同济大学2011年数学分析考研试题

[)[)1111n 00,,lim lim 2()0,0,lim ()0:lim ()0()()cos lim n n n n n n n n n x x a b a b a b a b f x x f n x f x S x x t dt x
++→∞→∞
→∞→∞
→∞+>>=∞∀∈∞+===∫ 2011 同济大学研究生入学考试 数学分析
一、（15）证明：与皆存在且相等。

二、（15）设函数在上一致连续，且有证明三、（15）设函数S ，求四、（10[)[)[)00000
10()()0()0()()1()[1,1]lim 0()1()()0,2()0,0,()0x n n
n f x x f x f x x f x f x f x f x n f x f x x f x f x +−∞→=∞=′′><−==∞+∞∞>∑∑）设函数在点的左右导数存在，且满足 ，，证明是的极小值点。

五、（15）设在上具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。

六、（20）设，证明在上可导，且一致连续。

七、（15）设在上连续且在上，证明：如果122
2
2222224L 2222ln ()lim
1()ln 1144(2)()L (0,0)A(1,1)sin 2
(,)R x f x f x dx x x y z dv z x y z x xy dx x x dy y x u u u x y x y λλπ∞→+∞Ω=−>Ω++=++=Ι=+++Ο=∂∂+∂∂∫∫∫∫∫，则当时，收敛。

八、（15）计算，其中为介于椭圆面与球面之间的区域。

九、（15）计算，其中为由点到点的曲线十、（15）设函数在内有二阶连续偏导数且
222200(,)R 2()[(]()R d u x y y x u u F y dx C y x y ππ=∈∂∂=−≡∈∂∂∫，而的一阶偏导数对任意固定的时的以为周期的函数，证明（常数，。