二次函数的应用第二课时

第二章二次函数

《二次函数的应用（第2课时）》

一、教学目标

(一)知识与技能

1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.

2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.

(二)过程与方法

经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.

(三)情感态度与价值观

1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值.增进对数学的理解和学好数学的信心.

2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值

教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值

二、教学过程分析

本节课以探究活动一、探究活动二及议一议这三个环节为主体，展开对二次函数应用的研究与探讨.

第一环节探究活动一

活动内容：（有关利润的问题）

服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.

请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？

回顾:在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是： 销售利润=单件利润×销售量

若设批发单价为x 元，则：

单件利润为 ； 降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则

)14024(5000-2+-=x x

20000)12(50002+--=x

∵-5000＜0

∴抛物线有最高点，函数有最大值.

当x ＝12元时，y 最大= 20000元.

答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元． 若设每件T 恤衫降a 元，则：

单件利润为 ； 降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则

)32(5000-2--=a a

20000)1(50002+--=a

∵-5000＜0

∴抛物线有最高点，函数有最大值.

当x ＝1元时，即批发单价是12元时，y 最大= 20000元.

）元（10-x 件)5001

.0-135000(⨯+x )5001

.0135000)(10(⨯-+-=x x y ）元（1013--a 件)5001

.05000(⨯+a ）（5001

.05000)(1013⨯+--=a a y

答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元． 想一想：解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？

活动目的：

通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容.

第二环节 探究活动二

活动内容：

某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？

分 析：相等关系是

客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数

解：设每间客房的日租金提高x 个10元，则每天客房出租数会减少6x 间，若客房日租金的总收入为y 元，则：

=19440)260

-2+-x （ ∵06-120,0>≥x x 且

∴200<≤x

当x ＝2时，y 有最大值 19440.

这时每间客房的日租金为180210160=⨯+元，客房总收入最高为19440元. 随堂练习：课本P49练习1

某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？

)

6120)(10160(x x y -+=

解：设销售单价提高x元，销售利润为y元，则

y=(30-20+x)(400-20x)

＝-20x2+200x+4000

＝-20(x-5)2+4500.

答：当销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．

第三环节议一议

活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”

本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000.

(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.

(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？

（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）

实际教学效果：

学生可以顺利解决这个问题，答案如下

(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小.

(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上.

课堂小结:

请你结合本节课的内容谈谈你对二次函数应用的认识.