四种命题间的相互关系课件
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方法二：等价法，证明命题（若p，则q） 的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐q） 为真，则原命题也为真；
方法三：反证法，证明命题的否定（若p， 则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题 （若p，则q）为真命题。
四种命题间的相互关系
复习回顾
三个概念
• 交换原命题的条件和结论，所得的命题是
_逆___命__题__。
• 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是
_否___命__题__。
• 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所
得的命题是__逆__否__命__题__ 。
四种命题形式:
• 原命题: 若 p, 则 q • 逆命题: 若 q, 则 p • 否命题: 若 ┐p, 则┐q • 逆否命题: 若 ┐q, 则┐p
（真）
逆命题：在ABC中，若A B，则a b.
（真）
否命题：在ABC中，若a b，则A B.
（真）
逆否命题：在ABC中，若A B，则a b.
（真）
（3）正偶数不是质数 解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数.
逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数.
否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数. 逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数.
3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 论正确。
典例讲评
例4：证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
• 证明一：要证“若p＋q＞2，则p2＋q2≠2” 只需证它的逆否命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”成立。 ∵p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1 ∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 ∴p+q ≤2 ∴逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。
原命题、逆命题、否命题和逆 否命题之间的相互关系
互逆
(原1)若命a题＝：0，若则pa则b＝q0.
(逆2)若命a题b＝：0若，则q则a＝p0.
互
否
为逆
互否
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为逆
互否
互
否
否(3命)若题a≠：0若，﹁则pa则b≠﹁0.q 互逆 逆(4否)若命题ab：≠若0，﹁则q则a≠﹁0p.
知识探究
探究1：四种命题的真假性之间是否有 什么规律？
证明二：假设p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1 ∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 ∴p+q ≤2，这与命题的条件p＋q＞2相矛盾， ∴假设不成立，即p2＋q2≠2， 故原命题为真命题。
形成结论
证明命题的方法
方法一：直接法，从命题的条件p出发，经 推理直接得出结论p，证明其为真命题；
证明: 假设 AP 与 BC 平行,
∵ AB AC ∴ B C
假设结论的反 面成立
AP// BC
∴ DAP B
推出条件的反面成立
PAC C
∴ DAP PAC
得证
因为原命题的逆否命题正确，所以原命题也正确.
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面
成立。
新疆 王新敞
奎屯
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。
（假） （假） （假） （假）
知识探究
(4)若x2－3x＋2＝0，则x＝2 原命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；（假） 逆命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；（真） 否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2；（真） 逆否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0（. 假）
形成结论
一般的，四种命题的真假性，有且仅 有以下四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有 关系.
例题讲解
练一练
例1.判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命 （对） 题不一定为真； 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题 （对） 一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题 （错） 一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命 （错） 题为假。
例题讲解
例2 证明：若x2 y2 0,则x y 0.
证明：要证“若x2 +y2 0,则x y 0”， 只需证“若x, y中至少有一个不为0，则x2 +y2 0
不妨设x 0,则x2 0 x2 y2 0, 即x2 y2 0.
原命题的逆否命题为真命题 原命题也是真命题.
例 32 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，已知∠DAP≠∠PAC， 求证:AP 与 BC 不平行.“等腰△ABC中,AB=AC” 不是条件
写出下列原命题的其他三种命题. （1）若x A，则x A U B （真） （2）在ABC中，若a b，则A B （3）正偶数不是质数
解：（1）逆命题：若x A U B，则x A（假） 否命题：若x A，则x A U B（假） 逆否命题：若x A U B，则x A（真）
（2）在ABC中，若a b，则A B
方法三：反证法，证明命题的否定（若p， 则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题 （若p，则q）为真命题。
四种命题间的相互关系
复习回顾
三个概念
• 交换原命题的条件和结论，所得的命题是
_逆___命__题__。
• 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是
_否___命__题__。
• 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所
得的命题是__逆__否__命__题__ 。
四种命题形式:
• 原命题: 若 p, 则 q • 逆命题: 若 q, 则 p • 否命题: 若 ┐p, 则┐q • 逆否命题: 若 ┐q, 则┐p
（真）
逆命题：在ABC中，若A B，则a b.
（真）
否命题：在ABC中，若a b，则A B.
（真）
逆否命题：在ABC中，若A B，则a b.
（真）
（3）正偶数不是质数 解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数.
逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数.
否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数. 逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数.
3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 论正确。
典例讲评
例4：证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
• 证明一：要证“若p＋q＞2，则p2＋q2≠2” 只需证它的逆否命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”成立。 ∵p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1 ∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 ∴p+q ≤2 ∴逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。
原命题、逆命题、否命题和逆 否命题之间的相互关系
互逆
(原1)若命a题＝：0，若则pa则b＝q0.
(逆2)若命a题b＝：0若，则q则a＝p0.
互
否
为逆
互否
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为逆
互否
互
否
否(3命)若题a≠：0若，﹁则pa则b≠﹁0.q 互逆 逆(4否)若命题ab：≠若0，﹁则q则a≠﹁0p.
知识探究
探究1：四种命题的真假性之间是否有 什么规律？
证明二：假设p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1 ∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 ∴p+q ≤2，这与命题的条件p＋q＞2相矛盾， ∴假设不成立，即p2＋q2≠2， 故原命题为真命题。
形成结论
证明命题的方法
方法一：直接法，从命题的条件p出发，经 推理直接得出结论p，证明其为真命题；
证明: 假设 AP 与 BC 平行,
∵ AB AC ∴ B C
假设结论的反 面成立
AP// BC
∴ DAP B
推出条件的反面成立
PAC C
∴ DAP PAC
得证
因为原命题的逆否命题正确，所以原命题也正确.
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面
成立。
新疆 王新敞
奎屯
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。
（假） （假） （假） （假）
知识探究
(4)若x2－3x＋2＝0，则x＝2 原命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；（假） 逆命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；（真） 否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2；（真） 逆否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0（. 假）
形成结论
一般的，四种命题的真假性，有且仅 有以下四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有 关系.
例题讲解
练一练
例1.判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命 （对） 题不一定为真； 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题 （对） 一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题 （错） 一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命 （错） 题为假。
例题讲解
例2 证明：若x2 y2 0,则x y 0.
证明：要证“若x2 +y2 0,则x y 0”， 只需证“若x, y中至少有一个不为0，则x2 +y2 0
不妨设x 0,则x2 0 x2 y2 0, 即x2 y2 0.
原命题的逆否命题为真命题 原命题也是真命题.
例 32 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，已知∠DAP≠∠PAC， 求证:AP 与 BC 不平行.“等腰△ABC中,AB=AC” 不是条件
写出下列原命题的其他三种命题. （1）若x A，则x A U B （真） （2）在ABC中，若a b，则A B （3）正偶数不是质数
解：（1）逆命题：若x A U B，则x A（假） 否命题：若x A，则x A U B（假） 逆否命题：若x A U B，则x A（真）
（2）在ABC中，若a b，则A B