第6章时变电磁场
电磁场原理(第二版)6章
• 式(6.1.5)和式(6.1.6)称为电磁波动方程，它们是波 动方程的一般形式，它们支配着无源、线性、均 匀各向同性导电媒质中电磁场的行为，是研究电 磁波问题的基础。 • 从数学上来看，H和E满足相同形式的方程，在直
角坐标系下，若用ψ(r,t)来表示电场E或磁场H的一 个分量，有方程
• 6.1.2 平面电磁波及基本性质 • 对于电磁波传播过程中的某一时刻 t ，电磁场中 E 或 H 具有相同相位的点构成的空间曲面称为等相 面，又称为波阵面。如果电磁波的等相面或波阵 面为平面，则这种电磁波称为平面电磁波。如果 在平面电磁波波阵面上的每一点处，电场 E 均相 同，磁场 H 也均相同，则这样的平面电磁波称为 均匀平面电磁波。
称为理想介质的波阻抗，单位
为欧姆，上两式均称为波的欧姆定律。 • 4)对于入射波，根据空间任意点在某一时刻 的电磁波电磁场能量密度的假设，再考虑 波的欧姆定律，有 • 相应的坡印延矢量为
• 上式表明，在理想介质中电磁波能量流动 的方向与波传播的方向一致。又坡印廷矢 量的值表示单位时间内穿过与波传播方向 相垂直的单位面积内的电磁能量，即等于 电磁能量密度ω′和能流速率ve的乘积
负方向行进的波的电场分量和磁场分量，称 为反射波。 • 2)波的传播速率 • 是一常数，它仅与媒质参数有关。 • 3)将 代入式(6.1.15)得
• 将上式对时间积分，并略去积分常数，得
• 同理可得 • (6.2.5)和(6.2.6)分别表示了入射波和反射波 中电场和磁场之间的关系。令
• 其中
• 上两式就是无限大理想介质中电磁场随时 间作正弦变化时的稳态解。此时的电场和 磁场既是时间的周期函数，又是空间坐标 的周期函数。 • 相位因子 (ωt-βx+φ) 的物理意义 ( 为方便计， 取φ =0)： • 1)t=0 时，相位因子为 -βx ， x=0 处的相位为 零，这时电场和磁场都处在零值。 • 2)在t时刻，波的零值点移到ωt-βx=0处，即
第6章 交变电磁场-1分析
第6章 交变电磁场
电磁感应定律与麦克斯韦第二方程
E • dl
C
t
B • dS
S
磁通变 化由变 化的磁 场或回
电场强度沿任一闭合路径的线积分等于该路径所交链的
路运动 引起
磁通量时间变化率的负值.
“线圈回路”实际上可是“抽象”的，即可以是介质或真
空中的闭合路径，不一定是导体回路。由此，该定律就可
电磁场与电磁波
第6章 交变电磁场
交变磁场只是交变电场的旋度源，它的引入并不影响交变的
静电荷作为散度源产生交变的电场。因此静态电磁场中电场
的散度方程在交变电磁场中可以保留，即如下所示的麦克斯
韦第三方程。
D dS q D 麦克斯韦第三方程 s
例：真空无源区域中，已知 Ex axy2z3 sin(t) Ey by3z3 cos(t)
D
t
H
J
D
麦克斯韦第一方程
t
D
l H dl S (J t ) dS
交变电流、交变电场都是交变磁场的旋度源
电磁场与电磁波
第6章 交变电磁场
D t
具个有特电定流的的称量谓纲 ，，位能移够电产流生。（交变J磁传场导，电因流此）给其一
共同点： 位移电流和传导电
流都具有电流的量纲， 都能够产生磁场。
2R
e
0 0 E
R ×P
r
q
随时间变化的电荷和电流产生的电场和磁场有何关系?静态场中 电场和磁场相互独立的特点在交变电磁场中还是否得以保持？静
态电磁场的基本方程与交变场的方程有何联系?
