系统的能控性、能观测性、稳定性分析

实 验 报 告

课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日 专业班级 姓名 学号 同组人

实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分

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一、实验目的

加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；

2、系统的稳定性分析；

3、系统的最小实现。 二、实验内容

（1）能控性、能观测性及系统实现

（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18

2710)(2

3++++=

s s s a

s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

（c ）已知系统矩阵为⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；

（d ）求系统18

27101

)(2

3++++=s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性

（a ）代数法稳定性判据

已知单位反馈系统的开环传递函数为：

)

20)(1()

2(100)(+++=s s s s s G ，

试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性

已知一个单位负反馈系统开环传递函数为

)

22)(6)(5()

3()(2+++++=

s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择

一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。

（c ）Bode 图法判断系统稳定性

已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为

s

s s s G s s s s G 457

.2)(,457.2)(2

32231-+=++=

用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。

（d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。

[]x y u x x 0525,100050250100010-=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=

三、实验环境 1、计算机120台； 2、MATLAB6.X 软件1套。

四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析

设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。

系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。

系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t 1-t 0）内，能把任一给定的初态x(t 0)转移至预期的终端x(t 1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。

能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。 状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

输出能控性判别式为：

[]

p B CA CAB CB Rank RankQ n cy

==-1

（2-1）

状态能控性判别式为：

[

]

n

B A AB B

Rank RankQ n c ==-1

（2-2）

系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,

如果对t 0时刻存在t a ，t 0

状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能观测性判别式为：

[]

n CA CA C

Rank RankQ T

n o ==-1

（2-3）

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵A 具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。 五、程序源代码

1.(a) 了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ；

gram:求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian 矩阵 num=[6 -0.6 -0.12];

den=[1 -1 0.25 0.25 -0.125]; H=tf(num,den,'Ts',0.1) Lc=gram(ss(H),'c')

H = 6 z^2 - 0.6 z - 0.12 ------------------------------------- z^4 - z^3 + 0.25 z^2 + 0.25 z - 0.125