若2AB =，1AA =，求三棱锥1B DCC -的表面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得.（2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可.【小问1详解】证法一：由题意知，ABC V 为正三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，又因为1AC CC C = ，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.证法二：如图，取1CC 中点E ，连接DE ，BE ，则BDE ∠或其补角即为异面直线1AC 与BD 所成的角，在BDE V 中，3BD =，3DE =，6BE =则BDE V 为直角三角形，90BDE ∠=︒，即异面直线1AC 与BD 所成的角为直角，故1BD AC ⊥.【小问2详解】因为ABC V 为正三角形，2AB =，所以3BD =，所以BCD △的面积11322S BD DC =⋅=，又1CC ⊥平面ABC ，所以1CC BC ⊥，1CC DC ⊥，所以1C CD 的面积21122S DC CC =⋅=1BC C △的面积31122S BC CC =⋅=，由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，所以1BD C D ⊥，13C D =，所以1BC D 的面积4113322S BD DC =⋅=，所以三棱锥1B DCC -的表面积123432S S S S S =+++=.25.为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长72米，宽54米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x 米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中13x ≤≤.（1）若种植植物的区域面积不小于3640平方米，求x 的取值范围；（2）若修建观赏通道的总费用为11881199m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭元，种植植物的费用为m x元/平方米（m 为正常数）.当x 为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m 表示）.（完成此计划的总费用=修建观赏通道的总费用+种植植物的总费用）【答案】（1）[]1,2；（2）32x =，最低总费用3474m 元.【解析】【分析】（1）由条件求出种植植物的区域面积，结合条件列不等式求其解可得结论；（2）根据条件求出完成此计划所需要的总费用，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】由题意得种植植物的区域面积为()()7254x x --，所以()()72543640x x --≥，即21262480x x -+≥，解得2x ≤或124x ≥.又13x ≤≤，得12x ≤≤，所以x 的取值范围为[]1,2.【小问2详解】设完成此计划所需要的总费用为S 元，则()()1188997254119930041263004126m S x x m x m x m m x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=--⋅+-=+-≥⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭36001263474m m m =-=，当且仅当94x x =即32x =时等号成立.所以，当32x =时，完成此计划所需要的最低总费用3474m 元.。
2020年安徽省普通高中数学学业水平测试必修5测试题
2020年安徽省普通高中数学学业水平测试必修5测试题一、选择题（每小题3分，共54分）1．设集合2{|20}A x x x =--<，2{|log 3}B x x =<，则A B =（ ）A ．（－1，2）B ．（0，2）C ．（－1，8）D ．（0，8）2．数列31，52，73，94…的通项公式n a 是（ ） A ．21n n - B ．23nn - C ．21n n +D ．23nn + 3．下列结论正确的是（ ）A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <a b >4．三边a ，b ，c 分别对应于角A ，B ，C ，1=a ，3=b ，3π=B ，则C ＝（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．若点A （3，1）和B （－4，6）在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．－7＜a ＜24B ．－24＜a ＜7C ．a ＞7或a ＜－24D ．a ＜－7或a ＞246．已知各项为正数的等比数列{}n a 中，12=a ，6464=a a ，则公比q ＝（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．27．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，若3a =，4b =，60C =，则c ＝（ ）A ．5B ．11C D8．不等式3112x x -≥-的解集是（ ） A ．3{|2}4x x ≤≤ B ．3{|2}4x x ≤< C ．{|2x x >或3}4x ≤ D ．3{|}4x x ≥9．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若58215a a a -=+，则9S 等于（ ） A ．18 B ．36 C ．45 D ．6010．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .，已知a =，2=c ，2cos 3A =，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．311．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，43a =，则62a a +（ ）A ．有最小值3B ．有最小值6C ．有最大值6D ．有最大值912．已知两个正数a ，b 满足523=+b a ，则32a b+的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．513．数列{}n a 中，已知12a =，()()11n n n a na n N *++=∈，则通项n a 等于（ ）A ．21n + B ．2nC ．41n + D ．4n14．若0ab >，则下列不等式不一定能成立的是（ ）.A ．222a b ab +≥B ．222a b ab +≥- C．2a b+≥ D ．2b a a b+≥ 15．在△ABC 中，内角B ＝60°，边长8a =，7b =，则此三角形的面积为（ ）A．B．C．D．16．若实数x ，y 满足1002x y x x -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则yx 的取值范围是（ ）A ．3(0,]2B ．3(0,)2C ．3(,)2+∞D ．3[,)2+∞17．已知0a >，0b >，且24a b +=，则ab 的最大值为（ ）A ．14B ．4C ．12D ．218．已知一元二次方程()22120x m x m +-+-=的两个根一个大于1另一个小于1，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（－2，1）B ．（∞-，1）C ．（－1，2）D ．-∞(，2() 1，)∞+ 二、填空题（每小题4分，共16分）19．等差数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+．则此数列的公差d ＝ ．20．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，则y x z +=4的最大值为 ．21．已知x ＞2，则函数x x y +-=24的最小值是 ． 22．已知数列}{n a 的通项公式为⎩⎨⎧>≤--=-773)3(6n a n n a a n n ，，，若}{n a 是递增数列，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（每小题10分，共30分）23．已知函数a x a x x f 2)2()(2++-=（R a ∈）. （Ⅰ）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（Ⅱ）若当R x ∈时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.24．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos 2cos b A c a B =-． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =△ABC △ABC 的周长．25．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n a 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ．2020年安徽省普通高中数学学业水平测试必修5测试题数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上.）19．2 20．8 21．6 22．（2，3）三、解答题23．解：（Ⅰ）()()()020f x x x a <⇔--<，讨论如下：当2a <时，不等式的解集为(),2a ；当2a =时，不等式的解集为∅； 当2a >时，不等式的解集为()2,a ；（Ⅱ）()()242240f x x a x a ≥-⇔-+++≥对一切实数x 恒成立，则()()224240a a ∆=+-+≤，即1242--a a ≤0，解得：26a -≤≤，所以实数a 的取值范围是［－2，6］． 24．（Ⅰ）由已知条件及正弦定理，得B AC A B cos )sin sin 2(cos sin -=，即B C B A B A cos sin 2sin cos cos sin =+，则B C B A cos sin 2)sin(=+， 因为C B A -=+π，所以C B A sin )sin(=+，则B C C cos sin 2sin =，又∈C （0，π），所以0sin ≠C ， 于是21cos =B ，又∈B （0，π），故3π=B ． （Ⅱ）由343sin 21===∆ac B ac S ABC ，所以4=ac ． 由余弦定理，得12)(3)(132222-+=-+=-+=c a ac c a ac c a ，所以25)(2=+c a ，即5=+c a ，从而135c +=++b a ，故△ABC 的周长为135+．25．（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，0≠d ，由155=S ，得151051=+d a ，即321=+d a ，①因为1a ，2a ，4a 成等比数列，则4122a a a =，即)3()(1121d a a d a +=+，② 由①，②解得，11==d a ，故n a n =． （）由（）知，111)1(1+-=+=n n n n b n ，所以n b b b T +++= 211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1113121211n n 1111+=+-=n nn ．。