电磁场与电磁波
第6章 交变电磁场
1864年在<<电磁场的动力学理论>>中提出 电磁场的基本方程组(麦克斯韦方程组),并预言 电磁波的存在,电磁波与光波的同一性
电磁场理论课件-6.1 法拉第电磁感应定律
静态场：场的大小不随时间发生改变（静电场、恒定 电场、恒定磁场）
特性：电场和磁场相互独立，互不影响。
时变场：场的大小随时间发生改变。
特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统 一的整体，称为电磁场。
本章主要内容：
电磁场的基本方程——麦克斯韦方程组
电磁场的边界条件
电磁场的能流和能流定律
d dt
上式对磁场中的任意回路都成立。
1.磁通变化的三种方式：
a)闭合回路与恒定磁场之间存在相对运动,即磁场与时 间无关，磁通量随时间变化，这时回路中的感应电 动势称为动生电动势。
i
t
B dS
S
07:24:37
4
6.1 法拉第电磁感应定律
b) 闭合回路是静止的，但与之交链的磁场是随时间变化
生电场（对电荷有作用力是电场的本质，因此它与静电场
在这一点上无本质差别）。
07电:26:4磁6 感应现象的实质：变化磁场激发电场
5
6.1 法拉第电磁感应定律
三、总电场的方程
设空间还存在静止电荷产生的静电场Ec,则总电场为
E Ein Ec
沿任意闭合路径的积分
（静电场Ec沿任意闭 合路径的积分为零）
的，这时回路中产生的感应电动势称为感生电动势。
i
S
B t
dS
c)既存在时变磁场又存在回路的相对运动，则总的感应
电动势为：
i
t
B dS
S
2.物理机制
动生可以认为电荷受到磁场的洛伦兹力，因此产生电
动势；感生情况回路不动，应该是受到电场力的作用。因
为无外电动势，该电场不是由静止电荷产生，因此称为感
in t
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
6- 电磁感应 电磁场(带答案)
增加,求空间涡旋电场的分布.
解：取绕行正方向为顺时针方向,作为感生电动势和涡旋电场的标定正方向,磁
通量的标定正方向则垂直纸面向里.
在 r<R 的区域,作半径为 r 的圆形回路,由
i
L Ei dl
S
B
dS
t
O R
B
5
并考虑到在圆形回路的各点上, Ei 的大小相等,方向沿圆周的切线.而在圆形回路内是匀强磁场,且 B 与 dS
为
，内部的磁能密度为
。
答案：µ0nI
0n2I 2 / 2
6-T 自感磁能 6、自感系数 L =0.3 H 的螺线管中通以 I =8 A 的电流时，螺线管存储的磁场能量 W = ． 答案：9.6J
6-T 动生电动势势 二、选择题
6-X 电磁感应现象
1
1、一导体圆线圈在均匀磁场中运动，能使其中产生感应电流的一种情况是（ ）
6-S 磁场能量 自感
5、一无限长同轴电缆是由两个半径分别为 R1 和 R2 的同轴圆筒状导体构成的,其间充满磁导率为μ的磁 介质,在内、外圆筒通有方向相反的电流 I.求单位长度电缆的磁场能量和自感系数.
解：对于这样的同轴电缆,磁场只存在于两圆筒状导体之间的磁介质内,由安培环路定理可求得磁场强
度的大小为
A IA r
L, .R
B IB r
R
(A) 两线圈的轴线互相平行。
（B）两线圈的轴线成 45°角。
K
(C) 两线圈的轴线互相垂直。
（D）两线圈的轴线成 30°角。
答案：C
6-X 感生电场
10、在感生电场中，电磁感应定律可写成 E K
L
dl
d dt
，式中 EK
电磁场与电磁波第六章
1 H R 0 H R 0 1 cos 1 2 cos 2 1 H I 0 H I 0 1 cos 1 2 cos 2
(6-1-23)
T//
2 H T0 1 H I 0
2 2 cos 1 1 cos 1 2 cos 2
（6-1-1）
其中
k1 1 1 , k 2 2 2
入射波、反射波、折射波的电场矢量分别为
E I E I 0e j kI r , E R E R0e j kR r , ET ET 0 e j kT r
（6-1-2）
介质 1 中的总电场是入射波与反射波的叠加，即 E1= EI+ ER； 介质 2 中的仅为折射波，E2= ET 。 下面，根据电磁场的边界条件，由入射波的 kI和 EI0、HI0 来确定反射波和折射波的 kR、kT 以及 ER0、HR0、ET0、HT0。
第六章 平面电磁波的反射与折射
6.1.1 反射、折射定律
首先来确定反射波和折射波的波矢量方向。 由交界面 z = 0 处两侧的切向分量连续的边界条件和式
(6-1-2)，可得
j (k Ix x k Ix y ) j ( k Rx x k Ry y ) j ( k Tx x k Ty y )
只考虑 E 和 H 的切向分量边界条件即可。
6.1 电磁波的反射、折射规律
设介质 1 和介质 2 的交界面
为无穷大平面，界面法向沿 z 方 向，平面电磁波以入射角I 由介 质 1 射向介质 2，如图所示。
第六章 平面电磁波的反射与折射
