三大数学流派简介
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二十世纪中前期的三大数学流派简介
集合论在19世纪末由康托建立后,集合概念成为最基本、应用最广的一个概念，人们曾经相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。1900
年，在巴黎召开的国际数学家大会上，庞加莱曾满怀信心的说:“现在我们可以说，完全的严格化已经达到了。”可是这话说出后还不到3
年，英国数学家罗素于1902年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖论，使数学基础发生动摇，用弗雷格的话说:“突然它的一块基石崩塌下来了。”
莫斯科学派我最欣赏里面的阿诺尔德。他写的书都深入浅出，把高深的数学理论用简单的数学语言写出来，并举出很多生活中的实例，与数学理论相联品非常的享受，如《常微分方程》、《动力系统》、《经典力学的数学方法》。
很遗憾的是中国还未尝有过什么如此著名的数学学派，更不谈流派了。中国的数学发展，还需要更多的年轻人的投入和奋斗。
在下面要谈到的三大流派中，涉及了很多当时世界上一流的数学家，逻辑学家，哲学家。他们为数学基础的完善做出了巨大的贡献，在这里我们向他们致以崇高的敬意。
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【1】『注』这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了。爱因斯坦(1879,1955，伟大的物理学家);弗兰克(J(Franck，1882,1964(1925年获诺贝尔物理学奖);冯?诺依曼(1903,1957，杰出数学家之一);柯朗(1888,1972，哥廷根数学研究所负责人);哥德
罗素悖论一个通俗的说法是理发师悖论:
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎～”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢,如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢,他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
三大数学流派简介
数学与计算机爱好者之家主题:三大数学流派简介
三大数学流派简介
在介绍二十世纪中前期的数学三大流派之前，我想先提一下数学的“学派”，数学学派比数学流派要多的多。一个学派往往是很多知名的数学家在一个共同的地方，做出一系列的研究，并坚持一定的学派风格。在《基础教育百科全书?数学卷》(设计书)中，提到的数学学派有:伊奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、诡辩学派、智人学派、埃利亚学派、原子论学派、雅典学派、柏拉图学派、亚里士多德学派、亚历山大里亚学派、格丁根学派、柏林学派、彼得堡学派、意大利代数几何学派、法国函数论学派、直觉主义学派、逻辑主义学派、形式主义学派、普林斯顿学派、莫斯科学派、函数论学派、拓扑学派、剑桥分析学派、波兰学派、华沙学派、利沃夫学派、布尔巴基学派等。
可以看到，中世纪以前的数学学派和哲学学派几乎是重合的。通过学习《西方哲学史》可以了解到很多相关的东西。数学本身源于自然哲学。当数学科学逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍然带有浓厚的哲学味。关于每个学派，都有一段很长的故事，其中的每个数学家都有很多激动人心的作品，和带有传奇色彩的故事。看M.克莱因的四卷本《古今数学思想》和E.T贝尔的《数学精英》，我们可以了解到很多数学家的故事。
关于莫斯科学派:
百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金，亚历山德罗夫，柯尔莫戈罗夫，盖尔范德，沙法列维奇，阿洛尔德，诺维可夫，李雅普洛夫，菲赫金哥尔茨，科瓦列夫斯卡娅等都是响当当的数
学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学。莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有那个大学敢与之相比了，即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。
集合论中为什么会产生矛盾这个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴。
尔(1906,1976，数理逻辑学家);诺特(1882,1935，抽象代数奠基人之一);费勒(W(Feller，1906,1970，随机过程论的创始人之一);阿廷(1896,1962，抽象代数奠基人之一);费里德里希
(K(Friedrichs，1901,1983，应用数学家);外尔(1885,1955，杰出的数学家之一);德恩(1878,1952，希尔伯特第3问题解决者);此外还有波利亚、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)等等。
直至近代，通过参阅《当代数学精英,菲尔茨奖获得者传》，和《当代数学大师:沃尔夫数学奖得主及其建树与见解》等书，可以对20世纪以来的数学有大概的了解。
莫斯科学派和哥廷根学派是我最喜欢的两个学派。两个地方都曾经云集过一大批著名的数学家，有长久的数学历史传统和深刻的数学文化。
关于哥廷根学派:
哥廷根学派是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派，该学派坚持数学的统一性，思想反映了数学的本质，促进了数学的发展。
高斯开始了哥廷根数学学派的起始时代，他把现代数学提到一个新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作，在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献，克莱因和希尔伯特使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期，哥廷根大学因而也成为数学研究和教育的国际中心。
哥廷根学派是世界数学家的摇篮和圣地，但希特勒的上台，使它受到致命的打击。大批犹太血统的科学家被迫亡命美国，哥廷根数学学派解体。【1】
罗素的集合悖论:
集合可以分为两类:第一类集合的特征是:集合本身又是集合中的元素，例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合”;第二类集合的特征是:集合本身不是集合的元素，例如直线上点的集合。显然，一
个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类。现在假定R是所有第二类集合所成的集合。那么，R是哪一类的集合呢,