2020年安徽省中考数学学业水平测试卷(6月份) (含答案解析)
2020年安徽省中考数学学业水平测试卷（6月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.2018的相反数是()A. 2018B. −2018C. 12018D. −120182.下列计算正确的是()A. x2+3x2=4x4B. x2y⋅2x3=2x4yC. (6x3y2)÷(3x)=2x2D. (−3x)2=9x23.2018年安徽省上半年实现GDP约为14264亿元，将14264亿用科学记数法表示为()A. 0.14264×1013B. 1.4264×1013C. 1.4264×1012D. 1.4264×1044.一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主(正)视图为()A.B.C.D.5.反比例函数y=3x与一次函数y=x+2的图象交于点A(a,b)，则a−b+ab的值是()A. 1B. −1C. 3D. 26. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边的中点，BC =12，CD =10，则AC =( )A. 14B. 15C. 16D. 187. 为了解九年级学生的地力情况，某校随机抽取50名学生进行视力检查，结果如下：视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.0以上 人数(人)615510347这50名学生视力的中位数和众数分别为( )A. 4.6，4.6B. 4.7，4.6C. 4.7，4.8D. 4.8，4.68. (−15)×(−15)×(−15)可表示为( )A. −135B. 3×(−15)C. (−15)3D. 1539. 如图是函数y =x 2−2x −3(0≤x ≤4)的图象，直线l//x 轴且过点(0,m)，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是( )A. m ≥1B. m ≤0C. m ≥1或m ≤0D. 0≤m ≤110. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，若cosα=35，AB =4，则AD 的长为( )A. 3B. 163C. 203D. 165二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.不等式2+3≥x+1，的解集是______12.因式分解；ab2+6ab+9a=______．13.如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，则OA的长为______．14.如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF=4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.计算：(−2018)0−4sin45°+√8−2−1．16.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B 两种饮料各生产多少瓶？17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB，线段MN在网格线上．(1)画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1(点A1，B1分别为A，B的对应点)；(2)将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．18.观察下列各式：2×6+4=42…………①4×8+4=62…………②6×10+4=82…………③……探索以上式子的规律：(1)试写出第5个等式；(2)试写出第n个等式(用含n的式子表示)，并用你所学的知识说明第n个等式成立．19.改革开放40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC//HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD=11°，∠ADE=26°，∠ACE=31°，BC=20m，EG=0.6m．(1)求线段AG的长度；(2)连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．(所有结果精确到0.1m.参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60)20.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF．(1)求证：∠1=∠F．(2)若sinB=√5，EF=2√5，求CD的长．521.某校九(1)班期末考试数学及格人数的统计情况如下表(总分为150分，且考试成绩均为整数)，并绘制成如图所示的频数分布直方图．成绩89.5～99.599.5～109.5109.5～119.5119.5～129.5129.5～139.5139.5～150.5合计分组频68m n64b数占调查总人12％16％32％a％12％8％100％数的百分比请你根据图表提供的信息，解答下列问题．(1)直接写出m，n，a，b的值，并补全频数分布直方图；(2)如果规定120分(含120分)以上为优秀，且已知该校九年级共有学生1500人，及格率为80％，请你估计该校九年级学生这次数学考试成绩为优秀的人数；(3)已知考试成绩的前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人参加全县数学竞赛，求选中的2人恰好性别相同的概率．22.某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足w=−2x+80(20≤x≤40)，设销售这种手套每天的利润为y(元)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？23.在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠BAD=∠BAC．(1)如图1，求证：DBBC =ADAC；(2)如图2，在AD上有一点E，∠EBA=∠ACB=120°.若AC=2BC=2，求DE的长；(3)如图3，若AB=AC=2BC=4，BE⊥AB交AD于点E，直接写出△BDE的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：2018的相反数是：−2018．故选：B．直接利用相反数的定义分析得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.答案：D解析：此题主要考查了合并同类项以及结合单项式乘以单项式和整式除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用合并同类项法则以及结合单项式乘以单项式和整式除法运算法则分别化简得出答案．解：A.x2+3x2=4x2，故此选项错误；B.x2y⋅2x3=2x5y，故此选项错误；C.(6x3y2)÷(3x)=2x2y2，故此选项错误；D.(−3x)2=9x2，故此选项正确．故选D．3.答案：C解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：14264亿=1.4264×1012，故选C．4.答案：A解析：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解：从正面看上边是一个三角形，下边是一个矩形，故选A．5.答案：A解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出ab= 3、a−b=−2是解题的关键．的图象与一次函数y=x+2的图象的交点，可得出ab=3、a−b=由点A(a,b)为反比例函数y=3x−2，将其代入a−b+ab中即可求出结论．的图象与一次函数y=x+2的图象交于点A(a,b)，解：∵反比例函数y=3x∴b=3，b=a+2，a∴ab=3，a−b=−2，∴a−b+ab=−2+3=1．故选A．6.答案：C解析：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB边的中点，CD=10，∴AB=2CD=20，∵BC=12，∴在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=16．故选：C．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，再利用勾股定理列式求出AC．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 7.答案：B解析：【试题解析】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据众数和中位数的定义求解可得． 解：这组数据的众数为4.6，中位数为4.7+4.72=4.7，故选B ． 8.答案：C解析：本题考查了有理数的乘方，熟悉有理数的乘方定义是解题的关键，根据有理数的乘方计算方法解答即可．解：(−15)×(−15)×(−15)=(−15)3， 故选C ． 9.答案：D解析：此题考查了二次函数与几何图形，二次函数的最值，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则m 的范围可知．解：如图1所示，当m =0时，∵y =(x −1)2−4，∴顶点坐标为(1,−4)，当x=0时，y=−3，∴A(0,−3)，当x=4时，y=5，∴C(4,5)，∴当m=0时，D(4,−5)，∴此时最大值为0，最小值为−5；如图2所示，当m=1时，此时最小值为−4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，故选D．10.答案：B解析：由矩形的性质可得AB=CD=4，∠ADC=90°，由余角的性质可得cosα=cos∠ACD=35，由锐角三角函数可得AC=203，由勾股定理可求AD的长．本题考查了矩形的性质，直角三角形的应用，勾股定理，证∠ACD=∠ADE=α是本题的关键．解：∵∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ACD=90°，∴cosα=cos∠ACD=35，∴CDAC =35，∴AC=203，由勾股定理，得AD=√AC2−CD2=163．故选B．11.答案：x≤4解析：解：2+3≥x+1，−x≥1−2−3，−x≥−4，∴x≤4，故答案为x≤4．移项，合并同类项，系数化为1即可．本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．12.答案：a(b+3)2解析：解：ab2+6ab+9a=a(b2+6b+9)=a(b+3)2．故答案为：a(b+3)2．直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．13.答案：10解析：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能根据切线的性质求出OC⊥AB是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径.连接OC，根据切线的性质得出OC⊥AB，求出AC，根据勾股定理求出即可．解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，∴∠ACO=90°，∵∠A=∠B，∴OA=OB，∴AC=BC=12AB=12×16=8，∵OC=6，∴由勾股定理得：OA=√OC2+AC2=√62+82=10．