入射波、反射波、折射波的波矢量分别为
k I ekI k1 , k R ekR k1 , kT ekT k 2
《物理场论》时变电磁场
第2节 完备的 Maxwell方程组
说明：Maxwell方程组中7个方程是独立的 ， 本构方程中9个方程是独立的，共16个方程，16 个未知数，因此理论上可以求解。
Maxwell方程组的积分形式
B
l E dl S t dS
B
l H dl S (J t ) dS
电磁感应定律应用举例 涡流与电磁炉原理！
有一半径为a、高度为h的圆盘，电导率为。
把圆盘放在磁感应强度为B的磁场中, 其方向垂直
盘面。设磁场随时间变化，且dB/dt=k，k为一常
量。求盘内的感应电流。
r dr
h
a
h
B
r dr
已知
R,
h,
, B , dB
dt
k
求： I
r dr
h
解： 如图取一半径为 r ,宽度 为dr ,高度为h 的圆环。
A
2
A
(
A
)
J
t 2
t
引入附加条件—洛伦兹规范
：
A
0
t
可得 A 形式的波动方程：
2 2
t 2
2
A
《电磁场理论》第六章 时变电磁场
只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感
应电流产生。
电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
6.1.2 感应电场（涡旋电场） 麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力
（产生感应电流），称之为感应电场（Electric Field of Induction )。
例 6.2.1 试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上
的衔接条件。
解： 理想导体中 J E 为有限值，当 , E 0 ;
Eu ,
D E u( t )
d
d
JD
D t
d
(
du dt
)
iD
S
JD
dS
S ( d
du dt
)
C
du dt
iC
图6.1.5 传导电流与位移电流
6.2 电磁场基本方程组 • 分界面上的衔接条件
6.2.1 电磁场基本方程组
综上所述,电磁场基本方程组 (Maxwell方程)为
感应电动势与感应电场的关系为
l Ei dl
(
s
Ei
)
dS
L
(V
B
)
dl
B dt
dS
B Ei (V B ) t
在静止媒质中
Ei
B t
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 B
是产生 Ei 的涡旋源。
t
图6.1.3a 变化的 磁场产生感应电场
电磁场与电磁波时变电磁场基础知识讲解
例 已知电场强度复矢量
Em (z) ex jExm cos(kz z)
其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量
解： E(z, t) Re[ex jExm cos(kz z)e jt ]
j(t π )
Re[ex Exm cos(kz z)e 2 ]
ex
Exm
cos(kz
z)
cos(t
π 2
麦克斯韦方程组微分形式
H
(r,t)
J
(r,
t)
D(r, t
t
)
E
(r,
t)
B(r , t ) t
B(r,t) 0
D(r,t) (r,t)
J (r,t) (r,t)
t
H (r) J (r) j D(r)
E(r) j B(r)
D(r) (r)
B(r) 0
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题： 坡印廷定理 坡印廷矢量 典型问题的应用？
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题！ 典型问题的应用： 时谐电磁场问题
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
推导
t
不利点： 磁矢位与电位函数不能分离！
洛仑兹规范条件
必须引入规范条件的原因：未规定 A的散度。
库仑规范： A 0（静态场）
对时变场问题：
A
t
洛伦兹规范条件
引入洛伦兹规范条件，电位方程为达朗贝尔方程
2
2
2t
2 A
2 A t 2
J
磁矢位与电位函数分离 磁矢位只依赖于电流 电位函数只依赖于电荷
《中学物理》第3册 电磁学 第6章 电磁振荡 电磁波—知识重点
《中学物理》第3册电磁学第6章电磁振荡电磁波知识重点在“第6章电磁振荡电磁波”主要内容是电磁振荡、电磁场和电磁波、电磁波的发射、传播和接收。
一、电磁振荡⒈振荡电流振荡电流：是指大小和方向都做周期性变化的电流。
⒉振荡电路振荡电路：是指产生振荡电流的电路。
如：简单振荡电路（LC回路）图：⒊电磁振荡电磁振荡：在振荡电路里，产生振荡电流的过程中，电容器极板上的电荷，以及跟电流、电荷相联系的磁场、电场，都在做周期性变化。
