数理方程第三章(1)

x1 at ≤ x ≤ x2 + at
称区域
(t > 0).
A = {( x, t ) | x1 at ≤ x ≤ x2 + at , t > 0}
t
为区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域. 影响区域
x = x1 at
x = x2 + at
A
x1
x2
x
(3) 决定区域
t
考虑区间 [ x1 , x2 ],
对一维波动方程研究起重要作用, 对一维波动方程研究起重要作用,称这两族直线 为一维波动方程的特征线.波动沿特征线传播. 为一维波动方程的特征线.波动沿特征线传播. 特征线 自变量变换
ξ = x + at , η = x at
称为特征变换,行波法也叫特征线法. 称为特征变换,行波法也叫特征线法. 特征变换 特征线法
是任意二次连续可微函数, 其中 f1 , f 2 是任意二次连续可微函数,即有
u ( x, t ) = f1 ( 3 x y ) + f2 ( x + y ) .
u | y =0 = 3 x 2 , u y | y = 0 = 0, 把这个函数代入到条件
f1 ( 3 x ) + f 2 ( x ) = 3 x 2 f '1 ( 3 x ) + f '2 ( x ) = 0
为原问题的通解, 为原问题的通解,其中 f1, f2 是任意二次连续 可微函数. 可微函数.
解定解问题: 练习 解定解问题:
utt = a 2 u xx (1) u |t = 0 = sin x , ut |t = 0 = cos x
解
1 1 u ( x, t ) = [sin ( x + at ) + sin( x at )] + ∫at cosξ dξ 2 2a x
1 1 u ( x, t ) = [ ( x + at ) + ( x at )] + ∫atψ (ξ ) dξ 2 2a x
达朗贝尔公式表明, 达朗贝尔公式表明, 弦上的任意振动总是以行 波形式分别向两个方向传播出去, 波形式分别向两个方向传播出去, 其传播速度 恰好是常数 ,因而这个方法称为行波法 行波法. 恰好是常数 a,因而这个方法称为行波法. 下面进一步分析达朗贝尔公式的物理意义. 下面进一步分析达朗贝尔公式的物理意义.
的通解, 它包含两个任意函数. 的通解, 它包含两个任意函数. 对无限长的自由振动, 如果初始状态满足条件 对无限长的自由振动 (3.1.2), 则
u |t = 0 = f1 ( x ) + f 2 ( x ) = ( x ) ut |t = 0 = af '1 ( x ) af '2 ( x ) = ψ ( x )
1 f1 ( 3 x ) + f 2 ( x ) = C 3
9 2 f1 ( 3 x ) = 4 x C ' f ( x ) = 3 x2 + C ' 2 4
1 2 f1 ( x ) = 4 x C ' f ( x ) = 3 x2 + C ' 2 4
代入到 u ( x, t ) = f1 ( 3 x y ) + f2 ( x + y ) , 得原问题的解为: 得原问题的解为:
O
x-at
x+at
(2)影响区域 由左,右行波叠加而得. u( x , t ) 由左,右行波叠加而得 [ x1 , x2 ]上的初 始振动,在 时刻, 始振动 在 t 时刻,右行波传到 [ x1 + at , x2 + at ], 左行波传到 [ x1 at , x2 at ], 初始振动传播的范围是
x
由此即得原定解问题的解: 由此即得原定解问题的解:
1 1 u ( x, t ) = [ ( x + at ) + ( x at )] + ∫atψ (ξ ) dξ 2 2a x
无限长弦自由振动的达朗贝尔( 公式. 无限长弦自由振动的达朗贝尔(D'Alembert)公式. 达朗贝尔 公式
x + at
方程解的物理意义
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f2 ( x at ) ,
首先考虑 u2 = f 2 ( x at ) , 假定 f 2 ( x ) 的图形已经 u 给定,那么, 的推移, 给定,那么,随着时间 t 的推移, 2 = f 2 ( x at ) 轴正方向平行移动, 平行移动 的图形以速度 a 向 x 轴正方向平行移动 故称齐次 的解为右行波 右行波. 波动方程形如 u2 = f 2 ( x at ) 的解为右行波. 同理, 表示一个以速度a 同理, u1 = f1 ( x + at ) 表示一个以速度 向 x 轴负 且传播过程中,波形也不变化. 方向传播的行波 ,且传播过程中,波形也不变化. 称为左行波 左行波. 称为左行波.
B 2 AC > 0 每点有两条相异的实特征线.
求下面问题的解: 例 求下面问题的解:
uxx + 2uxy 3u yy = 0 u | y =0 = 3 x 2 , u y | y =0 = 0
解 先确定所给方程的特征曲线. 先确定所给方程的特征曲线.特征方程为
( dy )
2
2dxdy 3 ( dx ) = 0
y = x + cos x + C1 , 积分曲线为 y = x + cos x + C2 .
所以, 所以, 令
ξ = y x cos x, η = y + x cos x.