故答案为10．14.答案：2或8解析：解：分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：由折叠可得，D，D′关于EF对称，即EF垂直平分DD′，∴DE=D′E，∵正方形ABCD的边长是9，∴AB=BC=CD=AD=9，∵CF=4，∴DF=D′F=CD−CF=9−4=5，∴CD′=√D′F2−CF2=3，∴BD′=BC−CD′=6，设AE=x，则BE=9−x，在Rt△AED和Rt△BED′中，由勾股定理得：DE2=AD2+AE2=92+x2，D′E2=BE2+BD′2= (9−x)2+62，∴92+x2=(9−x)2+62，解得：x=2，即AE=2；②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：由折叠可得，D，D′关于EF对称，即EF垂直平分DD′，∴DE=D′E，∵正方形ABCD的边长是9，∴AB=BC=CD=AD=9，∵CF=4，∴DF =D′F =CD −CF =9−4=5，CD′=√D′F 2−CF 2=3，∴BD′=BC +CD′=12，设AE =x ，则BE =9−x ，在Rt △AED 和Rt △BED′中，由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2=92+x 2，D′E 2=BE 2+BD′2=(9−x)2+122，∴92+x 2=(9−x)2+122，解得：x =8，即AE =8；综上所述，线段AE 的长为2或8；故答案为：2或8．分两种情况：①当D′落在线段BC 上时，连接ED 、ED′、DD′，由折叠可得，D ，D′关于EF 对称，即EF 垂直平分DD′，得出DE =D′E ，求出DF =D′F =CD −CF =5，CD′=√D′F 2−CF 2=3，得出BD′=BC −CD′=6，设AE =x ，则BE =9−x ，在Rt △AED 和Rt △BED′中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当D′落在线段BC 延长线上时，连接ED 、ED′、DD′，解法同①．本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．15.答案：解：原式=1−4×√22+2√2−12=1−2√2+2√2−12=12．解析：直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16.答案：解：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，由题意，得{x +y =100,2x +3y =270.解得：{x =30,y =70.答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶．解析：本题需先根据题意设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程组，求出结果即可．本题主要考查了二元一次方程组的应用，要能根据题意得出等量关系，列出方程组是解答本题的关键．17.答案：解：(1)如图线段A1B1即为所求．(2)如图，线段B1A2即为所求．解析：(1)分别作出A，B的对应点A1，B2即可．(2)作出点A1的对应点A2即可．本题考查作图−旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.答案：解：(1)第5个等式：10×14+4=122；(2)第n个等式：2n(2n+4)+4=(2n+2)2；证明：∵2n(2n+4)+4=4n2+8n+4，(2n+2)2=4n2+8n+4，∴2n(2n+4)+4=(2n+2)2，故原等式成立．解析：(1)根据观察发现，发现第5个等式：10×14+4=122；(2)根据观察发现，发现第n个等式：2n(2n+4)+4=(2n+2)2；将等式两边展开，即可证明等式相等．本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．19.答案：解：(1)设AE=x，∵tan∠ABE=AEBE ，tan∠ACE=AECE，∴BE =x 0.19，CE =x 0.60∵BE +CE =BC ，∴x 0.19+x 0.60=20，∴解得：x ≈2.9，∴AG =2.9+0.6=3.5m ；(2)当AF ⊥AC 时，∴∠FAG +∠EAC =∠EAC +∠ACE =90°，∴∠FAG =∠ACE =31°，∴tan31°=FGAG ，∴FG ≈2.1；解析：(1)设AE =x ，由题意可知：BE =x 0.19，CE =x 0.60，根据BE +CE =BC 列出方程即可求出答案．(2)由于AF ⊥AC ，所以∠FAG =∠ACE =31°，利用锐角三角函数的定义即可求出AG 的值． 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 20.答案：(1)证明：如图，连接DE ．∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DEB =90°．∵E 是AB 的中点，∴DA =DB ，∴∠1=∠B ．∵∠B=∠F，∴∠1=∠F．(2)解：∵∠1=∠F，∴AE=EF=2√5，∴AB=2AE=4√5．在Rt△ABC中，AC=AB·sin B=4，∴BC=√AB2−AC2=8．设CD=x，则AD=BD=8−x．∵AC2+CD2=AD2，即42+x2=(8−x)2，∴x=3，即CD=3．解析：本题考查解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)连接DE.证明DE是线段AB的垂直平分线即可解决问题；(2)首先求出AB、AC、BC的长，设AD=DB=x，在Rt△ACD中，根据AC=AB·sin B，AC2+CD2= AD2，设CD=x，构建方程即可解决问题；21.答案：解：(1)b=50，m=16，n=10，a=20；(2)优秀的人数：10+6+450×1500×80％=480(人)；(3)如图：总情况有12种，性别相同有4种，概率为412=13．解析：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，用到的知识点是频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比，概率公式P=nm(1)先算出总数b，再求出a，m，n，并不全直方图；(2)根据题意列式计算即可；(3)用树状图得出所有情况，再求出随机事件的概率．(1)总人数：b=6÷12%=50(人)，m=50×32%=16，n=50−4−6−8−6−16=10，10÷50=20%，则a=20；故答案为：b=50，m=16，n=10，a=20，补全的图，如图(2)见答案；(3)见答案．22.答案：解：(1)y=w(x−20)=(−2x+80)(x−20)=−2x2+120x−1600；(2)y=−2(x−30)2+200．∵20≤x≤40，a=−2<0，∴当x=30时，y最大值=200．答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．解析：(1)用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；(2)由(1)得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．本题考查的是二次函数的应用，(1)根据题意得到二次函数．(2)利用二次函数的性质求出最大值．(3)由二次函数的值求出x的值．23.答案：(1)证明：如图1中，作BE⊥AD于E，BF⊥AC于F．∵∠BAD=∠BAC，BE⊥AD，BF⊥AC，∴BE =BF ，， ∴BD BC =AD DC ．(2)解：如图2中，作AH ⊥DC 交DC 的延长线于H ．在Rt △ACH 中，∵∠AHC =90°，AC =2，∠ACH =60°， ∴CH =1，AH =√3，在Rt △ABH 中，AB =√AH 2+BH 2=√7，∵∠EAB =∠BAC ，∠ABE =∠ACB ， ∴△EAB∽△BAC ，∴AE AB =AB AC =EB BC ， ∴√7=√72=EB 1， ∴AE =72，EB =√72， ∵∠ABD =∠DBE +∠ABE =∠ACB +∠BAC ，∠ABE =∠ACB ，∴∠DBE =∠BAC ，∵∠BAC =∠BAD ， ∴∠DBE =∠BAD ，∵∠D =∠D ，∴△DEB∽△DBA ， ∴DE DB =DB DA =BE AB ，∴DE DB =DBDE+72=√727， ∴DE =76；(3)解：如图3中，作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M，EF⊥BD于F．∵AB=AC=4，AH⊥BC，∴BH=CH=1，∴AH=√AB2−BH2=√15，∵12⋅BC⋅AH=12⋅AC⋅BM，∴BM=√152，AM=√AB2−BM2=72∵∠BAE=∠BAM，∠ABE=∠AMB=90°，∴△ABE∽△AMB，∴BEBM =ABAM，∴BE=4√157，由△EFB∽△BHA，∴EFBH =BFAH=BEAB，∴EF1=√15=4√1574，EF=√157，BF=157，∵EF//AH，∴DFDH =EFAH，∴DFDF+1+157=√157√15，∴DF=1121，∴S△BDE=12⋅BD⋅EF=12×(1121+157)×√157=4√1521．解析：本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用相似三角形的性质确定线段的长，属于中考压轴题．(1)如图1中，作BE⊥AD于E，BF⊥AC于F.利用面积法证明即可；(2)如图2中，作AH⊥DC交DC的延长线于H.解直角三角形求出AB，再利用相似三角形的性质解决问题即可；(3)如图3中，作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M，EF⊥BD于F.利用面积法求出BM，再利用相似三角形的性质求出BE，BF，EF，DF即可解决问题．。
2020年安徽省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出抽样比，再计算即可.
【详解】抽样比例为 ，
则应抽取男生 人，抽取女生 人.
故选：B.
【点睛】本题考查分层抽样的计算，属于基础题.
7.下列函数中是奇函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
19.在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为____________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）.
【答案】随机.
【解析】
【分析】
任意取一球是随机事件.
【详解】解：由于是任意取一球，所以是随机事件，
故答案为：随机.
【点睛】考查随机事件的判断，基础题.
20.执行下边程序框图，若输入 ，则输出的 _____________.
【详解】A选项，圆柱的主视图为矩形，故A正确；
B选项，圆锥的主视图为等腰三角形，故B错；
C选项，棱锥的主视图为三角形，故C错；
D选项，球的主视图为圆，故D错.
故选：A.
【点睛】本题主要考查简单几何体的正视图，属于基础题型.
3. 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的诱导公式即可得到答案.
【详解】因为四边形 为菱形，对角线 和 相交于点 ，
所以 ， ， ，故A，B，D正确.
而 ， 不一定相等，故C错误 .
故选：C
【点睛】本题主要考查平面向量的定义，属于简单题.