电磁振荡有2种：①无阻尼振荡（等幅振荡）。
②有阻尼振荡（减幅振荡）。
⒋电磁振荡周期电磁振荡的周期公式：其中：T：周期。
单位：秒（s）。
f：频率。
单位：赫兹（H）。
L：电感。
单位：亨利（L）。
C：电容。
单位：法拉（F）。
注意：通常，要想改变振荡电路的振荡周期（T），可以通过改变振荡电路中的电容（C）、电感（L）的大小，来实现的。
二、电磁场、电磁波⒈电磁场电磁场：是指变化的电场与磁场，总是相互联系着的，形成一个不可分离的统一体（即：电磁场）。
⒉电磁波电磁波：电磁场由发生的区域，向远处传播就是电磁波。
①电磁波是传递能量的一种形式。
电磁波是横波（因为电场、磁场的振荡方向，均与波传播的方向垂直）。
②电磁波在真空中的传播速度：C = 3.00 ×108米/秒③电磁波的传播速度（C）、频率（f）、波长（λ）的关系：C = f λ其中：C：传播速度。
单位：米/秒（m/s）。
f：频率。
单位：赫兹（H）。
λ：波长。
单位：米（m）。
三、发射电磁波⒈发射LC电路产生电磁振荡，振荡电流通过线圈的互感，使开放电路里产生了同频率的振荡电流，从而发射出电磁波。
注意：开放电路和高频电流，是有利于发射电磁波的条件。
⒉调制把调制信号（即：要传递的电信号）“加”到高频、等幅振荡电流上（因为调制信号频率太低，不能发射出去）。
注意：常用调制的方法，有2种：①调幅。
②调频。
四、传播电磁波⒈特点不同波长的电磁波，有着不同的传播特点。
坡印廷矢量
31~32
五、时变电磁场的边界条件
0,
2. 边界条件的一般形式
nˆ
①磁场强度H 的边界条件
切向分量不连续
H1
h 0
sˆ 1
nˆ (H1 H2 ) JS H1t H2t Js H2
l
2
H dl C
s
(JS
D ) dS t
H2 l
H1 l
JS
sˆ
l
h
lim
h0
D t
sˆ
5. 例题
解：(1)由麦克斯韦方程 E B
eˆx eˆy eˆz
t
B t x
y
z
eˆz
Ey x
eˆx
Ey z
O
y
Ex Ey Ez
B t
eˆz E0kx
sin( d
z) sin(t
kxx)
eˆx
E0
d
cos(
d
z) cos(t
kxx)
8
第六章 时变电磁场
31~32
五、时变电磁场的边界条件 z d
5
第六章 时变电磁场
31~32
五、时变电磁场的边界条件
4. 理想导体界面上的边界条件
在导体内，电场强度和磁感应强度均为零，表面上，一
般存在自由电荷和传导电流
nˆ H Js Ht Js
nˆ E 0 Et 0
B nˆ 0 Bn 0
D nˆ s Dn s
6
第六章 时变电磁场
3132边界条件的一般形式磁场强度的边界条件切向分量不连续边界条件的一般形式电场强度的边界条件切向分量连续dlds边界条件的一般形式磁感应强度的边界条件法向分量连续电位移矢量的边界条件法向分量不连续理想介质分界面上的边界条件在理想介质内部和表面上不存在自由电荷和传导电流理想导体界面上的边界条件在导体内电场强度和磁感应强度均为零表面上一般存在自由电荷和传导电流例题在z0和zd位置有两个无限大理想导体板在极板间存在时变电磁场其电场强度为求
第6章 时变电磁场(7)
三、齐次亥姆霍兹方程
（Helmholtz）
11
三、齐次亥姆霍兹方程
对于时谐电磁场，（6-54）两式的复数形式为
t
j 1 j
2 E ( r ) ( j ) E ( r ) 0
2
dt
2 H ( r ) ( j ) H ( r ) 0
2
2 H (r ) k H (r ) 0
2
(6-55)
其中： k
齐次亥姆霍兹方程
（HБайду номын сангаасlmholtz）
( r )的函数，
E ( r ) 和 H ( r ) 仅是三维空间坐标变量 但仍然可以是 3 个坐标方向上的分量。
14
一、非齐次波动方程 二、齐次波动方程
三、齐次亥姆霍兹方程
（Helmholtz）
3
§6.7 波动方程
一、非齐次波动方程 二、齐次波动方程
三、齐次亥姆霍兹方程
（Helmholtz）
4
一、非齐次波动方程 在各向同性线性均匀媒质中， 电磁场场量满足方程：
(6-52)
5
式(6-52)为非齐次波动方程。 其中， 非电性 外加源等效电流 传导电流
2 H ( r )
2 H (r ) 0
(6-55)
13
令： k 则：
2 E (r ) k E (r ) 0
2
2 H (r ) k H (r ) 0
2
2 E (r ) k E (r ) 0
第6章 变化的电磁场
(m1
m2)
ห้องสมุดไป่ตู้
-------------------------------------------------------------------------------
二.楞次定律
1833年，楞次总结出： 闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁
场来阻止或补偿引起感应电流的磁通量的变化.
