【高考精品复习】第十二篇 概率、随机变量及其分布 第1讲 随机事件的概率

第1讲随机事件的概率

【高考会这样考】

1．随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查．

2．借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．

【复习指导】

随机事件的概率常与古典概型、互斥、对立事件、统计等相结合进行综合考查，对事件类型的准确判断和对概率运算公式的熟练掌握是解题的基础，因此，复习时要通过练习不断强化对事件类型的理解和公式的掌握，弄清各事件类型的特点与本质区别，准确判断事件的类型是解题的关键．

基础梳理

1．随机事件和确定事件

(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件．

(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件．

(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．

(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．

(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．

2．频率与概率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中

事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A

n为事

件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．

3．互斥事件与对立事件

(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．

(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．

4．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率：P(A)＝1.

(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.

(4)互斥事件的概率加法公式：

①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．

②P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)(A1，A2，…，A n彼此互斥)．

(5)对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)．

一条规律

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

两种方法

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；

(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()．

A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定答案 B

2．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为m

n，当n很大时，P(A)与

m

n的

关系是()．

A．P(A)≈m

n B．P(A)＜

m

n

C．P(A)＞m

n D．P(A)＝

m

n

解析事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值．

答案 A

3．(2012·兰州月考)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()．

A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球

D．恰有一个红球与恰有二个红球

解析对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立．

答案 D

4．(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()．

A.1

36 B.1

9 C.

5

36 D.

1

6

解析若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、

{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为1 6.

答案 D

5．(2011·湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2

瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示)．

解析所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P＝C227

C230＝

117

145，则至少有1瓶为

已过保质期饮料的概率P＝1－P＝28 145.

答案28 145

考向一互斥事件与对立事件的判定

【例1】►判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

[审题视点] 可用集合的观点判断．

解(1)是互斥事件，不是对立事件．

原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．

原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，也不是对立事件．

原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生