15.某小区12户居民5月份的用电量（单位：千瓦时）如茎叶图所示，则这组数据的中位数为（）
2025年安徽高中学业水平合格性考试数学试卷试题(含答案详解)
2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题一、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,32.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.43.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥4.函数()1xf x x =+-的定义域是（）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞5.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.67.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-8.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥ B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<9.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β10.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．2711.若一个圆台的高为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.3B.3C. D.12.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >13.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为4的矩形C.面积为D.面积为324的菱形14.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)15.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）A.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -16.要得到函数()1sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,sin 43a A B π===，则b =（）A.233B.C.D.18.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0ax b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．19.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.20.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率________．21.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b的夹角为60︒，则2a b += ______.22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．24.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x+元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题（参考答案）二、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.25.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,3【解析】C 依题意，集合{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =--≤=≤≤，而{1,0,1,2,3}B =-，所以{}1,2A B = .26.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.4【解析】D 因为21>，所以()24f =.27.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥【解析】C命题：2R,0x x ∀∈≥是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是：2R,0x x ∃∈<.28.函数()1xf x x =+-）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞【解析】D 由解析式有意义可得1010x x -≥⎧⎨-≠⎩，故1x >，故函数的定义域为(1,)+∞.29.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】A 因为关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根，所以240m ∆=-≥，所以2m ≤-或2m ≥，因为{}3mm >∣是集合{2m m ≤-∣或}2m ≥的真子集，所以“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的充分不必要条件.30.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.6【解析】B 由对数运算法则化简得23333333362log 6log 4log 36log 4log log 9log 324-=-====.31.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-【解析】B 因为向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，且a b，得()1313m ⨯=-⨯，得m =1-.32.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<【解析】D 由x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <可得01a b a<⎧⎪⎨=⎪⎩，故02ax b x +≥-可变形为102x x +≤-，不等式102x x +≤-等价于()()12020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得12x -≤<.33.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β【解析】A 对A ：根据线面垂直的性质：两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线互相平行，故选项A 正确；对B ：若m ⊥n ，n //α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项B 错误；对C ：若m //β，β⊥α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项C 错误；对D ：若m //n ，m //β，则n //β或n β⊂，故选项D 错误.34.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．27【解析】C 由题意知[4.7，0.32，[4.6，4.7)之间频率为1－(0.62＋0.05＋0.11)＝1－0.78＝0.22，所以a ＝(0.22＋0.32)×100＝54.35.，母线长为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.73π3B.53π3C. D.【解析】A 设圆台的上底面半径为r '，下底面半径为r ，母线为l ，则圆台的侧面积()π6πS r r l '=+=，可得3r r '+=，又因为圆台的高h 1r r '-==，故有12r r '==，，圆台的体积()()221173πππ124333V h r r r r ''=++=++=圆台．36.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >【解析】A 若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，则141x y+=，144()224444y y y x x x x y x y +=++=+++ ，当且仅当48x y ==时取得等号，不等式234y x m m +>-恒成立，等价为23()4min ym m x -<+，则234m m -<，解得14-<<m ．37.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为324的矩形C.面积为D.面积为4的菱形【解析】C 451D O A O C C D '∠''''''=== ，，所以O D ''=故在原图中，OD =1CD C D ''==3OC ===，所以四边形OABC 为菱形(如图所示)，3OA =，则原图形面积为S OA OD =⨯=38.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】C 因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，函数4y x =-在()-∞+∞，上单调递增，函数()24x f x x =+-在()-∞+∞，上单调递增，因为()()()()11250,0140,1=230,220,(3)70f f f f f --=-<=-<-<=>=>，所以()()120f f <，函数零点在区间(1,2)内.39.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）B.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -【解析】B 在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则13BM BC = ，所以121()333AM AB BM AB AC AB AB AC =+=+-=+ .40.要得到函数()13sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度【解析】A ()13πsin 2cos 2sin 2223f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，把函数()sin 2g x x =的图象向左平移π6个单位得到ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足要求，A 正确，其他选项均不合要求.41.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3,sin 43a A B π===，则b =（）A.3B.C.D.【解析】A因为3,sin 43a A B π===，由正弦定理sin sin ab A B =，23=，解得3b =.42.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0a x b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9【解析】C 当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg0a x b x +-⋅≤恒成立，得当10x b +-≥时，2lg a x ≤恒成立，且当10x b +-≤时，2lg 0a x ≥恒成立，即当1x b ≥-时，2x a ≥恒成立，且当1x b ≤-时，02x a <≤恒成立，因此21a b ≤-且21a b ≥-，则21a b =-，即21a b +=，于是12124(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当4b a a b =，即122b a ==时取等号，所以12a b +的最小值为8.