-------------------------------------------------------------------------------
§6.3 动生电动势和感生电动势
感应电动势的非静电力是什么力呢？
式中 m Nm ——磁通链
i
dm dt
感应电流
如果闭合回路为纯电阻R回路时，则
I i 1 dm
i
R R dt
感应电流的方向与感应电动势的方 向总是一致的。
t1 ～ t2 时间内通过导线上任一截面的电量
q
t2 Idt 1
t1
R
dt t2
t1 i
1 R
m2 dm dt m1 dt
1 R
磁通量变化 导线运动
产生 阻碍 产生 阻碍
感应电流 感应电流
f
a
b
楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现 象上的具体体现。
-------------------------------------------------------------------------------
§6.1 电动势
非静电力与电源 一段导体内的静电电势差不能维持稳恒电流 用电器
A
B
E
Ek
非静电力: 能把正电荷从电势较低的点（电源负极板）送到 电势较高的点（电源正极板）的作用力，记作 Fk 。
第6章交变电磁场课件
t
1 2
E2
1 2
mH
2
s
E2
利用矢量恒等式 ( E H ) H ( E ) E ( H )
E
H
t
1 2
E2
1 2
mH
2
s
E2
在时变场中总电磁能量密度为
于是得
w
we
wm
1E2 2
1 2
mH
2
(E
H
)
w t
p
单位体积损耗的的焦耳热为
p s E2
取体积分，并应用散度定理得
S
EH
20
例题：课本例6.4
一个漏电的圆盘电容器,其漏电导率为s, 介电常数 为, 导磁率为m0, 圆盘面积足够大以致可以忽略边
缘效应. 当电容器所加电压为U=U0cosωt时, 求电容器中任意点的磁场强度H。
解： 由第一方程
JT
H • dl C
sE
S Jd
JT Jd • dS D E
j
1 2
U0I0
sin
耗能
储能
复数形式的坡印廷定理
对于简谐振荡的电磁场 E E0e jkz H H 0e jkz
说明相位变化的方向是+z方向，电磁波能量传播的方向是
+z方 向， 时间因子包含于E0和H0中.
1 2
EH*
• dS
jw
V
1 2
mH
2 0
E02
dV
V
1 2
(s
E2 )dV
填充空气,电压为U=U0sinωt, 距离d 很小, 面 积S 较大，电容器中的电场均匀分布。
证明：流进封闭面的传导电流等于流出封闭面的位移 电流。
2021年电磁作业答案5-7章.7
第5章 恒定电流的磁场欧阳光明（2021.03.07）5.1简述安培力定理答：在真空中有两个通有恒定电流I 1和I 2的细导线回路，它们的长度分别是l 1和l 2。
通有电流I 1的回路对通有电流I 2 的回路的作用力F 12是5.2一个半径为a 的圆线圈，通有电流I ，求圆线圈轴线上任一点的磁感应强度B 。
解：根据电流的对称性，采用圆柱坐标系，坐标原点设在圆形线圈的圆心，Z 轴与线圈轴线重合，场点P 的坐标为),,0(z α ，取一个电流元＇αIad ，源点坐标为),,(０＇αa ,如题5-2图所示，则r z ae Ze -Ｒ＝，当z=0时，Zea I a U B 23220)(2=5.3简述洛仑兹力答：电荷以某一速度v 在磁场运动，磁场对运动电荷有作用力，这种作用力称为洛仑兹力，洛仑兹力与运动电荷垂直。
所以，他不作功，只改变运动电荷的方向，不改变运动电荷的速度。
5.4 矢量磁位与磁感应强度的关系是什么？ 答：矢量磁位的旋度是磁感应强度5.5已知某一电流在空间产生的矢量磁位A ，求磁感应强度B 。
（xyz e xy e y xe A z y x422-+=）解： )4()(22z y x z y xxyze e xy ye x e ze y exA B -+⨯∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇= =z y x x z y ze x y yze xze xze e x yze ey )(44442222-++-=--+5.6 有一根长位2L 的细直导线与柱坐标的z 轴重合，导线的中心在坐标原点。
