行列式的性质与计算

行列式的性质与计算
行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。

行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。

一、行列式的定义
行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。

这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。

行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。

二、行列式的性质
1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描
述。

2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。

即，如果i≠j，那么Dij=Dji。

3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的
元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。

即，如果k为常数，那么Dk=kD。

4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。

即，如果i=j，那么
Dij=0。

5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式
相等。

6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相
等。

7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来
的行列式相等。

8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来
的行列式相等。

三、行列式的计算
行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。

下面介绍几种常见的计算方法：
1.利用定义计算
根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。

对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数
余子式。

利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。

2.利用性质计算
利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。

例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。

这些方法都可以简化行列式的计算。

3.利用递推公式计算
对于一些特殊的行列式，我们可以利用递推公式来计算它们的值。

例如，对于范德蒙德行列式（Vandermonde determinant），我们可以利用递推公式来计算；对于切比雪夫行列式（Chebyshev determinant），我们也可以利用递推公式来计算等等。

这些递推公式都是根据一定的规律推导出来的，可以大大简化行列式的计算过程。