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．43.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.【解析】已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()23f -=，所以()()()230f f f -==．44.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率__________．【解析】记事件A ：“李明成绩不低于90分”，事件B ：“李明成绩不低于60分且低于90分”，事件C ：“李明成绩低于60分”，则()0.1P A =，()0.6P B =，A 与B 互斥，所以()()110.10.60.3P C A B P A B =+=-+=--=.45.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b 的夹角为60︒，则2a b += ______.【解析】2a b += ，46.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．【解析】如下图所示，连接1AD 、AE 、DE ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，因为11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，故11//AD BC ，所以，异面直线1BC 和1D E 所成角为1AD E ∠或其补角，因为AE ===，同理可得1AD =，DE =，由勾股定理可得13D E ===，由余弦定理可得222111112cos 22AD D E AE AD E AD D E +-∠==⋅，所以，145AD E ∠=，故异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为45 .三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．47.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．【解析】（1）在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，∴BC ∥AD ．（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，∵E 是PD 的中点，∴EF ∥AD ，12EF AD =，又由（1）可得BC ∥AD ，且12BC AD =，∴BC ∥EF ，BC ＝EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴EC ∥FB ，∵EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB．48.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.【解析】（1）由诱导公式得，原式sin sin 32tan cos 2αααα--===--.（2）原式tan 11tan 211αα+==--.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x +元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.【解析】（1）设甲工程队的总造价为1y 元，因为荣举室的左右两面墙的长度均为x 米，且长方体底面积为24平方米，可得底面长方形的另一边长为24x米，则甲工程队的总造价为：[]12416233003400126001800()12600,1,6y x x xx x =⨯⨯+⨯⨯++=++∈，又由168x x +≥=，当且仅当4x =时，等号成立，所以()1min 180081260027000y =⨯+=（元），当10a =时，设乙工程队的总造价为2y 元，则()[]21800102218000(1),1,6y x x x x⨯+=⨯∈=+，因为函数21y x=+在[]1,6x ∈上为单调递减函数，所以()2min 24000y =（元），由2700024000>，所以学校选择乙工程队进行建造.(2)若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为270000540021600-=（元），若乙工程队确保自己被选中，则满足()2min 21600y ≤，又由乙工程队的造价为()[]2180022180601(1,)a x y a x xx =∈+=+，由（1）知，当6x =时，()2min 21800(1)24006y a a =⋅+=，由022400016a ≤，解得9a ≤，因为0a >，所以09a <≤，所以实数a 的最大值为9.。
安徽普通高中会考数学真题及答案
2024年安徽普通高中会考数学真题及答案2024年安徽普通高中会考数学真题及答案一、真题部分1、在等差数列${ a_{n}}$中，已知$a_{3} + a_{7} = 22$，那么$a_{5} =$（） A.$10$ B.$9$ C.$8$ D.$7$2、已知复数$z = \frac{1 + i}{1 - i}$，则$|z| =$（）A.$1$B.$\sqrt{2}$C.$2$D.$2\sqrt{2}$3、已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (x,y)$，且$\overset{\longrightarrow}{a} \perp\overset{\longrightarrow}{b}$，则$xy$的值为（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$二、答案部分1、正确答案是：A. $10$ 在等差数列${ a_{n}}$中，因为$a_{3} + a_{7} = 22$，所以$a_{5} = \frac{a_{3} + a_{7}}{2} = 10$。
因此，答案为A。
2、正确答案是：B. $\sqrt{2}$ 复数$z = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^{2}}{(1 - i)(1 + i)} = i$，因此$|z| = 1$. 所以正确答案为B。
3、正确答案是：C.$4$ 向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (x,y)$，且$\overset{\longrightarrow}{a} \perp\overset{\longrightarrow}{b}$，所以$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot\overset{\longrightarrow}{b} = x + 2y = 0$，解得$xy = 4$. 因此，正确答案为C。
安徽省普通高中2020年数学学业水平模拟考试试卷
安徽省普通高中2020年数学学业水平模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
(共10题；共40分)1. （4分）一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（）A .B .C . 20D . 40【考点】2. （4分） (2019高二下·温州期中) 已知集合，，则＝（）A .B .C .D .【考点】3. （4分） (2019高三上·赤峰月考) 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 7【考点】4. （4分） (2016高一下·双流期中) 函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A .B . πC .D . 2π【考点】5. （4分） (2019高一上·江苏月考) 已知函数，对于任意的，都有，设，，，则（）A .B .C .D .【考点】6. （4分） (2017高一下·沈阳期末) 已知三地在同一水平面内，地在地正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队员在、之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，在其不超过的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A .B .C .D .【考点】7. （4分）(2017·武汉模拟) 已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则 |的取值范围是（）A .B .C . [1，2]D .【考点】8. （4分） (2020高一上·梧州期末) 直线和直线的位置关系是（）A . 重合B . 垂直C . 平行D . 相交但不垂直【考点】9. （4分） (2019高一下·哈尔滨月考) 的三内角所对边的长分别为设向量, ,若 ,则角的大小为（）A .B .C .D .【考点】10. （4分）(2018·大庆模拟) 若满足，则的最大值为（）A . 2B . 5C . 6D . 7【考点】二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
安徽省2020年普通高中数学学业水平考试模拟卷
安徽省2020年普通高中数学学业水平考试模拟卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）集合,若,则a的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 42. （2分）函数，函数，若存在，使得成立，则实数m的取值范围是（）A . (0,1]B . [1,2]C .D .3. （2分） (2020高一下·泸县月考) 函数的最小正周期为，则图象的一条对称轴方程是（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数是偶函数，则的值等于（）A . -8B . -3C . 3D . 85. （2分）(2017·襄阳模拟) 已知某几何体的三视图如图所示（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是（）A . 36π+288B . 36π+216C . 33π+288D . 33π+2166. （2分） (2019高二上·长沙月考) 设与是相互垂直的两个向量，，且满足，则（）A .B . 4C . 2D .7. （2分） (2018高二上·孝昌期中) 已知个数，，…，的平均数为，方差为，则数，，…，的平均数和方差分别为（）A . ，B . ，C . ，D . ，8. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：48101212356由表中数据求得关于的回归方程为，则，，这三个样本点中落在回归直线下方的有（）个A . 1B . 2C . 3D . 09. （2分） a=是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0相互垂直”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2016高一下·信阳期末) 已知向量 =（a，﹣2）， =（1，1﹣a）， =（a，0），且⊥（﹣），则实数a=（）A . 1B . 