设导线中通有电流I ，方向沿z 轴的方向。
1）求空间任一点()z p ,,ϕρ 的矢量磁位A ；2）求在z=0的平面上任一点()z p ,,ϕρ的矢量磁位A 。
当ρ<<2L 和ρ>>2L 时，结果又如何？解：1）由于对称性，可以只讨论Z ≥0的情况由矢量磁位方程得：ze RIdz dA πμ40=θsin r R =θrctg Z Z-=＇θθd r dZ2sin =＇θθπμπμd Ie e RdZd zz sin 44I A 00==＇在整条线段上积分得 由 C ctg d +-=⎰)sin 1ln(sin θθθθ 得)cos 1(sin )cos 1(sin ln4sin cos sin 1sin cos sin 1ln 4122101112220θθθθπμθθθθθθπμ--=--=z z Ie e Ie A 由图可知 221)(sin l z r r ++=θ 222)(sin l z r r -+=θ（1）z e l z l z r l z l z r I A )()()()(ln422220+-++---+=πμ（2）在Z=0时，r ll r I r l l r I e l l r l l r l l r l l r I e l l r ll r I A zz ++++=++-+++++=-+++=2202222022222222022220ln 2)(ln 4))(())((ln 4ln 4πμπμπμπμ5.7什么是磁偶极子？答：如果观察距离R 远远大于一个小圆形电流线圈的半径（半径为r ），即R>>r 。
07 交变电磁场
l
E dl
S
t
B dS
，则有 (6.2)
这个式子里S不随时间变化
麦克斯韦给出了更为广义的回路构成条件，认为电磁感应 定律的正确性与回路的材料性质无关 北京邮电大学
6
3
6.1电磁感应定律与麦克斯韦第二方程(2)
微分形式的麦克斯韦第二方程
当 E 、 H 为空间和时间的连续函数，且具有连续 的空间和时间导数时，应用斯托克斯定理，从积 分形式的麦克斯韦第二方程得到其微分形式 B (6.4) E t 此方程描述了交变磁场产生交变电场的规律。 与静态电场不同，交变电场是由交变磁场支持的 有旋场，不是位场
J E D E B H
（6.23）
北京邮电大学
20
10
6.4复数形式的麦克斯韦方程
场源电荷、电流随时间作简谐变化（即按正弦 规律变化）
所产生的电场、磁场也随时间作简谐变化 简谐变化是一个很基本、普遍的情况 变化规律复杂的电磁波，可以分解为基波和高次 谐波之和
利用简谐变化量的复数形式，将带来运算上的 方便
北京邮电大学
21
6.4复数形式的麦克斯韦方程
电场强度瞬时值（此处取复数虚部）
E (x, y,z,t ) E0 (x, y,z )sin(t ) 2 Ee (x, y,z )sin(t )
瞬时复数表示式（空间和时间分开）
(x, y,z,t ) 2 E (x, y,z ) e jt 2 E x, y,z e j e jt E e e
9
6.3麦克斯韦方程组和辅助方程（3）
电磁场与电磁波(第六章)
2
t
H
E
2
t
2
0
二、H 的波动方程
同E 的波动方程，有
H
2
H
2
t
2
0
三、直角坐标系下的波动方程
2
为矢量的拉普拉斯算符，则有 磁场
2 2 2
电场
Ex Ex Ex Ex 0 2 2 2 2 x y z t 2 2 2 2E Ey Ey Ey y 0 2 2 2 2 x y z t 2 2 2 2E Ez Ez Ez z 0 2 2 2 2 x y z t
三、媒质的本构关系式 对于线性各向同性媒质有
D E 0 r E B H 0 r H J E
四、麦克斯韦方程组的限定形式 ◇ 麦氏方程的非限定形式：用E、D、B、H四个场量写出的方程。 ◇ 麦氏方程的限定形式：用E、H 二个场量写出的方程。 微分形式
H E E t
in
E dl
C
◇ 穿过回路的磁通量为 综上可得
m
B d S
S
法拉第电磁感应定律的积分形式
C