经过变换原方程化成
从而
2u = 0. ξη
u ( x, y ) = f1 ( y x cos x) + f 2 ( y + x cos x)
Auxx + 2Buxy + Cu yy + Dux + Eu y + Fu = G,
称为是双曲型 抛物型或 双曲型, 一个方程在点 ( x0 , y0 ) 称为是双曲型,抛物型或椭 圆型的, 圆型的, 是根据式子
B 2 ( x 0 , y0 ) A ( x 0 , y 0 ) C ( x 0 , y 0 )
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
初始位移 ( x ), 初始速度 ψ (x ) 的无界弦的自由 振动
utt a 2 uxx = 0 ( ∞ < x < +∞ , t > 0) (3.1.1) (3.1.1) u t = 0 = ( x ), ut t = 0 = ψ ( x ), ( ∞ < x < +∞ )
x + at
(1)依赖区间 1 依赖区间是讨论时空平面上任一点 M ( x, t ) 的 将依赖于哪些点的初值的问题. u ( x, t ) 将依赖于哪些点的初值的问题. 由 D'Alembert 公式
u ( x, t ) =
( x at ) + ( x + at )
2
1 x + at + ∫xat ψ (ξ )dξ 2a
上的初值, u ( x, t ) 仅依赖于 [ x at , x + at ] 上的初值,称 依赖区间. 区间 [ x at , x + at ] 为点 M ( x, t ) 的依赖区间.
t
(x,t)
依赖区间
过 ( x , t ) 点,两条斜率分别为 1 ± 的 直 线 在 x轴 上 截 得 的 区 间 x a
1 3 2 2 2 2 u( x, y) = ( 3x y) + ( x + y) = 3x + y 4 4
例 求下面方程的通解
u xx 2 sin xu xy cos xu yy = 0.
2
解:特征方程为
( dy )
2
+ 2sin xdxdy cos x ( dx ) = 0
2 2
dy dy + (1 + sin x ) (1 sin x ) = 0 dx dx
第三章 行波法与积分变换法
求解偏微分方程时 求解偏微分方程时,一般不能先求出方程 偏微分方程 通解,然后根据给定的条件确定特解 特解. 的通解,然后根据给定的条件确定特解. 但在少数情况下,可以求出方程的通解 但在少数情况下, 含有任意函数的解), ),并可由给定条件 (含有任意函数的解),并可由给定条件 求出特解. 求出特解.
2
或者
dy dy dx 2 dx 3 = 0.
2
3x y = C1 它的两族积分曲线为 x + y = C2
3x 做特征变换 ξ = 3x y
, η = x + y
2u 容易验证, 容易验证,经过变换原方程化成 = 0. ξη 它的通解为 u = f1 ( ξ ) + f 2 (η )
为正,为零或者为负而确定的. 或者为负而确定的. 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型,抛物 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型, 型或椭圆型的, 型或椭圆型的,那么就称方程在这个区域内是双 曲型,抛物型或椭圆型. 曲型,抛物型或椭圆型.
双曲型方程 注2:行波法适用于双曲型方程. :行波法适用于双曲型方程.
其中 f1 , f 2 是任意二次连续可微函数,即有 是任意二次连续可微函数,
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f2 ( x at ) .
注: u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f2 ( x at ) 是方程
utt = a2uxx (∞ < x < ∞, t > 0)
u |t =0 = f1 ( x ) + f2 ( x ) = ( x ) 积分, 两端对 x 积分, ut |t =0 = af '1 ( x ) af '2 ( x ) = ψ ( x ) 可得
1 f1 ( x ) f 2 ( x ) = ∫ ψ ( ξ ) d ξ + C a0
x 1 1 C f1 ( x ) = ( x ) + ∫ ψ (ξ ) dξ + 2 2 2a 0 x f x = 1 x 1 ψ ξ dξ C 2 ( ) 2 ( ) 2a ∫ ( ) 2 0
x = x1 + at
B
x1
x = x2 at x2 x
B = {( x, t ) | x1 + at ≤ x ≤ x2 at , t ≥ 0}
决定区域. 称三角区域 B 为区间 [ x1 , x2 ] 的决定区域
进一步的分析其物理意义表明, 进一步的分析其物理意义表明, 在 xot 平面上
1 斜率为 ± 的两族直线 x ± at = 常 数 a
(3.1.2) 问题) 初值问题 (Cauchy问题 问题
的通解, 我们可以求出方程 (3.1.1) 的通解,考虑变量代换
ξ = x + at , η = x at.
利用复合函数求导法则得
(3.1.3)
为什么? 为什么?
u u ξ u η u u = + = + x ξ x η x ξ η 2u u u ξ u u η = 2 ξ + η x + η ξ + η x ξ x
注1:容易看出,一维波动方程的两族特征线 容易看出,
x ± at = 常数
的解. 恰好是常微分方程 ( dx ) a ( dt ) = 0 的解.
2 2 2
这个常微分方程称为波动方程
utt = a2uxx (∞ < x < ∞, t > 0)
的特征方程. 特征方程.
定义: 定义:二阶线性偏微分方程
x + at
1 = sin x cos at + cos x sin at . a
补充: 问题的 补充:一维波动方程 Cauchy 问题的齐次化原理 一条无界弦,初位移,初速度为 一条无界弦,初位移,初速度为0,受外力 F ( x , t ) 作用做强迫振动. 作用做强迫振动.
2u 2u 2u = 2 +2 + 2, ξ ξη η
(3.1.4)
同理可得
u2 2u 2u 2u 2 = a ( 2 2 + 2) 2 t ξ ξη η
(3.1.5)
将 (3.1.4), (3.1.5) 代入到 (3.1.1), 可以得到
2u = 0. ξ η
连续积分两次得
u ( ξ ,η ) == f1 ( ξ ) + f2 (η ) ,
Auxx + 2Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G, (*)
的特征方程为
A ( dy ) 2Bdxdy + C ( dx ) = 0
2 2
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这个常微分方程的积分曲线(解)称为偏微分 这个常微分方程的积分曲线( (*)的特征曲线. 方程 (*)的特征曲线.
回忆: 回忆:两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类