0或1C . 3D . 0或311. （2分） (2019高三上·汉中月考) 给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（）A . ②③B . ①②C . ①②③D . ②12. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知，则方程实数根的个数为（）A . 7B . 6C . 5D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·中山期末) 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =________.14. （1分）以C（4，﹣6）为圆心，半径等于4的圆的方程为________．15. （1分）直线l经过点P（1，﹣1），且它的倾斜角是直线x﹣y+2=0的倾斜角的2倍，那么直线l的方程是________16. （1分）实数x，y满足不等式组，那么目标函数z=x+2y的最小值是________三、解答题 (共5题；共35分)17. （5分）(2019·天津模拟) 如图，三棱柱中，平面，，，以，为邻边作平行四边形，连接， .（1）求证：平面；（2）若二面角为 .①求证：平面平面；②求直线与平面所成角的正切值.18. （10分） (2016高一下·天全期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知a3=24，a6=18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅲ）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．19. （10分）(2020·吴江模拟) 中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求边的值；（2）求的值．20. （5分） (2019高二上·怀仁期中) 已知圆过点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）点为圆上任意一点，求的最值.21. （5分）(2019·吉林模拟) 已知．（1）若函数的最小值为3，求实数a的值；（2）若时，函数的最大值为k，且．求的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共35分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
安徽省2020年普通高中数学学业水平考试模拟卷
安徽省 2020 年普通高中数学学业水平考试模拟卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020·漳州模拟) 已知集合，，则（）A.或B.或C.D.2. （2 分） (2019 高一上·大庆月考) 函数 A.2 B.1在上的最小值为（ ）C.D. 3. （2 分） (2019 高三上·杭州期中) 若函数的最小正周期为 ，则正数 的值是（ ）A.B.1C.2D.44. （2 分） (2019 高一上·黄骅月考) 已知函数是定义在 上的奇函数，且满足，则的值为（ ）第 1 页 共 18 页A . -1 B.0 C.1 D.2 5. （2 分） 一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个圆，尺寸如图，那么这个几何体的外 接球的体积为（ ）A. B. C. D. 6. （2 分） (2013·大纲卷理) 已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ）， 则 λ=（ ） A . ﹣4 B . ﹣3 C . ﹣2 D . ﹣1 7. （2 分） (2016 高二下·金堂开学考) 在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示第 2 页 共 18 页的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为 甲、 乙 ， 则下列判断正确的是（ ）A . 甲＜ 乙 ， 甲比乙成绩稳定B . 甲＞ 乙，甲比乙成绩稳定C . 甲＜ 乙 ， 乙比甲成绩稳定D . 甲＞ 乙 ， 乙比甲成绩稳定8. （2 分） 一位母亲记录了儿子 3～9 岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为 这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的叙述是（ ）=7.19x+73.93，用A . 身高一定是 145.83cmB . 身高在 145.83cm 以上C . 身高在 145.83cm 以下D . 身高在 145.83cm 左右9. （2 分） (2017 高一上·武邑月考) 若两直线 （）与垂直，则 的值为A.0B.2C . 0或2D . 0 或-210. （2 分） (2018 高一下·威远期中) 已知向量 a=(1,2)，b=(1,1)，且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 满足（ ）A . λ<−第 3 页 共 18 页B . λ>−C . λ>− 且 λ≠0D . λ<− 且 λ≠−5 11. （2 分） (2016 高二上·襄阳开学考) 若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面 β 内， l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是（ ） A . l 与 l1 ， l2 都不相交B . l 与 l1 ， l2 都相交 C . l 至多与 l1 ， l2 中的一条相交 D . l 至少与 l1 ， l2 中的一条相交12. （2 分） (2020 高三上·双鸭山开学考) 已知函数是 上的偶函数，且时，，则函数的零点个数是（ ），当A.3 B.4C.5D.6二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高一下·阿拉善左旗期末) 某校共有学生 2000 名，各年级男、女学生人数如右表示，已 知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生 中抽取 100 人，则应在高三年级中抽取的学生人数为________.年级 女生 男生高一 385 375高二 360高三第 4 页 共 18 页14. （1 分） (2019·西宁模拟) 已知 ， 分别是双曲线 ：上一点，则的外接圆的标准方程为________．的左、右顶点，为15. （1 分） (2019 高三上·武汉月考) 已知抛物线 ：一点， 是直线 与 的一个交点，若，则的焦点为 ，准线为 ， 是 上 ________.16. （1 分） (2017·泸州模拟) 当实数 x，y 满足不等式组 的取值范围是________．三、 解答题 (共 5 题；共 35 分)17. （5 分） (2019 高三上·安徽月考) 如图，在多面体都和平面垂直，，时，ax+y+a+1≥0 恒成立，则实数 a中，侧棱，，，，，.（1） 证明：平面平面；（2） 求直线和平面所成角的正弦值。
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2020年安徽省普通高中学业水平考试纲要数学一、编写说明数学学科高中学业水平考试纲要是依据教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）的基本内容和要求，以及省教育厅有关高中学业水平考试的要求，结合我省普通高中新课程实验的教学实际制定的.本纲要对我省2020年普通高中数学学业水平考试的性质与目标、考试内容与要求、考试形式与试卷结构等作出明确要求和具体说明.因此，本纲要是2020年我省普通高中学生学业水平考试数学学科命题的依据，是考查高中学生的数学水平是否达到高中数学课程标准规定的毕业和升学要求的基本依据，也是普通高中数学教学质量评价的依据之一.二、考试性质与目标（一）考试性质数学学业水平考试是根据国家要求，全面评估我省普通高中学生数学基础性学习的省级水平考试. 考试着眼于引导高中学生获得作为未来公民所必要的数学素养，为终身学习和有个性的发展提供必要的数学准备. 数学试题应具有较高的信度、效度和区分度；避免需要用特殊背景知识进行解答的试题，避免偏题、怪题；联系实际的试题应符合高中学生的生活体验.（二）考试目标及水平层次1. 知识与技能目标数学知识是指《课程标准》所规定的五个必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想和方法，还包括按照一定的程序进行计算、数据处理方面的基本技能.对知识的要求分为A（了解）、B（理解）、C（掌握）三个层次（详见“三、考试内容与要求”），这些层次的含义是：A（了解）：对所列知识的内容有初步的、感性的认识，知道这一知识是什么，能按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别它.B（理解）：要求对所列知识内容有较深刻的理解性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对相关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.C（掌握）：要求能够对所列知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并加以解决.2. 能力目标数学学业水平考试侧重考核学生对基础知识、基本技能的掌握程度，同时也重视考查数学能力. 主要考查空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，考查提出、分析和解决数学问题（包括简单的实际问题）的能力以及数学表达和交流的能力.（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.（2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质，并将其用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力：根据已获得的正确数学命题和已知的事实，能运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断，解决实际问题.（6）应用意识：能理解对问题的陈述材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分析，将实际问题抽象为数学问题，构造数学模型；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表达和说明.（7）创新意识：能独立思考，发现问题，提出问题，应用所学的数学知识、思想和方法，选择有效的手段分析信息，提出新的解决问题的思路，并加以解决.三、考试内容与要求本纲要对“知识与技能”“过程与方法”“情感态度与价值观”三个方面的考查目标分别列出具体内容及要求.对知识与技能考试的具体内容及要求按必修模块分列，有知识条目及水平层次、说明两个部分.知识条目指考试的内容，水平层次指该知识条目应达到的知识与技能的考试目标层次.知识条目和水平层次列表描述，表中知识条目在对应的水平层次栏中，“√”为该知识条目在学业水平考试中可能达到的最高水平，“说明”是对一些在考查要求上易失控的知识内容加以限制的阐述.（一）知识与技能目标考试内容及要求说明：（1）不要求将集合与其他知识（如数列、排列、组合等）进一步综合提高.（2）画指数函数和对数函数的图象，仅限底数为11 2,3,10,,23.（3）对[()]f xϕ这一类复合函数的抽象记号不作要求.（4）利用函数性质比较大小，仅要求会用同名函数的某一性质进行比较.（5）幂函数的性质，仅要求结合函数12321,,,,y x y x y x y y xx=====的图象进行了解.