E dl =
B dS dt
S
d
法拉第电磁感应定律的微分形式 E 五、意义
B t
◇ 积分形式：感应电场在时变磁场中沿闭合曲线的线积分等于该曲线所围曲面 上穿过磁通的负变化率。 ◇ 微分形式： 1.感应电场是涡旋场，不是保守场； 2.感应电场的源是时变的磁场。
1
l
H 1t
H1
C
H dl JS dS +
电磁学6章(2-5)
导线中的感应电动势。
解：1）设直导线中通有电流 I1 。建立坐标系
I1 在 x 处产生的B为：
B 0I1 2x
x
d
o
通过面元 l dx 的磁通为：dΨ 0I1 l d x
2x
I
l a
dx
x
Ψ da 0I1 l d x 0I1l ln d a
d 2x
2
d
M Ψ 0l ln d a
I1 2
二、感生电动势: 导体或导体回路不动，由于磁场随时间变化，
导体或导体回路内产生的感应电动势。
1、感生电动势： 由法拉第电磁感应定律：
E
dΦ
d
Bd S
dt
dt S
S 不 变 ， 只 有B 随 时 间 变 化:
设 B BeB d
e
B是沿
B方向的单位矢量
B
E
dt
Bd S
S
S
t eB dS
B
r
R
O
r
E感 d l E感 2r
E感 d l E
L
B
d
S
S t
B d S B r 2
S t
t
L
2rE感
B t
r 2
B
∴
r B E感 2 t
“-”号表示场强的方向与 t 成左螺旋关系。 与选定正方向相反。沿逆时针方向。
2）在螺线管外（ r > R ）
取半径为r 的同心圆L 作为积分路径，选顺时针方向作为
变换统一起来。
同一问题在不同参考系中可以得到完全相反的结论。
如图：在 S 系中导体沿 x 轴运动，均匀
静止磁场沿 z 轴的负方向，a 端有正电荷
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rr
ÑS B ds 0 B 0
积分形式 微分形式
表明，时变磁场是一个无散场。与静磁场中的形式完全一致，
r 唯一的区别在于此时的磁通密度 B 是时变场量
麦克斯韦方程 — 小结
麦克斯韦方程的物理意义
1、麦克斯韦第一方程表明：时变的磁场不仅由传导电流产生， 而且也由位移电流产生
2、麦克斯韦第二方程表明：时变磁场产生时变电场
H
H
0
sin(
t
z)ay
求：1）位移电流密度 2）电场强度
法拉第定律：
E
B
安培定律的修正形式：
r H
t r J
r D
t
r 1、位移电流密度仅仅是电通密度D 随时间变化的速率
r D
2、由于 担当磁场的源，时变电场产生时变的磁场
t
3、由法拉第定律，时变磁场建立时变电场
4、时变电场和时变磁场是互相依源自的用散度描述时变场：1、法拉第电磁感应定律 推广
电场强度 Er的旋度
1、高斯定律
电位移矢量D的散度
2、安培环路定律
修正 磁场强度 Hr的旋度
2、磁通连续性定理
r 磁感应强度 B的散度
时变电磁场基本方程 ——第一条主线（旋度）
Ñ蜒 Ñ 蜒 一负、号当应拉设则法c EE表电 第 总穿 空rr拉gg示流 电 电过 间dd第llrr感，磁 场导 还电应这感体 存磁S 电(表应的 在感EErr流i明定磁静应nEregEr产gd回律通止iEE定nrrdlri)l生rn路。发电律gd的中生荷SrEr磁感变产dEBcrtrddc场应化生tgd微总S了时的lrBr分是电，静gd形阻S动回电r E式Er碍势路场rin磁。中积gEdr场B这会c分ltrr的就产形gd变是生式Srd化法感dBrt0gdSr dt
4.3.2 时变电磁场的边界条件
两种不同媒质的分界面上各场量所满足的方程称为边界条件
1. 电场强度 E 的切向分量，满足的边界条件。 2. 电通密度 D 的法向分量，满足的边界条件。
3. 磁场强度 H 的切向分量，满足的边界条件。 4. 磁通密度 B 的法向分量，满足的边界条件。
5.1 引言 5.2 时变电磁场基本方程—麦克斯韦方程 5.3 时变电磁场的边界条件 5.4 坡印廷定理—时变电磁场的能量 5.5 时谐电磁场 6.1 6.2 6.3 电磁波的色散与群速 6.4 均匀平面电磁波对平面边界的垂直入射
4.1 引言
知识点： 麦克斯韦方程（积分形式、微分形式、相量形式），
