高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法

高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法
最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。

最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：
一、配方法
配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如
])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。

例1、已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x
，求函数)()]([2
2
x f x f y +=最值。

解
：
由
]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x
，得
22
22
2
2
log
2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=x
x x 。

又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数
)()]([22x f x f y +=定义域为{
3
1312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]2
1,0[log 3
∈x。

由二次函数单调性得，4376≤
≤y ，所求函数最大值为374
，最小值为6。

评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的
相对位置关系。

二、判别式法
主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,
仅考虑即可,当X 的范
围非R 时,还需要结合图形另解不等式。

特别的，形如2
2221
121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同
是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。

例2、求下列函数最值
（1）432+=x x y ；（2）3
27
4222++-+=x x x x y 。

解；（1）由4
32
+=
x x y ，得0432
=+-y x yx 。

当y=0时,x=0;当0≠y 时,由0≥∆得4343≤≤-
y ,故原函数最小值为3
4
-，最大
值为
34。

（2）将已知函数式变形为742322
2
-+=++x x y yx yx ,
即073)2(2)2(2
=++-+-y x y x y ，显然2≠y ，将上式视做关于x 的一元二次
方程。

R x ∈ ,即上述关于x 的一元二次方程有实根，所以0)73)(2(4)]2(2[2≥+---y y y ，
解得229≤≤-
y 。

又2≠y ，函数最小值为92
-。

评注:若在解的过程中经过变形,从而扩大了的取值范围,利用判别式求出的范围后，
应综合函数的定义域,将扩大部分剔除。

三、换元法
主要有三角换元和代数换元换两种。

用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围。

特别的，形如d c b a d cx b ax y ,,,(+++=均为常数，且0≠a ）的函数常用此法求解。

例3、求函数122+-+
=x x y 最小值。

解：令)0(21≥-=t x t ，则212t x -=，则4
545)21(122≥+--=++-=t t t y ，
所以，所求函数最小值为
5
4。

注：（1）换元前后的等价性。

题中021≥-=t x t ，而不是看解析式有意义的t 取值范围；
（2）换元后可操作性。

例4、求函数23424
1212x x x x y x x +-++=++的最大值和最小值。

解:2432424
121212x x x x y x x x x -++=+++++2
222111x x x x ⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，令x=tan 2θ
，则f(x)=f(θ)=21cos sin 2θθ+2
1sin sin 12θθ=-++2
117sin 416θ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
，
∴
当sinθ=
14时,()f x 最大值为1716，当sin=-1时,()f x 最小值为12
-。

四、数形结合法
主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值。

例5、
已知x 2
+y 2
-2x+4y-20=0求x 2
+y 2
的最值。

分析:本题已知条件转化为(x-1)2
+(y+2)2
=25,可用三角代换转化为三角函数最值问
题处理,也可借助几何图形数形结合处理。

解:
作x 2+y 2-2x+4y-20=0的图形
,它是圆心在P(1,-2)半径为5的圆,依题意有x 2+y 2
=2x-4y+20,设x 2+y 2=z,则z=2x-4y+20即12024z y -=
+,其图形是斜率为12
且与已知圆相交的一簇平行线,于是求z 的最值问题就是求这簇平行线中在y 轴的截距最大或最小问题。

由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,
即
5≤
，即|30|z -≤
，故3030z -≤≤+，故
x 2+y 2
最小值为130z =-
230z =+。

五、函数的单调性法
（1）关于自变量x 的一次根式，如c dx b ax y +++=，用换元法求解,当ad>0时，也可利用单调性求最值；；（2）形如)0(>+
=k x
k
x y 的函数常考虑利用单调性，当x>0时，函数单调减区间,0(k ，单调增区间为),[+∞k ，因其函数图象形如“√”，故称为对号函数，其分界点为2(k k 。

对于x<0情况，可依据函数奇偶性解决；（3）复合函数的最值，常用此法求解。

例6、求函数x
x x y 21
22+
+=
,),1[+∞∈x 的最小值。

解：由22121
22++=+
+=x
x x
x x y 在),1[+∞上是增函数，得f(x)在),1[+∞上最小
值为2
7)1(=
f 。

例8、求函数12+-+-=x x y 的最小值
解：设x y x y 21,21-=-=，21,y y 均为减函数，所以y 也是减函数。

又
12+-+-=x x y 定义域为021≥-x ，即21-≤x 。

当21=x 时，2
1
min -=y ，故原函
数最小值为1
2
-。

例7、求函数4
9231-
+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=x x y 的最小值。

解：设492
-+-=x x u ，则u
y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=31。

由221(4922
---=-+-=x x x u ，知当
21≥
x 时，u 为减函数；当21<x 时,u 为增函数，而u
y ⎪⎭⎫
⎝⎛=31为减函数，故4
9
231-
+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x y 在21≥
x 时为增函数，在21<x 时为减函数，所以2
1
=x 时，原函数最小值为9312
min
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-y 。

六、不等式法
运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正、二定、三相等”．
例8、求函数21
1
ax x y x ++=+(x>-1，a>0)的最小值。

解:211ax x y x ++=+=(1)1a ax a x ++-+(1)121a
a x a
x =+++-+
121a ≥-=，
当(1)1a a x x +=+,即x=0时等号成立,=1。

七、导数法
设函数f(x)在[a,b]上连续在(a,b)上可导,则f(x)在[a,b]上的最大值和最小值应
为f(x)在(a,b)内的各极值与f(a),f(b)中的最大值和最小值。

例9、
动点P(x,y)是抛物线y=x 2
-2x-1上的点,O 为原点,当x=2时，2
OP 取
得极小值,求2
OP 的最小值。

解:2
OP =x 2
+y 2
=x 2
+(x 2
-2x-1)2
=x 4
-4x 3
+3x 2
+4x+1，令f(x)=x 4
-4x 3
+3x 2
+4x+1,
则()f x '=4x 3
-12x 2
+6x+4=4(x-2)(x-132+)(x-132
,
令()f x '=0,得
x=2,
132+,13
2
因定义域为R,故所求最小值为两个极小值中较小的一个,f(132)=1163
4
-，f(2)=5,故f(x)的最小值，即2
OP 的最小值为
1163
4
-。