（6）对函数的定义域和值域，仅要求会求一些简单函数的定义域和值域. （7）对具体函数的反函数不作要求.必修2说明：（1）对空间几何体的表面积、体积公式的推导不作要求.（2）对空间两条直线所成的角仅限于特殊角或在立方体模型内的角.必修3说明：（1）对根据算法或程序框图编写程序不作过高要求.（2）对线性回归方程的系数公式不作要求.（3）对计算基本事件数和几何概型的概率不作过高要求.必修4说明：（1）利用三角函数的单调性比较大小，仅限于在两个同名函数之间进行. （2）对解有关三角函数的不等式不作要求.（3）对函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间问题不作要求. （4）对和差化积、积化和差、半角公式不作要求. （5）对三角恒等变换繁琐或技巧性较高的问题不作要求.必修5续表说明：（1）对于递推公式给出的数列，仅要求根据递推公式写出数列的前几项. （2）对其他数列求前n 项和不作要求.（3）对含有字母（参数）需要讨论的一元二次不等式解法不作要求. （4）不等式证明仅限于应用不等式的基本性质和基本不等式2a b+≥(0,0)a b >>，比较大小的分类讨论不作要求.（5）线性规划问题，仅限于二元线性目标函数.（二）过程与方法目标考试内容及要求对“过程与方法”的考查蕴含在解决数学问题的过程之中，主要体现在解决 问题的过程中把握方法、形成能力、发展应用意识和创新意识上.（三）情感态度与价值观目标考试内容及要求对于“情感态度与价值观”的考查将渗透在解决数学问题的过程中，主要体现在试题的数学教育价值上，也应体现在中国优秀传统文化的教育价值上，还有通过解决问题，观察学生是否有锲而不舍的精神和科学的方法与态度.四、例证性试题（一）知识与技能必修1A （了解）1.已知集合{}{}1,2,3,0,2,A B =则=AB （ ） A.{}1,3 B.{}123，， C .{}2 D.{}0123，，， 【答案】C【说明】考查集合的交集的概念及运算.2. 下列函数是偶函数的是（ ） A ．x x f =)(B ．xx f 1)(=C ．2)(x x f =D ．xx f sin )(=【答案】C【说明】考查函数奇偶性的定义及判断.3. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A.32y x =-+ B.2y x = C.y x = D.y x=【答案】C【说明】考查函数单调性的定义及判断方法，简单函数的单调性. B （理解）4.函数3()e f x x x =+-（e 2.71828=828）零点所在的区间是( ) A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3)D.(3,4)【答案】B【说明】考查函数零点的概念、零点所在区间的判断方法以及方程的根与函数零点的关系.5.函数32)(2-+-=x x x f 在区间),0[+∞上（ ）A ．有最大值2-B ．有最大值3-C ．有最小值2-D ．有最小值3- 【答案】A【说明】考查二次函数的单调性以及最值问题. 6. 函数2x y -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【说明】考查分段函数、指数函数图象，考查分类讨论思想. C （掌握）7. 设3321log 6,log 5,log 3a b c ===，则（ ）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >> 【答案】C【说明】考查对数函数的概念和性质.8. 在股票交易过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线)(x f y =，另一种是平均价格曲线)(x g y =.如3)2(=f 表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元；3)2(=g 表示2小时内的平均价格为3元，下列四个图中，实线表示)(x f y =的图象，虚线表示)(x g y =的图象，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【说明】考查函数图象在实际问题中的意义.9．某企业拟生产甲,乙两种产品,根据市场调研预测,甲产品的利润y 与投资额x 的算术平方根成正比,其关系如图一；乙产品的利润y 与投资额x 成正比,其关系如图二.（1）分别将甲,乙两种产品的的利润y 表示为投资额x 的函数关系式；（2）如果企业将筹集到的160万元资金全部投入到甲,乙两种产品的生产中,试问:怎样分配这160万元的投资才能使该企业获得最大利润,最大利润是多少?【答案】（1）根据题意得，甲,乙两种产品的利润y 表示为投资额x 的函数关系式分别为：x y 4=和x y 41=. （2）可设投入到甲产品x 万元，则投入到乙产品)160(x -万元，总利润为z 万元，则)160(414x x z -+=，令t x =，]104,0[∈t ，所以56)8(41)160(41422+--=-+=t t t z故当8=t ，即64=x 时56m ax =z所以当投入到甲产品64万元，乙产品96万元时该企业能获得最大利润，且最大利润为56万元.【说明】利用二次函数模型来解决实际问题，考查函数的应用意识.必修2A （了解）1．若直线a ∥平面α，则下列说法正确的是（ ）A. 平面α内的所有直线都与直线a 异面B. 平面α内的所有直线都与直线a 平行C. 平面α内不存在直线与直线a 平行D. 直线a 与平面α没有公共点 【答案】D【说明】考查直线与平面平行的概念.2．点(2,0)P 到直线210x y -+=的距离是（ ） A.B.C. 15D. 5【答案】B【说明】考查平面内点到直线的距离公式.3．下列如图放置的几何体中,俯视图一定为正方形的是A. B. C. D.【答案】A【说明】考查空间几何体的三视图以及空间想象能力. B （理解）4．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【说明】考查直线的方程和其图象的位置特征.5．已知直线l ,m ,n 与平面α,β，则下列命题错误．．的是（ ） A. 若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n B. 若m ⊥α ，m ∥β， 则α⊥βC. 若m ∥α ，n ∥α ，则m ∥nD. 若m ⊥β ，α ⊥β ，则m ∥α 或m α⊂正方体三棱柱三棱锥四棱锥【答案】C【说明】考查空间直线与平面平行或垂直等位置关系，空间想象能力和推理论证能力.6．直线10ax y -+=与直线210x y +-=垂直，则实数a =____________. 【答案】2【说明】考查直线与直线的位置关系.7．等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填“>、<或=”). 【答案】<【说明】考查正方体和球的表面积及体积公式. C （掌握）8.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”（bi ēn ào ）.如图，现有三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥.（1）证明：三棱锥A BCD -为鳖臑；（2）若E 为AD 上一点，点P ，Q 分别为线段BC ，BE 的中点，证明：直线PQ ∥平面ACD ．【答案】证明：（1）AB ⊥平面BCD∴,,AB BD AB BC AB CD ⊥⊥⊥，∴ABD △，ABC △都是直角三角形，又DC BD ⊥，从而△BCD 是直角三角形,⊥⊥CD AB CD BD ，=ABBD BCD ∴⊥平面ABDCD AD ∴⊥，从而△ACD 是直角三角形∴三棱锥A BCD -为鳖臑.（2）连接EC ，由已知，PQ ∥EC 又EC ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC∴直线PQ ∥平面ADC【说明】考查空间点、线、面的位置关系，线面平行、线面垂直的判定和性质.考查学生空间想象能力，推理论证能力.PQ BDCAE9．已知关于x ，y 的方程C:04222=+--+m y x y x .（1）当m 为何值时，方程C 表示圆；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，且4||5MN =,求m 的值. 【答案】（1）方程C 可化为：m y x -=-+-5)2()1(22显然当05>-m 即5<m 时方程C 表示圆.（2）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22圆心 C （1，2），半径 m r -=5 则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为5121422122=+-⨯+=d 45MN |=|,则12||25MN =，由222|)|21(MN d r +=得 22125()(),55m -=+解得4=m . 【说明】考查圆的一般方程中各项系数满足的条件，圆的一般方程和标准方程的互化以及点到直线的距离公式.必修3A （了解） 1．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，出现两次正面向上的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．18【答案】C【说明】考查基本事件、古典概型的意义和计算.2．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本，则从高、中、初级职工中抽取的人数分别为（ ）A. 9，18，3B. 10，15，5C. 10，17，3D. 9，16，5【答案】A【说明】根据抽取的现实情境提出问题，考查分层抽样的概念.B （理解）3. 甲、乙两名篮球队员近期参加了6场比赛，得分情况如茎叶图所示，则他们得分的中位数分别是（ ）A .10,16B .12,16C .10,12D .12,12【答案】B【说明】考查茎叶图及中位数的概念.4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8C ．12D ．π4【答案】B【说明】本题主要考查几何概型的概念与计算.5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．7【答案】C【说明】给出程序框图，考查程序框图的三种逻辑结构和简单推理能力.C （掌握）6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，甲 乙 9 0 7 5 3 1 0 1 1 2 2 2 0 1 2得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【说明】本题主要考查饼图在统计中的意义与应用.必修4A（了解）1．cos210的值是（）A.1 2B.12- C.32D.32-【答案】D【说明】考查特殊角的三角函数值.2．已知正方形ABCD的边长为1，则⋅=DB BC（）A.2B. 2-C．1D．1-【答案】D【说明】考查平面向量数量积的定义.3．若扇形所在圆的半径为1，扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是______________，扇形的面积为_______________.【答案】π2-π1 2-【说明】考查扇形中的圆心角、扇形的弧长和面积的计算公式.B （理解）4．点),(y x A 是 300角终边上异于原点的一点，则x y 的值为（ ） A.3 B. 3- C.33 D.33- 【答案】B【说明】考查任意角的三角函数的定义.5．设向量11(1,0),(,)22==a b ，则下列结论中正确的是( )A .||||=a bB .3⋅=a bC .-a b 与b 垂直D .a ∥b 【答案】C【说明】考查向量平行、垂直的判定方法和模长及数量积的坐标运算.6．已知π4πcos(),(0,)252αα-=∈，那么cos(π)α-=（ ） A ．53 B ．53- C ．54 D ．