一般情况下，空间可能同时麦存克在斯真韦实断电言流：和电位容移器电中流必，
则安培环路定律为
须有电流存在，而由于这个
r
Ñc H
r gdl
S
r J
r D t
r gdS
电它流称不为 能位Hr移由电传Jr流导 产Dr生，他将 （displacementt
积分形式
current）微。分形式
例：海水的电导率为4S/m，相对介电常数81，求频
3、两方程提示：时变磁场产生时变的电场，而时变电场反过 来又产生时变的磁场；亦即电场传输能量至磁场，它反过来又 回到电场，能量连续地从一个场传输至另一个场，于是迈克斯 韦预言电磁能量可在任意媒质中传播
4、麦克斯韦第三方程证实：磁通永远是连续的，由任意闭合 面在任意时间发出的净磁通量为零
5、麦克斯韦第四方程表明：由闭合体积在任意时间发出的总电 通等于该体积所包围的电荷
电动磁势通是的非变保化守：电场沿闭合路径的
积分或，由回磁路场中随出时现间感的应变电化动引势起，表
Ñ Ñ 明导或体由内回出路现运感动应引电起场
c
eEringdlr
r Ein
dgdlr
dt S
Br gdSrddt S
r B
r gdS
t
二、安培环路定律的修正
Ñ Ñ 关传位定SS于导移向恒S合11J和Jr电电电运定r路cgSgd流流流动磁d径沿2SrS构r无：：场的一成关带 具中闭所S2的。电 有的J合有cdrdHd闭q粒 磁安t路电gd合子效培S径流rd曲在应环的的lÑs面电，H路磁代Dr，场可定g场数dI应S的以律r强和J用作产度，q电s用生的即JJ流r下磁线：d d连S的场积s续定，分DtrDtr原向 但g等d积 微理运 与位S于r分 分，动 带移穿形 形有电。电过式 式粒流此子密闭的度
及其应用。
时变电磁场的边界条件（一般形式、相量形式） 坡印亭定理（物理意义、一般形式、相量形式定 理应用）
电磁场在无界媒质中的传播（ 均匀平面波的传 播特性）
平面边界上的垂直入射均匀平面波特性 理解：
感应电场，位移电流，趋肤效应
4.2 时变电磁场基本方程—麦克斯韦方程
分两条主线讨论：
用旋度描述时变场：
率为1MHz时，位移电流与传导电流的比值。
r
解：设电场随时间作正弦变化，表示为
r
E
位移电流密度
r Jd
D t
arx0r Em
sin
r ax
t
Em
cos
t
Jdm 0r Em 4.5103 Em
传导电流密度 Jcm Em 4Em
位移电流与传导电流的比值 Jdm 1.125103 J cm
例：自由空间中的磁场强度为
一、高斯定律
通过一个封闭面净穿出的电通量等于该曲面所包围的总电荷。
积分形式 微分形式
D
ds
Q
s
vvdv
r
gD v
表明：时变电场是有散场，与静电场中的形式完全一致，
唯一的区别在于此时的电通密度
r D 和体电荷密度
v
都
是时变场量
二、磁通连续性定理（磁场的高斯定律）
磁力线永远是闭合的，所以穿过一个封闭面的磁通量等于 离开这封闭面的磁通量，即：
麦克斯韦预言电场和磁场的能量相互转换，在空间以波的形式传播
2、时变磁场的基本方程—麦克斯韦方程
分两条主线讨论：
用旋度描述时变场：
用散度描述时变场：
1、法拉第电磁感应定律
r 推广 电场强度 E 的旋度
1、高斯定律
电感应强度 D 的散度
2、安培环路定律
修正
r 磁场强度 H 的旋度
2、磁通连续性定理
r 磁感应强度B 的散度
第5、6章 时变电磁场与电磁波
静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开 讨论。
在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的 函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生 磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。
英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将 静态场、恒定场、时变场的电磁基本特征用统一 的电磁场基本方程组概括。电磁场基本方程组是 研究宏观电磁现象的理论