集合论在19世纪末由康托建立后,集合概念成为最基本、应用最广的一个概念，人们曾经相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。1900
年，在巴黎召开的国际数学家大会上，庞加莱曾满怀信心的说:“现在我们可以说，完全的严格化已经达到了。”可是这话说出后还不到3
年，英国数学家罗素于1902年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖论，使数学基础发生动摇，用弗雷格的话说:“突然它的一块基石崩塌下来了。”
莫斯科学派我最欣赏里面的阿诺尔德。他写的书都深入浅出，把高深的数学理论用简单的数学语言写出来，并举出很多生活中的实例，与数学理论相联品非常的享受，如《常微分方程》、《动力系统》、《经典力学的数学方法》。
很遗憾的是中国还未尝有过什么如此著名的数学学派，更不谈流派了。中国的数学发展，还需要更多的年轻人的投入和奋斗。
在下面要谈到的三大流派中，涉及了很多当时世界上一流的数学家，逻辑学家，哲学家。他们为数学基础的完善做出了巨大的贡献，在这里我们向他们致以崇高的敬意。
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【1】『注』这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了。爱因斯坦(1879,1955，伟大的物理学家);弗兰克(J(Franck，1882,1964(1925年获诺贝尔物理学奖);冯?诺依曼(1903,1957，杰出数学家之一);柯朗(1888,1972，哥廷根数学研究所负责人);哥德
罗素悖论一个通俗的说法是理发师悖论:
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎～”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢,如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢,他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
三大数学流派简介
数学与计算机爱好者之家主题:三大数学流派简介
三大数学流派简介
在介绍二十世纪中前期的数学三大流派之前，我想先提一下数学的“学派”，数学学派比数学流派要多的多。一个学派往往是很多知名的数学家在一个共同的地方，做出一系列的研究，并坚持一定的学派风格。在《基础教育百科全书?数学卷》(设计书)中，提到的数学学派有:伊奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、诡辩学派、智人学派、埃利亚学派、原子论学派、雅典学派、柏拉图学派、亚里士多德学派、亚历山大里亚学派、格丁根学派、柏林学派、彼得堡学派、意大利代数几何学派、法国函数论学派、直觉主义学派、逻辑主义学派、形式主义学派、普林斯顿学派、莫斯科学派、函数论学派、拓扑学派、剑桥分析学派、波兰学派、华沙学派、利沃夫学派、布尔巴基学派等。
可以看到，中世纪以前的数学学派和哲学学派几乎是重合的。通过学习《西方哲学史》可以了解到很多相关的东西。数学本身源于自然哲学。当数学科学逐渐从哲学中分离出来，但是数学基础仍然带有浓厚的哲学味。关于每个学派，都有一段很长的故事，其中的每个数学家都有很多激动人心的作品，和带有传奇色彩的故事。看M.克莱因的四卷本《古今数学思想》和E.T贝尔的《数学精英》，我们可以了解到很多数学家的故事。
关于莫斯科学派:
百年来，苏俄涌现了上百位世界一流的数学家，其中如鲁金，亚历山德罗夫，柯尔莫戈罗夫，盖尔范德，沙法列维奇，阿洛尔德，诺维可夫，李雅普洛夫，菲赫金哥尔茨，科瓦列夫斯卡娅等都是响当当的数
学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学。莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多，质量之高，恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有那个大学敢与之相比了，即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家，莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。
集合论中为什么会产生矛盾这个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴。
尔(1906,1976，数理逻辑学家);诺特(1882,1935，抽象代数奠基人之一);费勒(W(Feller，1906,1970，随机过程论的创始人之一);阿廷(1896,1962，抽象代数奠基人之一);费里德里希
(K(Friedrichs，1901,1983，应用数学家);外尔(1885,1955，杰出的数学家之一);德恩(1878,1952，希尔伯特第3问题解决者);此外还有波利亚、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)等等。
直至近代，通过参阅《当代数学精英,菲尔茨奖获得者传》，和《当代数学大师:沃尔夫数学奖得主及其建树与见解》等书，可以对20世纪以来的数学有大概的了解。
莫斯科学派和哥廷根学派是我最喜欢的两个学派。两个地方都曾经云集过一大批著名的数学家，有长久的数学历史传统和深刻的数学文化。
关于哥廷根学派:
哥廷根学派是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派，该学派坚持数学的统一性，思想反映了数学的本质，促进了数学的发展。
高斯开始了哥廷根数学学派的起始时代，他把现代数学提到一个新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作，在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献，克莱因和希尔伯特使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期，哥廷根大学因而也成为数学研究和教育的国际中心。
哥廷根学派是世界数学家的摇篮和圣地，但希特勒的上台，使它受到致命的打击。大批犹太血统的科学家被迫亡命美国，哥廷根数学学派解体。【1】
罗素的集合悖论:
集合可以分为两类:第一类集合的特征是:集合本身又是集合中的元素，例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合”;第二类集合的特征是:集合本身不是集合的元素，例如直线上点的集合。显然，一
个集合必须是并且只能是这两类集合中的一类。现在假定R是所有第二类集合所成的集合。那么，R是哪一类的集合呢,