54- 【答案】B【说明】考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系.C （掌握）7．函数()sin 2cos 2f x x x =的最小正周期是____________.【答案】2π【说明】考查二倍角公式及三角函数的周期性.8．将函数)2sin(ϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．π4- 【答案】 B【说明】考查正弦函数的图象和性质以及函数图象变换.9．已知函数π()2sin(2)4f x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期T ；（2）若π3π[,]88x ∈-，求函数()f x 的最大值，并求此时x 的值． 【答案】（1）由题意可知：最小正周期T 2π=π2=，（2）3π8x 8-π≤≤，πππ2242x ∴-≤-≤，而函数sin y t =在ππ[,]22t ∈-是单调递增函数，即当π3π[,]88x ∈-时，()f x 为单调递增函数，max 3π()()28f x f ∴==，此时3π8x =. 【说明】考查三角函数的周期和最值问题，三角函数图象与性质的运用.必修5A （了解）1．已知数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-，则3a =____________. 【答案】5【说明】考查数列的概念和数列的递推公式.2．不等式(1)(5)0x x -+<的解集为( ) A.-∞-+∞(,5)(1,)B.(5,1)-C.(1,)+∞D.(1,5)-【答案】B【说明】考查一元二次不等式的解法，考查数形结合思想.3．在△ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .若32sin a b A =，则B ∠为( )A.π3B.6πC.6π或6π5D.3π或3π2 【答案】D【说明】考查利用正弦定理求解三角形.4. 不等式20x y +-≥表示的平面区域是A. B. C. D. O xy 22xO y 22x y 2-2O x y 2-2O【答案】B 【说明】考查二元一次不等式所表示的平面区域.B （理解）5．下列不等式中成立的是（ ）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b <<D.若0a b <<，则11a b> 【答案】D 【说明】考查不等式的基本性质与比较大小的基本方法. 6．设,x y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.1 【答案】B 【说明】考查二元一次不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划.7. 已知0,0x y >>，且28x y +=，则xy 的最大值为____________. 【答案】8 【说明】考查基本不等式在求最值中的应用.C （掌握）8．若数列{}n a 满足：对任意的N*(3)n n ∈≥，总存在,N*i j ∈，使n i j a a a =+(,,)i j i n j n ≠<<，则称{}n a 是F 数列.现有以下数列{}n a ：①n a n =；②2n a n =；③151()2n n a -+=；其中是F 数列的有（ ）A.①B.②C.①②D.①③【答案】D 【说明】考查数列的概念以及学生的分析推理能力.9．在一座20m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60，塔底的俯角为45，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是__________m . 【答案】20(13)+ 【说明】本题是一道高度测量的应用性问题，考查利用正弦定理和余弦定理解决实际问题.10．已知数列{}n a 满足：2212323n 22n ++++=+a a a n a n （n ∈*N ）.（1）求1a ，2a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）记n S 为数列1{}n n a a +的前n 项和（n ∈*N ），求证：24n S ≤<.【答案】（1）当1n =时，12a =；当2n =时，2212222a a +=+，则21a =.（2）当2n ≥时，2212323n 22n ++++=+a a a n a n ①22221231n -a a a n a n n ++++-=-+-23(1)(1)(1)②①—②得：22n n a n =，则2n a n =，③1n =时，12a =也满足③式，所以2n a n=（n ∈*N ）.（3）由（2）可知，14114()(1)1n n a a n n n n +==-++.因此，2233411n S n n n =-+-+-++-=-++11111111)4(14(14()4()4())，因为1n ≥，所以11012n <≤+，因此11021n -≤-<+，即111121n ≤-<+，则124(1)41n ≤-<+，故24n S ≤<.【说明】考查数列的基本思想与基本方法，突出考查求数列通项、裂项法求和，考查运算求解能力、推理论证能力和综合运用知识解决问题的能力.（二）对“过程与方法”的考查蕴含在解决数学问题的过程中1．在平面几何中，由直线围成的最简单的封闭图形是三角形，类推到立体几何，由平面围成的最简单的封闭图形是四面体，它们有类似的性质.在三角形中有:（1）任何一个三角形有一个外接圆；（2）三角形两边之和大于第三边.类比三角形的这个性质，请你提出四面体的命题.【答案】（1）任何一个四面体都有一个外接球.（2）任何一个四面体的三个侧面面积之和大于底面面积.【说明】本题以立体几何与平面几何某些性质的相近，引导学生通过类比，猜想四面体相应的性质，体会由平面到空间的类比策略，长度→面积，圆→球等，通过类比的过程体会科学的思维方法.2．已知圆22:40C x y y +-=，直线:1l y kx =+.（1）求圆C 的标准方程；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时k 的值.【答案】（1）圆C 的标准方程为：22(2)4x y +-=. （2）方法1：圆心C 到直线l，由勾股定理得：弦长为≥，当且仅当0k =时等号成立. 方法2：因为直线l 经过定点A （0,1），如图所示，当直线l 与CA 垂直时，弦长最短.此时0k =.【说明】考查圆的方程、直线与圆的位置关系,综合考查数形结合的思想和运用圆的性质解决与圆相关的问题的能力与意识.3．某电子科技公司于2018年底建成了太阳能电池生产线，自2019年1月份产品投产上市一年来，该公司的营销状况所反映出的每月获得的利润y （万元）与月份x 之间的函数关系式为：2656,1521020,512x x x y x x x ⎧-≤≤∈⎪=⎨-<≤∈⎪⎩且且**N N． （1）2019年第几个月该公司的月利润最大？最大值是多少万元？（2）若公司前x 个月的月平均利润w （x w x=前个月的利润总和）达到最大时， 公司下个月就应采取改变营销模式、拓宽销售渠道等措施，以保持盈利水平. 求w （万元）与x （月）之间的函数关系式，并指出这家公司在2019年的第几个月就应采取措施.【答案】（1）因为2656y x =-(15,)x x ≤≤∈*N 单增，当时，（万元）；21020y x =-(512,)x x <≤∈*N 单减，当时，（万元）.所以利润y 在6月份取最大值，且最大值为90万元.（2）当15,x x ≤≤∈*N 时，(1)302621343x x x w x x--+⋅==-. 当512,x x <≤∈*N 时，(5)(6)11090(5)(20)640210200x x x w x x x--+-+⋅-==-+-. 所以1343,1564010200,512x x x w x x x x ⎧-≤≤∈⎪=⎨-+-<≤∈⎪⎩且且**N N 当15x ≤≤时，22w ≤；当512x <≤时，6420010()40w x x=-+≤，当且仅当时取等号， 从而时，w 达到最大.故公司在第9月份就应采取措施.【说明】考查函数的简单应用、简单的数学建模能力以及分段函数最值的求法，还考查综合运用数学知识解决实际问题的能力和应用意识.通过解决此类问题，体验用函数模型解决实际问题的过程与方法，发展创新意识和数学应用意识.4．如图，在长方体1AC中，AB AD ==,12AA =,AC 与BD 交于点O ,E 为1AA 的中点，连接,BE DE .（1）求证：1AC ∥平面EBD ； （2）求直线EO 与平面ABCD 所成的角的大小. 【答案】（1）证明：由题意知，O 为AC 的中点，E 为1AA 的中点，所以，EO 为1AAC ∆的中位线，从而1AC ∥EO 又1AC ⊄平面EBD ,EO ⊂平面EBD 所以1AC ∥平面EBD . （2）因为EA ⊥平面ABCD ，所以EOA ∠就是直线EO 与平面ABCD 所成的角.由AB AD ==，得2AC =，故1AO =又由12AA =，E 为1AA 的中点，得1AE =.在Rt AOE ∆中，tan 1AE EOA AO ∠==，故π4EOA ∠=， 5x =74y =6x =90y =8x =8x =1B所以直线EO 与平面ABCD 所成的角的大小为π4. 【说明】考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角等基础知识和基本方法，还考查空间想象能力及逻辑推理能力.（三）对“情感态度与价值观”的考查蕴含渗透在解决数学问题的过程中1．某中学的生物兴趣小组为考察一个小岛的湿地生态情况，从码头乘汽艇出 发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近小岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠小岛岸边上岛考察，然后又乘汽艇沿原航线匀速返回.设t 为出发后的某一时刻，s 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示()s f t =的函数关系的为（ ）A. B. C. D. 【答案】当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，s vt =，图象为一条线段；当汽艇环岛两周时，s 两次增至最大，并减小到环岛前的距离0s ；当汽艇停靠岸边上岛考察时，0s s =；当汽艇沿原航线返回时，0s s vt =-，图象为一条线段，故选C .【说明】本题创设了一个学生乘汽艇进行生态考察的旅程，能激发学生的探究热情，不断分析和思考现实情境“沿直线匀速开往该岛”“绕小岛环行两周”“停靠小岛岸边……”“……匀速返回”的数学意义和图象表示，使学生在解决问题的过程中真切感受“数学无处不在”的应用价值，在分析解决问题的过程中，提升学生的环保意识和学习数学的兴趣，增强学好数学的信心.2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里【答案】记每天走的路程里数为{}n a ，易知{}n a 是公比12q =的等比数列，由已知得1661651112378,192,19261212aS a a⎛⎫-⎪⎝⎭==∴=∴=⨯=-，故选C.【说明】这是一道与中国数学传统文化有关的试题，考查了学生的阅读理解与数学建模的能力，其本质是等比数列的通项及前n项和的应用问题.向学生展示了中国传统文化的魅力，增强了学生的民族自豪感，树立文化自信.五、考试形式与试卷结构1．考试形式采用闭卷书面答卷方式考试时间90分钟，满分100分.2．试卷分两卷第Ⅰ卷为选择题，满分54分，共18道选择题，每题3分.第Ⅱ卷为填空题和解答题，满分46分，共7题.其中4道填空题（或简答题），每题4分，共16分；3道解答题（包括计算、证明、作图等），每题10分，共30分.3.试卷结构（1）按必修模块分布：必修1 20%5%±必修2 20%5%±必修3 20%5%±必修4 20%5%±必修5 20%5%±（2）按考试水平分布：A（了解）30%5%±B（理解）60%5%±C（掌握）10%5%±31。